1、第二章 一元二次方程,初中数学（北师大版）九年级 上册,一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分),1.方程2x2-9=0, - =0,xy+x2=9,7x+6=x2中,一元二次方程有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,答案 B 因为 - =0中分母含有未知数,xy+x2=9中含有两个未 知数,所以不是一元二次方程,而是一元二次方程,故选B.,2.(2019江苏镇江句容中考)用配方法解一元二次方程x2+2x-1=0,配方后 得到的方程是 ( ) A.(x-1)2=2 B.(x-1)2=3 C.(x+1)2=2 D.(x+1)2=3,答案 C 把方程x2+2x-1=0的常
2、数项移到等号的右边,得x2+2x=1,方程 两边同时加上一次项系数一半的平方,得x2+2x+1=1+1,配方得(x+1)2=2, 故选C.,3.(2017上海中考)下列方程中,没有实数根的是 ( ) A.x2-2x=0 B.x2-2x-1=0 C.x2-2x+1=0 D.x2-2x+2=0,答案 D A选项,=(-2)2-410=40; B选项,=(-2)2-41(-1)=80; C选项,=(-2)2-411=0; D选项,=(-2)2-412=-40, D选项中的方程没有实数根,故选D.,4.(2018江苏盐城模拟)已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1,则k的 值为 ( ) A.-
3、2 B.2 C.-4 D.4,答案 B 本题中a=1,b=k,c=-3,由“两根之和=- ,两根之积= ”得另 一个根为-31=-3,-3+1=-k,即k=2.,5.已知a是一元二次方程x2-x-1=0较大的根,则下面对a的估计正确的是 ( ) A.0a1 B.1a1.5 C.1.5a2 D.2a3,答案 C 解方程x2-x-1=0得x= ,a是方程x2-x-1=0较大的根,a=,2 3,31+ 4, 1.5 2,故选C.,6.(2018四川眉山中考)若,是一元二次方程3x2+2x-9=0的两根,则 + 的值是 ( ) A. B.- C.- D.,答案 C 由根与系数的关系可知:+=- ,=-
4、3,所以 + = = =- ,故选C.,7.(2018宁夏中考)某企业2018年年初获利润300万元,到2020年年初计划 利润达到507万元.设这两年的年利润平均增长率为x.应列方程是 ( ) A.300(1+x)=507 B.300(1+x)2=507 C.300(1+x)+300(1+x)2=507 D.300+300(1+x)+300(1+x)2=507,答案 B 因为年利润的平均增长率为x,所以2019年年初获利润300(1+x)万元,2020年年初获利润300(1+x)2万元.那么可列方程为300(1+x)2=507.,8.菱形ABCD的一条对角线长为6,边AB的长为方程y2-7y
5、+10=0的一个根, 则菱形ABCD的周长为 ( ) A.8 B.20 C.8或20 D.10,答案 B 解方程y2-7y+10=0得y1=2,y2=5.当y=2时,由于一条对角线的长 为6,2+26,符合三角形 三边关系,所以菱形的周长为54=20.故选B.,9.(2017天津和平三模)某种植物的主干长出若干数目的枝干,每个枝干 又长出同样数目的小分支,主干、枝干和小分支的总数是91.设每个枝 干长出x个小分支,则x满足的关系式为 ( ) A.x+x2=91 B.1+x2=91 C.1+x+x2=91 D.1+x(x-1)=91,答案 C 根据题意得x2+x+1=91.故选C.,10.已知m
6、是整数,且满足 则关于x的方程m2x2-4x-2=(m+2)x2+3x +4的解为 ( ) A.x1=-2,x2=- B.x1=2,x2= C.x=- D.x1=-2,x2=- ,x3=-,答案 A 解不等式组 得 即 m2. m是整数,m=1,则原方程可化为2x2+7x+6=0,解得x1=-2,x2=- .故选A.,11.(2018福建龙岩上杭期中)一元二次方程3x(x-3)=2x2+1化成一般形式 为 .,答案 x2-9x-1=0,解析 一元二次方程3x(x-3)=2x2+1去括号、移项、合并同类项,得x2-9x-1=0.,12.(2016四川雅安中考)已知关于x的一元二次方程x2+mx-
7、8=0的一个实 数根为2,则另一实数根及 m的值分别为 .,答案 -4,2,解析 设另一实数根为x2.由根与系数的关系得2x2=-8,2+x2=-m,所以x2=-4, m=2, 则另一实数根及m的值分别为-4,2.,13.写出一个一元二次方程,使它的两根互为相反数,该方程可以是 .,答案 x2-4=0(答案不唯一),解析 因为方程的两根互为相反数,根据两根之和公式可知一次项系数为0, 为了保证方程有意义,必须大于或等于0, 所以一元二次方程可写为x2-4=0等.,14.已知关于x的一元二次方程x2-4x+m-1=0的实数根x1,x2满足3x1x2-x1-x2 2,则m的取值范围是 .,答案 3
8、m5,解析 依题意得 解得 所以3m5.,15.(2017湖南岳阳中考)在ABC中,BC=2,AB=2 ,AC=b,且关于x的方 程x2-4x+b=0有两个相等的实数根,则AC边上的中线长为 .,答案 2,解析 因为关于x的方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根,所以=(-4)2-4b =16-4b=0,所以AC=b=4,又因为BC=2,AB=2 ,所以BC2+AB2=AC2,所以三 角形ABC为直角三角形,AC为斜边,则AC边上的中线长为斜边的一半,即2.,16.(2017山东潍坊诸城期中)已知线段AB的长为2,以AB为边在AB的下 方作正方形ACDB.取AB边上一点E,以AE为边在AB的
