2001年全国高中数学联赛试题及解答.doc-道客多多

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1、第 1 页共 9 页二一年全国高中数学联合竞赛题（10 月 4 日上午 8：009：40）三题号一二13 14 15 合计加试总成绩得分评卷人复核人学生注意：1、本试卷共有三大题（15 个小题），全卷满分 150 分。2、用圆珠笔或钢笔作答。3、解题书写不要超过装订线。4、不能使用计算器。一、选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分）本题共有 6 个小是题，每题均给出（A ）（B）（C）（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得 6 分；不选、选错或选的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得 0 分。1、已知

3、BC=60，AC=12，BC=k 的ABC 恰有一个，那么 k 的取值范围是（A）k=8 （B ）0a2a3a4a5a6）的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论。二一年全国高中数学联合竞赛加试试题（10 月 4 日上午 10：0012：00）学生注意：1、本试卷共有三大题，全卷满分 150 分。2、用圆珠笔或钢笔作答。3、解题书写不要超过装订线。4、不能使用计算器。一、（本题满分 50 分）如图：ABC 中，O 为外心，三条高 AD、BE、CF 交于点 H，直线 ED 和 AB 交于点 M，FD 和 AC 交于点 N。求证：（1）OBDF，

4、OCDE；（2）OHMN。二、（本题满分 50 分）设 xi0(I=1,2,3,n)且，求的最大值与最小值。1112njkjkni xxnix三、（本题满分 50 分）将边长为正整数 m,n 的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形，每个正方形的边均平行于矩形的相应边，试求这些正方形边长之和的最FABCDE第 3 页共 9 页小值。2001 年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准一选择题：CBDDCA二填空题7 8 932 i13720610 11 12 732 ),4(),1(),072),),三解答题13设所求公差为 d，a 1a 2，d0由此得化简得：4212)()(a 0

5、4212da解得： 5 分1而，故 a102若，则1)(d221)(q若，则 10 分1)2(a221)(但存在，故| q | 1，于是不可能21nnbblim 2)1(q从而 )2(1)( 212 aa所以 20 分)(,11 d14解：(1)由消去 y 得： )(2mxya 0222amxa设，问题(1)化为方程在 x( a，a)上有唯一解或等根22)(axf 只需讨论以下三种情况：10 得：，此时 xpa 2，当且仅当 aa 2a，即 0a1 时适合；21第 4 页共 9 页2f (a)f (a)0，当且仅当 ama；3f (a)0 得 ma，此时 xpa2a 2，当

6、且仅当aa2a 2a，即 0a1 时适合f (a)0 得 ma，此时 xpa2a 2，由于a2a 2a，从而 ma综上可知，当 0a1 时，或am a ；1当 a1 时，am a 10 分(2)OAP 的面积 pyS20a ，故ama 时，0 a，ma212由唯一性得 axp12显然当 ma 时，x p 取值最小由于 xp0，从而 yp 取值最大，此时，21axp2ayp2S当时，x pa 2，y p ，此时 1a21a21aS下面比较与的大小：2令，得1aa3故当 0a 时，，此时 3221a21aSmax当时，，此时 20 分21a15解：设 6 个电阻的组件(如图 3)

7、的总电阻为 RFG，当 R ia i，i 3，4，5，6，R 1、R 2 是 a1、a 2 的任意排列时，R FG 最小 5 分证明如下：1设当两个电阻 R1、R 2 并联时，所得组件阻值为 R，则故交换二电阻的位置，不21改变 R 值，且当 R1 或 R2 变小时，R 也减小，因此不妨取 R1R 22设 3 个电阻的组件(如图 1)的总电阻为 RAB2132321AB 显然 R1R 2 越大，R AB 越小，所以为使 RAB 最小必须取 R3 为所取三个电阻中阻值最小的个3设 4 个电阻的组件(如图 2)的总电阻为 RCD 第 5 页共 9 页432431421RRABCD若记 41,j

8、ijiRS，则 S1、S 2 为定值，于是412kjikji 4312RSCD只有当 R3R4 最小，R 1R2R3 最大时，R CD 最小，故应取 R4R 3，R 3R 2，R 3R l，即得总电阻的阻值最小 15 分4对于图 3 把由 R1、R 2、R 3 组成的组件用等效电阻 RAB 代替要使 RFG 最小，由 3必需使R6R 5；且由 1应使 RCE 最小由 2知要使 RCE 最小，必需使 R5R 4，且应使 RCD 最小而由 3，要使 RCD 最小，应使 R4R 3R 2 且 R4R 3R 1，这就说明，要证结论成立20 分2001 年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准一证明

