1、第二章 一元二次方程,初中数学（北师大版）九年级 上册,知识点 一元二次方程的根与系数的关系,例 设x1、x2是一元二次方程2x2+4x=3的两根,利用根与系数的关系求 下列代数式的值: (1)(x1+1)(x2+1);(2) x2+x1 ;(3)(x1-x2)2.,解析 方程变形为一般形式为2x2+4x-3=0, a=2,b=4,c=-3, =b2-4ac=42-42(-3)=400, 方程有两个不相等的实数根. x1+x2=- =-2,x1x2=- . (1)(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=- +(-2)+1=- . (2) x2+x1 =x1x2(x1+x2)=-
2、 (-2)=3. (3)(x1-x2)2= -2x1x2+ = +2x1x2+ -4x1x2=(x1+x2)2-4x1x2=(-2)2-4 =10. 点拨 利用一元二次方程的根与系数的关系求关于x1、x2的代数式的 值时,关键是把所给的代数式转化为含x1+x2, x1x2的形式,然后把x1+x2, x1x2的值代入,即可求出所求代数式的值.,题型一 利用根与系数的关系求方程的根或字母参数的值,例1 (2015江苏南京中考)已知方程x2+mx+3=0的一个根是1,则它的另 一个根是 ,m的值是 .,解析 设方程的另一个根为x1,则x11=3,即x1=3,则-m=1+3,解得m=-4.,答案 3;
3、-4,点拨 利用一元二次方程的根与系数的关系是解决此类问题较为简单 的方法.当已知常数项的值时,要根据两根之积构建方程;当已知一次项 系数时,要根据两根之和构建方程.,题型二 不解方程,求与方程的根有关的代数式的值,例2 已知方程x2+3x-1=0的两个实数根分别为,不解方程求下列各式 的值. (1)2+2;(2)3+3;(3) + ;(4)(-1)(-1).,解析 ,是方程x2+3x-1=0的两个实数根, +=-3,=-1. (1)2+2=(+)2-2=(-3)2-2(-1)=11. (2)3+3=(2+2)=(-1)11=-11. (3) + = = =-11. (4)(-1)(-1)=-
4、(+)+1=(-1)-(-3)+1=3. 方法总结 一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)两根的对称式一般可转化 成含x1+x2,x1x2的形式,故根与系数的关系是解决两根对称式求值问题的 常用工具.,易错点 忽略0的条件而致错,例 已知关于x的方程x2-(k-1)x+k+1=0的两个实数根的平方和等于4,求 实数k的值.,解析 设方程的两个根为x1,x2,由根与系数的关系,得 x1+x2=k-1,x1x2=k+1. + =4,即(x1+x2)2-2x1x2=4,(k-1)2-2(k+1)=4, 即k2-4k-5=0,k=5或k=-1. 当k=5时,b2-4ac=-(k-1)2-4(k+1)
5、=-80. k的值为-1. 易错警示 一元二次方程的根与系数的关系以一元二次方程有两个实数根为前提,此题易忽略原方程有两根的条件b2-4ac0,未将求出的k值代入判别式中检验而造成错误.,知识点 一元二次方程的根与系数的关系,1.(2019广东广州越秀期中)设一元二次方程x2-2x+3=0的两个实数根为x1 和x2,则x1x2= ( ) A.-2 B.2 C.-3 D.3,答案 D x2-2x+3=0,a=1,b=-2,c=3, x1x2= =3,故选D.,2.(2019山东青岛二十六中期中)若关于x的方程x2+mx-6=0有一个根为2, 则另一个根为 ( ) A.-2 B.2 C.4 D.-
6、3,答案 D 设方程的另一个根为,由根与系数的关系,得2=-6,=-3. 故选D.,3.(2016山东威海中考)已知x1,x2是关于x的方程x2+ax-2b=0的两实数根, 且x1+x2=-2,x1x2=1,则ba的值是 ( ) A. B.- C.4 D.-1,答案 A 因为x1,x2是关于x的方程x2+ax-2b=0的两实数根,所以x1+x2=-a =-2,x1x2=-2b=1,解得a=2,b=- ,所以ba= = ,故选A.,4.设,是方程2x2-6x+3=0的两个实数根,那么+-的值为 .,答案,解析 ,是方程2x2-6x+3=0的两个实数根,+=3,= ,+-= 3- = .,1.设x