9、上方作正方形 AENM.过点E作EFCD,垂足为点F,如图2-7-1.若正方形AENM与四边 形EFDB的面积相等,则AE的长为 .图2-7-1,答案 -1,解析 设AE=x,则BE=2-x,正方形AENM与四边形EFDB的面积相等, x2=2(2-x),解得x1= -1,x2=- -1(舍去).AE的长为 -1.,17.(8分)解下列方程: (1)3x2-6x+2=0; (2)9(x-2)2-4x2=0.,解析 (1)3x2-6x+2=0, x2-2x+ =0, (x-1)2= , x1=1+ ,x2=1- . (2)9(x-2)2-4x2=0, 3(x-2)+2x3(x-2)-2x=0,
10、(5x-6)(x-6)=0, x1= ,x2=6.,18.(2019广东广州越秀期中)(7分)已知关于x的方程x2-2mx+m2-4m-1=0. (1)若这个方程有实数根,求m的取值范围; (2)若此方程有一个根是1,请求出m的值.,解析 (1)根据题意知=(-2m)2-4(m2-4m-1)0, 解得m- . (2)将x=1代入方程得1-2m+m2-4m-1=0, 整理,得m2-6m=0, 解得m1=0,m2=6, 由(1)可知m- , m=0和m=6均符合题意, 故m=0或m=6.,19.(2019江苏镇江句容期中)(7分)如图2-7-2,学校要用长24米的篱笆围 成一个长方形生物园ABCD
11、,EF是ABCD内用篱笆做成的竖直隔断.为了 节约材料,场地的一边CD借助原有的一面墙,墙长为12米,长方形生物园 ABCD的面积为45平方米,求长方形场地的边AD的长.图2-7-2,解析 设AD的长为x米,则AB的长为(24-3x)米, 根据题意得x(24-3x)=45, 化简得x2-8x+15=0, 解得x1=3,x2=5. 当x=3时,24-3x=1512(不符合题意,舍去); 当x=5时,24-3x=9. 答:长方形场地ABCD的边AD的长为5米.,20.(2019天津红桥期中)(8分)某商品现在的售价为每件60元,每月可卖 出300件.市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每月要少卖
12、出10件.该商 品的进价为每件40元,设每件涨价x元. (1)根据题意,填写下表:,(2)若该商品上个月的销售利润为5 250元,求上个月该商品的定价.,解析 (1)300-104=260,20+8=28, 当每件涨价x元时,每件的利润为(20+x)元,每月可卖出(300-10x)件, 故答案为260;28;20+x;300-10x. (2)根据题意得(20+x)(300-10x)=5 250, 整理得x2-10x-75=0, 解得x1=-5(舍去),x2=15. 60+x=75(元). 答:上个月该商品的定价为75元.,21.(2019江苏扬州邗江期中)(8分)如图2-7-3,ABC中,B=
13、90,AB=9, BC=12,点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动,与此同时,点Q 从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动.如果P,Q分别从A,B同时 出发,当点Q运动到点C时,两点停止运动,点P、Q运动了t秒,问: (1)填空:BQ= cm,PB= cm(用含t的代数式表示); (2)经过几秒,PQ的长为6 cm? (3)经过几秒,PBQ的面积等于8 cm2?,图2-7-3,解析 (1)根据题意得BQ=2t cm,PB=(9-t)cm. 故答案为2t;9-t. (2)根据题意得(9-t)2+(2t)2=(6 )2, 整理得5t2-18t+9=0, 解得t1= ,t2
14、=3, 经过 秒或3秒,PQ的长为6 cm. (3)根据题意得 (9-t)2t=8, 整理得t2-9t+8=0, 解得t1=8,t2=1, 由题意知0t6,t=1.,答:经过1秒,PBQ的面积等于8 cm2.,22.(8分)学校为了美化校园环境,在一块长40米,宽20米的长方形空地上计划新建一块长9米,宽7米的长方形花圃. (1)若在这块空地上设计一个长方形花圃,使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米,请你给出你认为合适的三种不同的方案; (2)在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下,长方形花圃的面积能否增加2平方米?如果能,请求出长方形花圃的长和宽;如果不能,请说明理由.,
15、解析 (1)方案一:长为9 米,宽为7米. 方案二:长为9米,宽为7 米. 方案三:长=宽=8米. (2)在长方形花圃周长不变的情况下,长方形花圃的面积不能增加2平方米. 由题意得长方形花圃长与宽的和为16米. 设长方形花圃的长为x米,则宽为(16-x)米. 解法一:由题意得x(16-x)=97+2, 整理得x2-16x+65=0, =(-16)2-4165=-40,此方程无实数根, 在长方形花圃周长不变的情况下,长方形花圃的面积不能增加2平方 米. 解法二:由题意得S长方形花圃=x(16-x)=-x2+16x=-(x-8)2+64.当x=8时,S长方形花圃 取得最大值,最大值为64. 在长方形花圃周长不变的情况下,长方形花圃的最大面积为64平方 米,因此不能增加2平方米.,
