1、1,1 消 元 法,主要内容,线性方程组的概念,消元法,矩阵消元法解线性方程组,目录 下页 返回 结束,2,一、线性方程组的概念,现在来讨论一般线性方程组.,所谓一般线性方程,组是指形式为,的方程组, 其中 x1, x2 , , xn 代表 n 个未知量, s 是,是方程的个数，aij (i = 1, 2, , s, j = 1, 2, , n) 称,首页 上页 下页 返回 结束,3,为方程组的系数，bi (i = 1, 2, , s) 称为常数项.,方程中未知量的个数 n 与方程的个数 s 不一定相等.,系数 aij 的第一个指标 i 表示它在第 i 个方程，第二,个指标 j 表示它是 xj
2、 系数.,所谓方程组(1)的一个解, 就是指由 n 个数, , kn 组成的有序数组( k1, k2 , , kn),k1, k2 ,xn 分别用 k1, k2, , kn 代入后, (1) 中每个等式都变,当x1, x2 , ,恒等式.,方程组 (1) 的解的全体称为它的解集合.,解方程组实际上就是找出它全部的解, 或者说, 求出,首页 上页 下页 返回 结束,4,它的解集合.,如果两个方程组有相同的解集合, 它们,就称为同解的.,显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数,和常数项，那么这个线性方程组就基本上确定了.,确切地说，线性方程组(1)可以用下面的矩阵,来表示.,首页 上页 下页 返
3、回 结束,5,首页 上页 下页 返回 结束,6,二、消元法,1.引例,例1 用消元法解线性方程组,第一个方程乘以 -2 加到第二个方程;,乘以 1加到第三个方程 , 得,第一个方程,首页 上页 下页 返回 结束,7,第三个方程乘以 -2 加到第二个方程, 得,交换第二个与第三两个方程, 得,首页 上页 下页 返回 结束,8,第三个方程乘以 -3 加到第一个方程; 第三个方程乘,以1加到第二个方程, 得,第二个方程乘以 加到第一个方程, 得,第一、二个方程分别乘以 , 得方程组的解:,首页 上页 下页 返回 结束,9,例1中所用的消元法的过程, 实际上是对方程组,施行如下的运算或变换：,所以,原
4、方程组的解为 (9,-1,-6).,1. 用一个非零的数乘某一个方程;,2. 把一个方程的倍数加到另一个方程;,3. 交换两个方程的位置.,定义 1 变换1, 2, 3 称为线性方程组的初等变换.,首页 上页 下页 返回 结束,10,2. 消元法的证明,消元的过程就是反复施行初等变换的过程.,下,面证明，初等变换总是把方程组变成同解方程组.,证,只证变换 (2),对于方程组,进行第二种初等变换.,为简便起见, 不妨把第二个,首页 上页 下页 返回 结束,11,方程的 k 倍加到第一个方程得到新方程组:,现在设 (c1, c2, , cn) 是 (1) 的任一解.,因 (1),与(2)的后 s
5、- 1 个方程是一样的,满足 (2) 的后 s - 1 个方程.,又 (c1, c2, , cn) 满足,所以 (c1, c2, , cn),(1) 的前两个方程,首页 上页 下页 返回 结束,12,a11c1 + a12c2 + + a1ncn = b1 ,a21c1 + a22c2 + + a2ncn = b2 .,把第二式的两边乘以 k，再与第一式相加，即为,(a11+ka21)c1+(a12+ka22)c2+(a1n+ka2n)cn = b1+kb2,故 (c1, c2, , cn) 又满足 (2) 的第一个方程，因而是,(2) 的解.,类似地可证 (2) 的任一解也是 (1) 的解.