7、1,x2是方程x2-3x-3=0的两个实数根,则 + 的值为 ( ) A.5 B.-5 C.1 D.-1,答案 B 由根与系数的关系可知x1+x2=3,x1x2=-3, + = = -2= -2=-5.故选B.,2.设a,b是方程x2-x-2 016=0的两个实数根,则a2+2a+3b-2的值为 ( ) A.2 014 B.2 015 C.2 016 D.2 017,答案 D 根据题意得a+b=- =1,把x=a代入方程,可得a2-a-2 016=0, a2=a+2 016,a2+2a+3b-2=3a+2 016+3b-2=2 016+3(a+b)-2=2 016+31-2 =2 019-2=
8、2 017.故选D.,3.已知x1,x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根,且x1+x2=3,x1x2=1,则a,b的 值分别是 ( ) A.a=-3,b=1 B.a=3,b=1 C.a=- ,b=-1 D.a=- ,b=1,答案 D 根据题意知x1+x2=-2a,x1x2=b,所以-2a=3,b=1,解得a=- ,b=1.,4.已知m和n是方程2x2-5x-3=0的两根,则 + 的值为( ) A. B. C.- D.-,答案 D 由根与系数的关系可得m+n=- = ,mn= =- , + = = =- .,5.以3、-2为根,且二次项系数为1的一元二次方程是 .,答案 x2-x-6=0
9、,解析 根据题意得两根之和为1,两根之积为-6,则所求方程为x2-x-6=0.,1.(2014山东日照中考)关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的两实根x1、 x2满足x1+x2-x1x2-1,则k的取值范围在数轴上表示为 ( ),答案 D 由根与系数的关系可得x1+x2=-2,x1x2=k+1,x1+x2-x1x2-2.方程有两实数根,b2-4ac0,即22-41(k+1)0, 解得k0,k的取值范围是-2k0,故选D.,2.方程x2-7x+5=0的两根之差为 ( ) A. B. C.- D.以上都不对,答案 B 设方程的两根为x1,x2,则x1+x2=7,x1x2=5, |x1-x2
10、|= = = = = ,x1-x2= .,3.(2017四川内江中考)设,是方程(x+1)(x-4)=-5的两实数根,则 + =.,答案 47,解析 由(x+1)(x-4)=-5得x2-3x+1=0,由根与系数的关系,得+=3,=1. + = = = =47.,4.设x1,x2是方程3x2-2x-2=0的两个根,利用根与系数的关系求下列各式的 值: (1)(x1-4)(x2-4); (2) + ; (3) .,解析 根据题意知x1+x2= ,x1x2=- . (1)(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16=- -4 +16= . (2) + = (x2+x1)= =- . (
11、3) =x1x2+ + + =- + - =- .,1.(2014四川攀枝花中考)若方程x2+x-1=0的两实根为、,那么下列说 法不正确的是 ( ) A.+=-1 B.=-1 C.2+2=3 D. + =-1,答案 D 由一元二次方程根与系数的关系,知+=-1,=-1,因此2+2 =(+)2-2=(-1)2-2(-1)=3,显然选项A、B、C均正确,故选D.,2.(2017天津南开模拟)甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程,甲因把一次项系数看错了,而解得方程两根为-3和5,乙把常数项看错了,解得两根为2和2,则原方程是 ( ) A.x2+4x-15=0 B.x2-4x-15=0 C.x2+4
12、x+15=0 D.x2-4x+15=0,答案 B 设原方程为x2+bx+c=0.甲因把一次项系数看错了,而解得 方程两根为-3和5,-35=c,即c=-15,乙把常数项看错了,解得两根为2 和2,2+2=-b,即b=-4,原方程为x2-4x-15=0.故选B.,3.如果关于x的一元二次方程x2-4|a|x+4a2-1=0的一个根是5,则方程的另 一个根是 ( ) A.1 B.5 C.7 D.3或7,答案 D 设方程的另一个根为m,由根与系数的关系可得5+m=4|a|,即|a| = ,将x=m代入方程并整理得5m=4a2-1,把代入得5m=4-1,整理得m2-10m+21=0,解得m=3或m=7
