1、1,4 曲线拟合的最小二乘法,1 最小二乘法及其计算,在函数的最佳平方逼近中 如果 只在一组离散点集 上给定，这就是科 学实验中经常见到的实验数据 的 曲线拟合.,2,记误差,则 的各分量分别为 个数据点上的误差.,3,设 是 上线性无关函数族，,在 中找一函数 ，,使误差平方和,这里,4,这个问题称为最小二乘逼近，几何上称为曲线拟合的 最小二乘法.,用最小二乘求拟合曲线时,首先要确定 的形式.,确定 的形式问题不仅是数学问题, 还与问题的 实际背景有关.,通常要用问题的运动规律及给定的数据进行数据描图,确定 的形式, 然后通过实际计算选出较好的结果.,5,为了使问题的提法更有一般性，通常在最
2、小二乘法中 考虑加权平方和,这里 是 上的权函数，它表示不同点 处的数据比重不同.,就是 次多项式.,若 是 次多项式，,的一般表达式为线性形式.,6,这样，最小二乘问题就转化为求多元函数,的极小点 问题.,由求多元函数极值的必要条件，有,使误差取得最小.,7,若记,上式可改写为,这个方程称为法方程，,可写成矩阵形式,8,其中,要使法方程有唯一解， 就要求矩阵 非奇异，,9,10,显然 在任意 个点上满足哈尔条件.,函数 的最小二乘解为,定义10,方程存在唯一的解,从而得到,于是,11,这样得到的 ，,对任何的,都有,故 确是所求最小二乘解.,12,一般可取 ，但这样做当 时，,通常对 的简单
3、情形都可通过求法方程得到,给定 的离散数据 ，,求解法方程时将出现系数矩阵 为病态的问题， 我们在下面考虑用正交多项式的方法解决。,13,例7,已知一组实验数据如下，求它的拟合曲线.,14,解,从图中看到各点在一条直线附近，故可选择线性函数作拟合曲线，,将所给数据在坐标纸上标出，见图3-4.,图3-4,15,令,这里,故,16,解得,可得方程组,于是所求拟合曲线为,17,结果如下：,18,有时根据给定数据图形，其拟合函数 表面上不是线性模型的形式，但通过变换仍可化为线性模型.,例如， ，,若两边取对数得,此时，若令,这样就变成了线性模型 .,19,例8,设数据 由表3-1给出，,用最小二乘法确
4、定 及 .,解,表中第4行为,通过描点可以看出数学模型为,它不是线性形式.,用给定数据描图可确定拟合曲线方程为,两边取对数得,20,若令,先将 转化为,为确定 ，,根据最小二乘法，取,则得,数据表见表3-1.,得,21,故有法方程,解得,于是得最小二乘拟合曲线为,22,结果如下：,23,2 用正交多项式做最小二乘拟合,如果 是关于点集,用最小二乘法得到的法方程组，其系数矩阵是病态的.,24,则方程的解为,且平方误差为,25,接下来根据给定节点 及权函数,构造带权 正交的多项式 .,注意 ，用递推公式表示 ，即,这里 是首项系数为1的 次多项式.,26,27,以上述例7为例 先求正交系,28,例9,设X= 1.00 , 1.25, 1.50 , 1.75, 2.00,在X上定义内积5 (f,g)= xi f(xi)g(xi)i =1 1)在函数系 1,x2中求一个X上的正交函数系. 2) 用最小二乘法求一个形如y =a+bx2的经验公式，使它与下列数据拟合.,xi 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00,yi 3.00 4.50 5.50 7.00 9.00,29,30,
