1、数学物理方程例题和习题（2009-10-31）一、常微分方程回顾1一阶常微分方程常数变易法用于解源函数不为零的常微分方程问题 )0(0),(yxfrx先求解对应的齐次方程（源函数为零）： y用常微分方程分离变量方法： rydxrdxcrxln得齐次方程通解 )ep()(C为了求解非齐次方程（源函数不为零） ，应用常数变易法。将上式中 C 替换为待定函数，设 )x()(ruy对其求导数，得 )ep(ep) rxx )()y将其代入非齐次方程，得 )(exp()fru (xfru Cdfrux0)()(代入表达式 ，得erxy )ep()(p)(0Cdf应用初始条件，得解函数 xdfrrxy0e从
2、两部分解读解函数的意义。第一部分利用了初始条件的信息，第二部分利用了微分方程右端项的信息。它们分别是两个子问题的解，)0(yr0)()(yxfr2二阶常微分方程常数变易法二阶常微分方程初值问题 )0(,)(,2yxfx先考虑对应齐次方程： 。利用辅助方程2y， 2mi得齐次方程通解 )sn()cos()(21xCxx将常数替换为待定的函数，即)sin()cos()( xvxuxy有两个未知函数待定。代入微分方程得恒等式，由一个等式不能唯一确定两个函数。如果人为增加一个等式，就可以构造出二元线性方程组，朗斯基行列式方法是成功的确定两个待定函数的方法，方法如下，对假设的函数求一阶导数，得在上面表达
3、式中，令第一个方栝号为零，得第一个等式 0)sin()co(xvxu同时，由 coy继续求导数，得 )sin()s()cs()sin( 22xvxuxvxy 代入方程，得第二个等式 fui将两个等式联立，得线性代数方程组 fxvx)cos()sin(0ico或写成矩阵形式 fvuxx)cs()si(ic上式的系数矩阵行列式称为朗斯基行列式，由于 )cos()sin(ioxx利用克莱姆法则解方程组，有，)si()cos(in01fxf )cos()sin(02 xfx，in1/1xfu1/2fv积分，得两个待定函数表达式，10)si()( Cdfxx 20)cos()( Cdgxfx代入常数变易
4、法假设的函数中，得 )in()co(21xCyxx dfdf00 )(cos)sin(1s 利用初始条件确定任意常数 C1 和 C2，显然，/2代入并利用三角函数和差化积公式，得)cs(si)( xvuyxdfxxy0)(sin1)sin()co()( 二、二阶偏微分方程分类与化简例 2.1判别二阶微分方程 的类型并求通解。9yxxuu解：利用判别式 02512a所以方程是双曲型方程。构造辅助方程 90解得： ， ，由912，dxy1积分，得，19C2x由此构造变换，yxy显然，变换矩阵为 19yxQ且 032419512 a将变换表达式代入方程，化简得 ，对其积分，得0u)(gf其中， 是两
5、个任意一元函数（二阶连续可微） 。代回原来变量，得原方程的通解gf, 9(yxf例 2.2 判别二阶微分方程 的类型并求通解。042yxu解：利用判别式 0)4(212a所以方程是双曲型方程。构造辅助方程 x解得： ， ，由x21x，dy2积分，得，1Cx2x构造变换，y2y显然，变换矩阵为 1xQyx且 04421124012 21 xxxxxa将变换表达式代入方程，化简得 ，即08u对其积分，得 )(gf其中， 是两个任意一元函数（二阶连续可微） 。代回原来变量，得原方程的通解gf, (22yxyxfu例 2.3 判别二阶微分方程 的类型并求通解。0862yxyxuy解：利用判别式 322
6、21 xa所以方程是双曲型方程。构造辅助方程 086xy分解因式，得 )4)(所以，yxd/2yxd/解常微分方程得 2214Cxy得变换 。由于24yx yxyx284所以 22212 8834 yxxxyxa 得标准方程， ，即082u方程的通解为： )(gf是两个任意一元函数（二阶连续可微） 。代回原来变量，得通解gf, )4()2, 22yxgyxfy三、分离变量法第一类边界条件固有值问题 0)(,)0(),LX固有值和固有函数， ， （n=1，2，）2)(LnxLnxXnsi)(第二类边界条的固有值问题 0)(,)0(,固有值和固有函数，2)(LnxLnxXncos)(例 2.1求解
7、欧拉方程固有值问题 0,12exxy解：作变换： ，即 ，未知函数的导数为)exp(tlndtxtdx)(1)(1222 tyytxy 代入微分方程，得 0)(2dtt方程化简为： ，02ydt对应边界条件： ,1tt所以固有值和固有函数为： ，2)(ntnysi代回原自变量，固有函数为： lsix1双曲型方程分离变量法 )(),(0,02xuxtLattxxt 满足边界条件和初值条件的解为 1 sinicos),(nnxLtaDtLaCtxu 其中系数， ， （n=1，2，）LndnC0si)(2Ln dnaD0si)(2例 2.2求解双曲型方程初边值问题 0,sin,02ttxxtuut解