13、,故选D.,4.(2015山东日照中考)如果m、n是两个不相等的实数,且满足m2-m=3,n2-n=3,那么代数式2n2-mn+2m+2 015= .,答案 2 026,解析 由题意可知,m,n是x2-x-3=0的两个不相等的实数根,根据根与系 数的关系可知:m+n=1,mn=-3,又n2=n+3,则2n2-mn+2m+2 015=2(n+3)-mn+ 2m+2 015=2(m+n)-mn+2 021=21-(-3)+2 021=2 026.,5.已知、是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的 实数根,且满足 + =-1,求m的值.,解析 、是方程x2+(2m+3)x
14、+m2=0的两个不相等的实数根, +=-(2m+3),=m2.+ = = =-1,整理,得m2-2m-3=0,解得m=3或m=-1.当m=-1时, 方程为x2+x+1=0, 此时=12-4=-30,方程有两个不相等的实数根. 综上所述,m=3.,1.(2019江苏南京二十九中月考,6,)已知实数a,b分别满足a2-6a+4 =0,b2-6b+4=0,且ab,则 + 的值是 ( ) A.7 B.-7 C.11 D.-11,答案 A 根据题意得a与b为方程x2-6x+4=0的两根, a+b=6,ab=4, 则 + = = =7,故选A.,2.(2018河南信阳罗山期中,3,)已知关于x的一元二次方
15、程x2+mx-8 =0的一个实数根为2,则m的值和另一实数根分别为 ( ) A.2,-4 B.-2,-4 C.2,4 D.-2,4,答案 A 设方程的另一根为x,由根与系数的关系可得2x=-8,解得x=-4, -m=-4+2=-2,解得m=2,故选A.,3.(2018河南漯河临颍月考,6,)已知m、n是方程x2+2 x+1=0的两 根,则代数式 的值为 ( ) A. B.3 C.4 D.5,答案 A m、n是方程x2+2 x+1=0的两根,m+n=-2 ,mn=1, = = = ,故选A.,4.(2019江苏南京二十九中月考,9,)一元二次方程x2+4x-3=0的两 根为x1,x2,则x1x2
16、的值是 .,答案 -3,解析 一元二次方程x2+4x-3=0的两根为x1,x2, x1x2=-3.,5.(2019湖北鄂州鄂城期中,21,)已知关于x的一元二次方程x2+(2m +3)x+m2=0有两根,. (1)求m的取值范围; (2)若 + =-1,则m的值为多少?,解析 (1)由题意知(2m+3)2-41m20, 解得m- . (2)由根与系数的关系得+=-(2m+3),=m2, + =-1, =-1, =-1, 整理得m2-2m-3=0, (m-3)(m+1)=0, m-3=0或m+1=0, m=-1或m=3, 由(1)知m- , 所以m=-1应舍去,m的值为3.,1.(2017山东青
17、岛十二中月考,3,)如果一元二次方程x2-2x-3=0的两 根为x1、x2,则 x2+x1 的值等于 ( ) A.-6 B.6 C.-5 D.5,答案 A 由根与系数的关系可得x1+x2=- =- =2,x1x2= = =-3, x2+ x1 =x1x2(x1+x2)=-32=-6.故选A.,2.(2017河南郑州七中第一次月考,9,)已知一元二次方程x2-4x-3=0 的两根为m,n,则m2-mn+n2= .,答案 25,解析 m,n是一元二次方程x2-4x-3=0的两个根, m+n=4,mn=-3, 则m2-mn+n2=(m+n)2-3mn=16+9=25.,3.(2017福建南安期中,2
18、0,)已知关于x的一元二次方程x2-(k-1)x-8= 0的一个根是4,求方程的另一个根和k的值.(6分),解析 x2-(k-1)x-8=0的一个根是4, 42-4(k-1)-8=0, 解得k=3. 设方程的另一个根为x1,则4x1=-8, x1=-2.,4.(2019江苏宿迁泗洪月考,18,)已知关于x的方程x2-(k+1)x+ k2+1=0,根据下列条件分别求出k的值. (1)方程两实根的积为5; (2)方程的两实根x1,x2满足|x1|=x2.,解析 根据题意得=(k+1)2-4 0,解得k . x1+x2=k+1,x1x2= k2+1. (1)x1x2=5, k2+1=5,解得k=4,
19、 k ,k的值为4. (2)|x1|=x2, = ,(x1+x2)(x1-x2)=0,x1+x2=0或x1-x2=0, k+1=0或=0, k=-1或k= , k , k的值为 .,1.(2018广西贵港中考,6,)已知,是一元二次方程x2+x-2=0的两 个实数根,则+-的值是 ( ) A.3 B.1 C.-1 D.-3,答案 B ,是方程x2+x-2=0的两个实数根, +=-1,=-2,+-=-1+2=1,故选B.,2.(2018贵州遵义中考,9,)已知x1,x2是关于x的方程x2+bx-3=0的两 根,且满足x1+x2-3x1x2=5,那么b的值为 ( ) A.4 B.-4 C.3 D.