9、：(1)A、C 、D 、F 四点共圆BDF BAC又OBC (180BOC)90BAC21OB DF第 6 页共 9 页(2)CFMAMC 2MH 2AC 2AH 2 BE NANB 2NH 2AB 2 AH 2 DABCBD 2CD 2BA 2 AC 2 OBDFBN 2BD 2ON 2OD 2 OCDECM 2CD 2OM 2 OD 2 30 分，得NH 2MH 2ON 2OM 2 MO 2MH 2NO 2NH 2OHMN 50 分另证：以 BC 所在直线为 x 轴，D 为原点建立直角坐标系，设 A(0，a )，B(b，0)，C( c，0) ，则 bakckABAC,直线 AC 的方程为

10、，直线 BE 的方程为)(xay )(xcy由得 E 点坐标为 E( )(cxayb 22,cabcb同理可得 F( )22,bab直线 AC 的垂直平分线方程为 )2(cxy直线 BC 的垂直平分线方程为 x由得 O( )2)(cbxay abc2,bcabkabcbkDFOB 222,2 OBDF1DFB同理可证 OCDE在直线 BE 的方程中令 x0 得 H(0， )(bacyabc第 7 页共 9 页 acbcbakOH3222直线 DF 的方程为 xy2由得 N ( )(2cxayb 222,cbacba同理可得 M ( )222,cba bacckN 3)3)()(22

11、2 k OH kMN 1，OHMN二解：先求最小值，因为 1 ninjkjknini xxx121 1)(等号成立当且仅当存在 i 使得 xi1，x j0，ji 最小值为 1 10 分nix1再求最大值，令 kky nknjkjy121设，令nkkkyxM1nnay 2211则 30 分1221naa令 0 ，则1nkk11)( knknknknkkaaaa11111)(由柯西不等式得：第 8 页共 9 页212121 )()()(1 nknknk aM等号成立 222 )1()1(naa2221 )()()( kna (k=1，2，n)21)(1nka由于 a1a 2a n，从而，即

12、 xk0)1(21nkkk kay所求最大值为 50 分21)(1nk三解：记所求最小值为 f (m，n) ，可义证明 f (m，n) rnn(m ，n) (*)其中(m，n) 表示 m 和 n 的最大公约数 10 分事实上，不妨没 mn(1)关于 m 归纳，可以证明存在一种合乎题意的分法，使所得正方形边长之和恰为 rnn(m，n)当用 m1 时，命题显然成立假设当，mk 时，结论成立( k1) 当 mk1 时，若 nk 1，则命题显然成立若 nk1，从矩形 ABCD 中切去正方形 AA1D1D(如图)，由归纳假设矩形 A1BCD1 有一种分法使得所得正方形边长之和恰为 mnn(mn，n)m

13、( m，n) ，于是原矩形 ABCD有一种分法使得所得正方形边长之和为 rnn(m ，n) 20 分(2)关于 m 归纳可以证明 (*)成立当 m1 时，由于 n1，显然 f (m，n)rnn( m， n)假设当 mk 时，对任意 1nm 有 f (m，n)rnn(m，n)若 mk1，当 nk1 时显然 f (m，n) k1rnn(m ，n)当 1nk 时，设矩形 ABCD 按要求分成了 p 个正方形，其边长分别为 al，a 2，a p 不妨 a1a 2a p显然 a1n 或 a1n若 a1n，则在 AD 与 BC 之间的与 AD 平行的任一直线至少穿过二个分成的正方形 (或其边界)于是 a1a 2a p 不小于 AB 与 CD 之和所以 a1a 2a p2m rn n(m，n)若 a1n，则一个边长分别为 mn 和 n 的矩形可按题目要求分成边长分别为 a2，a p 的正方形，由归纳假设a2a pmnn (mn，n) rn(m ，n)从而 a1a 2a prnn(m ，n)于是当 rnk1 时，f (m ，n) rnn(m，n)A A1 BCD1Dmn第 9 页共 9 页再由(1)可知 f (m，n)rnn( m，n) 50 分

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