8、：对应的固有值和固有函数分别为： ， ， （n=1，2，） 。2nxXnsi)(满足边界条件的解为 1 iicos),(nnatDtCtx利用初值条件，得，xnsii1 0si1nx对比等式两端，得C1=1，C n =0， （n= 2，3，） ；D n = 0， （n=1，2，）所以初边值问题的解为 xattxusico),(例 2.3 分离变量法求解双曲型方程初边值问题 )2/(,00,LxutttLxxt 解：对应的固有值和固有函数分别为：， ， （n= 1，2，） 。2)(LnxLnxXnsi)(满足边界条件的解为 1 sinicos),(nnxLtDtCtu 利用初值条件，得，0si1
9、nxL)2/(i1Lnn对比等式两端，得Cn =0， （n=1，2，3，） 2sinsi)/(2xdxDLn当 n 为奇数时，有 )1()2)1in()(12 kkkk所以，原问题的解 0 12sin)12sin()()1),(kk xLktktxu 例 2.4 分离变量法求解双曲型方程初边值问题 0),.(,0,ttLxxt uut解：对应的固有值和固有函数分别为：， ， （n= 1，2，） 。2)(LnxLnxXnsi)(满足边界条件的解为 1 sinicos),(nnxLtDtCtu 利用初值条件，得，)(si0xLn0si0nx所以 LLLn xdnxxndxC 000 cos)2(c
10、os)(2si)(2 LL nL02020 i)(4i)()co)(Lxn032s)(4， （n=0，1，）)co()(32， （n=0，1，）nD所以初边值问题的解为 022 cos1)cos()(),(n xLntLtxu 整理，得 022 2cs)()(),(k xkttx例 2.5 分离变量法求解双曲型方程初边值问题0),.(0,tt Lxxt uut解：对应的固有值和固有函数分别为：， ， （n= 0，1，） 。2)(LnxLnxXncos)(满足边界条件的解为 0 cossins),(n xLtDtCtu 利用初值条件，得，)(cos0xLn0cs0nx所以 LLLn xdnxxn
11、dxC 000 si)2(si)(2cs)(2 LL nL02020 co)(4co)()i)(xnn032si)(41)cos()( ， （n= 0，1，）)()(2L， （n=0，1，）nD所以初边值问题的解为 022 cos1)cos()(),(n xLntLtxu 整理，得 022 2cs)()(),(k xkttx2抛物型方程分离变量法例 2.6求解抛物型方程初边值问题xutatxxtsin0, ),(),(02解：对应的固有值和固有函数分别为： ， ， （n=1，2，） 。2nxXnsi)(满足边界条件的解为 12iep),(ntaCtx利用初值条件，得 xnsini1对比等式两端
12、，得C1=1，C n =0， （n= 2，3，）所以初边值问题的解为 xtatxusin)ep(),(例 2.6分离变量法求解热传导问题 )2/.(0,0Lxuttxt解：对应的固有值和固有函数分别为， ， （n =0，1，2， ）2)(LnXncos满足边界条件的解为 02cos)(exp2),(n xLtCtxu利用初始条件，得 )2/(cos0xLn利用付里叶级数展开式，得， （n =0，1，2， ）ss)2/(20xdLxCn当 n 为偶数时，有 LkCkk)(co2所以，原问题的解 12cos)(exp)(),(kk xtLtxu 3椭圆型方程分离变量法例 5用分离变量法求解拉普拉斯
13、方程边值问题 )sin(),1(01,0yuxuyx解：令 u(x，y )=X(x)Y(y)，代入拉普拉斯方程，分离变量得 YX得两个常微分方程：，0 0由边界条件可得，Y(0)=0 ，Y(1)=0，与第二个方程联立，得固有值问题)1(,)( )1,(,Yyy求解，得固有值和固有函数， ，( n = 1，2，)2nsin将固有值代入第一个方程中并求解，得( n = 1，2，)exp)exp()(BAXn从而有基本解 si, yxyunn 所以有级数形式解 1 )in()ep()exp(),(nnx利用边界条件 u(0，y )=0，u(1，y)= sin y 得 0)si()(1nnBAyesi