20、-3,答案 A x1,x2是关于x的方程x2+bx-3=0的两根, x1+x2=-b,x1x2=-3,又x1+x2-3x1x2=5, -b-3(-3)=5,解得b=4.故选A.,3.(2018湖北荆州中考,16,)关于x的一元二次方程x2-2kx+k2-k=0的 两个实数根分别是x1、x2,且 + =4,则 -x1x2+ 的值是 .,答案 4,解析 x2-2kx+k2-k=0的两个实数根分别是x1、x2, x1+x2=2k,x1x2=k2-k, + =4,(x1+x2)2-2x1x2=4,(2k)2-2(k2-k)=4, 2k2+2k-4=0,k2+k-2=0,解得k=-2或1, =(-2k)
21、2-41(k2-k)0,k0,k=1, x1x2=k2-k=0, -x1x2+ =4-0=4.,4.(2018四川遂宁中考,19,)已知关于x的一元二次方程x2-2x+a=0 的两实数根x1,x2满足x1x2+x1+x20,求a的取值范围.,解析 一元二次方程有两个实数根, =(-2)2-41a=4-4a0,解得a1, 由根与系数的关系可得x1x2=a,x1+x2=2, x1x2+x1+x20,a+20, 解得a-2,-2a1.,5.(2018内蒙古呼和浩特中考,23,)已知关于x的一元二次方程ax2+ bx+c=0(a0)有两个实数根x1,x2,请你用配方法探索有实数根的条件,并 推导出求根
22、公式,证明x1x2= .,当b2-4ac0时,x1= ,x2= , x1x2= = = = ; 当b2-4ac=0时,x1=x2=- , x1x2= = = = . 综上,证得x1x2= .,6.(2018湖北天门中考,20,)已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x +m2-2=0. (1)若该方程有两个实数根,求m的最小整数值; (2)若方程的两个实数根为x1,x2,且(x1-x2)2+m2=21,求m的值.,解析 (1)根据题意得=(2m+1)2-4(m2-2)0, 解得m- ,所以m的最小整数值为-2. (2)根据题意得x1+x2=-(2m+1),x1x2=m2-2, (x1-x2
23、)2+m2=21, (x1+x2)2-4x1x2+m2=21, (2m+1)2-4(m2-2)+m2=21, 整理得m2+4m-12=0,解得m1=2,m2=-6, m- ,m的值为2.,1.(2017山东烟台中考,10,)若x1,x2是方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个 根,且x1+x2=1-x1x2,则m的值为 ( ) A.-1或2 B.1或-2 C.-2 D.1,答案 D 由一元二次方程根与系数的关系,得x1+x2=2m,x1x2=m2-m-1. 因为x1+x2=1-x1x2,所以2m=1-(m2-m-1). 解得m1=1,m2=-2. 由题意得=(-2m)2-41(m2-m-1)
24、0, 解得m-1.综上,m的值为1.,2.(2017内蒙古呼和浩特中考,5,)关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+ a-1=0的两个实数根互为相反数,则a的值为 ( ) A.2 B.0 C.1 D.2或0,答案 B 由一元二次方程根与系数的关系得x1+x2=-(a2-2a),又互为相 反数的两数之和为0,-(a2-2a)=0,解得a=0或2.当a=2时,原方程为x2+1= 0,无解;当a=0时,原方程为x2-1=0,符合题意,故a=0.,3.(2017湖北天门中考,8,)若,为方程2x2-5x-1=0的两个实数根, 则22+3+5的值为 ( ) A.-13 B.12 C.14 D.15
25、,答案 B ,为方程2x2-5x-1=0的两个实数根,22-5-1=0,22-5-1 =0,从而5=22-1,22+3+5=22+3+22-1=2(+)2-1,由根与系 数的关系得+= ,=- ,故原式=12.故选B.,4.(2017湖北黄冈中考,17,)已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x +k2=0有两个不相等的实数根.(6分) (1)求k的取值范围; (2)设方程的两个实数根分别为x1,x2,当k=1时,求 + 的值.,解析 (1)方程有两个不相等的实数根, =(2k+1)2-4k2=4k+10, 解得k- ,k的取值范围是k- . (2)当k=1时,方程为x2+3x+1=0.