6、,这就证明了 (1) 与 (2) 是同解的.,首页 上页 下页 返回 结束,13,3. 用消元法解一般线性方程组,对于方程组 (1) ，首先检查 x1 的系数.,如果 x1,的系数全为零，那么方程组 (1) 对 x1 没有任何限制,x1 就可以取任意值, 而方程组 (1) 可以看作 x2, , xn,的方程组来解.,如果 x1 的系数不全为零, 那么利用,初等变换 (3) ，可以设 a11 0.,利用初等变换 (2)，,(i = 2, , s).,于是方程组 (1) 就变成,首页 上页 下页 返回 结束,14,其中,这样，解方程组 (1) 的问题就归结为解方程组,首页 上页 下页 返回 结束,
7、15,的问题.,显然，(4) 的一个解，代入 (3) 的第一个方,程就定出 x1 的值，这就得出 (3) 的一个解；,而 (3),的解显然都是 (4) 的解.,这就是说，方程组 (3) 有解,的充分必要条件为方程组 (4) 有解，而 (3) 与 (1) 是,同解的，因而，方程组 (1) 有解的充分必要条件为,方程组 (4) 有解.,对 (4) 再按上面的考虑进行变换，并且这样一,首页 上页 下页 返回 结束,16,步步作下去，最后就得到一个阶梯形方程组.,为了,讨论起来方便，不妨设所得的方程组为,其中 cii 0, i =1, 2, , r .,首页 上页 下页 返回 结束,17,方程组(5)
8、中的“0 = 0”这样一些恒等式可能不出现,也可能出现,这时去掉它们也不影响 (5) 的解.,(1) 与 (5) 是同解的.,下面讨论方程组 (5) 的解的情况.,如果 (5) 中有方程 0 = dr+1，而 dr+1 0.,这时不,管 x1, , xn 取什么值都不能使它成为等式.,故(5)无,解, 因而 (1)无解.,当 dr+1 = 0 或 (5)中根本没有“0 = 0”的方程时,分两种情况：,而且,首页 上页 下页 返回 结束,18,情形一 r = n,这时阶梯形方程组为,其中 cii 0, i =1, 2, , n .,由最后一个方程开始，,xn, xn-1 , , x1 的值就可以
9、逐个地唯一地决定了.,此时方程组有唯一的解.,首页 上页 下页 返回 结束,19,情形二 r n,这时阶梯形方程组为,其中 cii 0 , i = 1, 2, , r .,把它变形，得,首页 上页 下页 返回 结束,20,由此可见，任给 xr+1, , xn 一组值，就唯一,地确定 x1, x2, , xr 的值，也就是得到方程组的一,个解.,一般地, 由上式我们可以把 x1, x2, , xr 通过,xr+1, , xn 表示出来, 这样一组表达式称为方程 (1),的一般解，而 xr+1, , xn 称为一组自由未知量.,例2 用消元法把线性方程组化成阶梯形方程,并由此判断方程组是否有解,
10、若有解, 求出其解.,首页 上页 下页 返回 结束,21,解 经过一系列初等变换后, 方程组变为阶梯形,由于在阶梯形方程组中 , 方程的个数 r 与未知量,的个数 n 相等, 所以有唯一解.,把x3 = -6 代入第二,个方程解得 x2 = - 1;,一个方程解得 x1 = 9 .,再把 x3 = -6，,故方程组的唯一解为 (9, -1, -6) .,x2 = -1 代入第,首页 上页 下页 返回 结束,22,首页 上页 下页 返回 结束,23,首页 上页 下页 返回 结束,24,用消元法解线性方程组的整个过程:,(1) 首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方,程组，把最后的一些恒等式“0 =
11、 0”(如果出现的,话) 去掉.,(2) 如果剩下的方程当中最后一个等式是零等于,一非零的数, 那么方程组无解, 否则有解.,(3) 在有解的情况下, 如果阶梯形方程组中方程的,个数 r 等于未知量的个数 n，那么方程组有唯一解;,如果 r n ，那么方程组就有无穷多个解.,把以上结果应用到齐次线性方程组，就有,首页 上页 下页 返回 结束,25,定理1 在齐次线性方程组,中，如果 s n，那么它必有非零解.,证,显然, 方程组在化成阶梯形方程组之后,方程的个数不会超过原方程组中方程的个数, 即,r s n .,由 r n 得知, 它的解不是唯一的, 因而必有非零解.,首页 上页 下页 返回
12、结束,26,三、矩阵消元法解线性方程组,如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数,项, 那么这个线性方程组就其本上确定了.,确切地说,线性方程组,可以用下面的矩阵,首页 上页 下页 返回 结束,27,来表示,即对于给定的线性方程组可唯一地确定矩,阵,组.,这也就是说，线性方程组与矩阵一一对应.,于是我们引进下述概念,首页 上页 下页 返回 结束,28,设有线性方程组,令,首页 上页 下页 返回 结束,29,则称 A 为方程组的系数矩阵；,增广矩阵.,称为方程组的,首页 上页 下页 返回 结束,30,显然，用初等变换化方程组成阶梯形方程组就,相当于用初等行变换化增广矩阵成阶梯形矩阵.,因,此，解线性方程组的第一步工作可以通过矩阵来进,行，而从化成的阶梯形矩阵就可以判别方程组有解,还是无解，在有解的情形，再回到阶梯形方程组去,求解.,首页 上页 下页 返回 结束,31,首页 上页 返回 结束,