14、n由此得An = Bn =0 ( n1)A1 +B1 = 0，A 1 e +B1 e- =1解得 sih所以边值问题的解如下 )in()i),(yxyxu四、行波法1行波法求解无界区域的双曲型方程初值问题 )(),(0,002xuxutattt 的达朗贝尔公式atxdtxattxu )(21)()(21),(例 4.1求解双曲型方程初值问题 1,sin0,002ttxtut解：应用达朗贝尔公式 atxdtxatxtxu 2)i()i(21),(整理，得 ttcosin),(例 4.2求解初值问题： xttxeuut00|,sin| )0,(解：利用叠加原理，令 u(x， t) = v(x，t)
15、 + w(x)。代入原方程，得vtt = vxx + wxx + sin x故取 w(x) = sin x，得 v(x，t )满足的初值问题 xttev)0,(由达朗贝尔公式，得 tx txttxtx edetv )()(2121),(1txtxetet所以初值问题的解为 xtxtxtutxt sin)()1(2),( 例 4.3 求解初值问题 0,3)0,(20yyxuy解：记 ，则对应的特征方程为： ，解得 , ，所以dxy3132， ，积分得：y = x + C1，y = 3x + C2，构造变换13将原方程化为： ，得通解： ，即0u )(),(21ffu)3()(),(21yxfyx
16、fu由初始条件，得，2213xf01将第二式积分，联立第一式，得，)(4)1Cf )3(4)22Cxf代换，得： ，(21yxyxf (2yy原方程通解为 22)3(41)(3),(xxu例 4.4 求解非齐次波动方程初值问题 xuxtttt sin|,| )0,()020解：利用叠加原理，令 u(x， t) = v(x，t) + w(x，t)。取 31,2得 v(x， t )满足的初值问题 xvxtttt sin,)0,(020由达朗贝尔公式，得 dttxtv txi1)()(21),(22 )cos(cst txtsin2所以原初值问题的解为 ttxttxusin)3(2),(2例 求解波
17、动方程初值问题 )(,00,2xutattxt 解：应用达朗贝尔公式，得 atxdt)(21),(根据丢拉克函数的积分性质知，x a t 0 时，解函数为 1。故|)(),(htu这里，h(x) 是单位阶跃函数，即0,1)(xh2行波法求解半无界区域的双曲型方程初边值问题例 4.5求解半无界弦定解问题 0sin,cos)0,(02xttxtuxuta解：对初始条件函数做偶延拓，0,cos)(x0,sin)(x应用达朗贝尔公式，当 x 0，且 x at 时，有 atxdtattu i21)c()(21),()cos(os21scottxatxin当 x 0，且 x 0，且 x at 时，有 at
18、xdtattxu 21)i()sin(21),( sincoi tttxaxiss当 x 0，且 x 0 解：上半平面 Green 函数为 2020)()(ln21yxG由于 20202020 )()()ln(yxy)( yx所以 Green 函数在边界曲线外法向导数 200)(1yGnL由 Green 函数性质，有 Ldsnxu),(所以 ysy)()(1),(2例 求解圆域上的 Dirichlet 问题 cos),(1,01arur解：应用圆域上 Green 函数方法，得 20 20020 )cs(),( drRraru例 6.4 推导出下面定解问题所连带的贝塞尔方程（不解贝塞尔方程） 。
19、200121|,| )1,()(tttuta解：令 ，代入方程得，)(tTRu 2TRaTR分离变量，得 ，得常微分方程a/2，0T02令， ， ，则 ， ，所以x)/()xRyRxy1)(y1， ，代入方程 ，得贝塞尔方程R 022yxyx例 证明 半奇阶贝塞尔函数表达式为 。xJsin2)(2/1解：由 n 阶贝塞尔函数的级数形式 022)1(!)(mnmnnxJ得02/12/12/1 )(!)(mmxxJ利用伽玛函数的特殊值 ，得/)2/1(/)(2/1()3( !211 mmm所以 )!12(!)2(!)1/(!12 mm由于 012)!()sinmxx故 02/12/12/1 )(!)(mmxJ xxxmmsin2)!12(02例 证明 半奇阶贝塞尔函数表达式 。xJcos)(2/1解：由 n 阶贝塞尔函数的级数形式 022)1(!)(mnmnnx得 02/12/2/1 )(!)(xJ利用伽玛函数的特殊值 ，得/3)/()/( !)12(121mmm所以 )!(!)(!)/(! 22由于 0)!(1cosmmxx故 02/12/12/1 )(!)(mmxxJxxmcos2)!2(10