26、由根与系数的关系可得 + =(x1+x2)2-2x1x2=(-3)2-21=9-2=7.,5.(2018湖北孝感中考,21,)已知关于x的一元二次方程(x-3)(x-2)= p(p+1). (1)试证明:无论p取何值,此方程总有两个实数根; (2)若原方程的两根x1,x2满足 + -x1x2=3p2+1,求p的值.,解析 (1)证明:原方程可变形为x2-5x+6-p2-p=0. =(-5)2-4(6-p2-p)=25-24+4p2+4p=4p2+4p+1=(2p+1)20, 无论p取何值,此方程总有两个实数根. (2)原方程的两根为x1、x2, x1+x2=5,x1x2=6-p2-p. 又 +
27、 -x1x2=3p2+1, (x1+x2)2-3x1x2=3p2+1, 52-3(6-p2-p)=3p2+1, 25-18+3p2+3p=3p2+1, 3p=-6,p=-2.,1.(2017山东莱芜莱城期末)已知菱形ABCD的对角线AC,BD的长度是关 于x的方程x2-13x+36=0的两个实数根,则此菱形的面积是 ( ) A.18 B.30 C.36 D.不确定,答案 A 由根与系数的关系可知ACBD=36,则此菱形的面积= AC BD= 36=18.,2.(2017湖北鄂州中考)关于x的方程x2-(2k-1)x+k2-2k+3=0有两个不相等 的实数根. (1)求实数k的取值范围; (2)
28、设方程的两个实数根分别为x1、x2,是否存在这样的实数k,使得|x1|-|x2| = ?若存在,求出这样的k值;若不存在,说明理由.,解析 (1)方程有两个不相等的实数根, =-(2k-1)2-4(k2-2k+3)=4k-110, 解得k . (2)存在.理由: x1+x2=2k-1,x1x2=k2-2k+3=(k-1)2+20, 将|x1|-|x2|= 两边平方可得 -2x1x2+ =5,即(x1+x2)2-4x1x2=5, 代入得(2k-1)2-4(k2-2k+3)=5, 4k-11=5,解得k=4.,1.在解方程x2+px+q=0时,小张看错了p,解得方程的根为1与-3;小王看错 了q,
29、解得方程的根为4与-2.这个方程的根应该是什么?,解析 由根与系数的关系知q=1(-3)=-3,p=-4+(-2)=-2, 原方程为x2-2x-3=0, (x-3)(x+1)=0,即x-3=0或x+1=0, x1=3,x2=-1.,2.已知关于x的方程x2+(8-4m)x+4m2=0. (1)若方程有两个实数根,求m的取值范围; (2)问:是否存在正数m,使方程的两个实数根的平方和等于136?若存在, 请求出满足条件的m值;若不存在,请说明理由.,解析 (1)方程有两个实数根, (8-4m)2-44m20,即64-64m0,解得m1. (2)不存在.理由:设方程的两个实数根分别为x1,x2,则由 方程的两个实数根的平方和等于136,得 + =136. x1+x2=-(8-4m)=4m-8,x1x2=4m2, + =(x1+x2)2-2x1x2=136, 即(4m-8)2-24m2=136,化简得m2-8m-9=0, 解得m1=9,m2=-1. 由(1)知m1,又m为正数, 所以不存在正数m,使得方程的两个实数根的平方和等于136.,
