1、机械控制理论基础,第六章 系统的稳定性,6.1 稳定性 6.2 劳斯胡尔维茨稳定性判据 6.3 奈奎斯特稳定性判据 6.4 系统的相对稳定性,不稳定的现象,稳定的摆,不稳定的摆,6.1 稳定性,1940年11月7日，一阵风引起了桥的晃动，而且晃动越来越大，直到整座桥断裂。,跨越华盛顿州塔科马峡谷的首座大桥，开通于1940年7月1日。只要有风，这座大桥就会晃动。,6.1 稳定性,1. 稳定性的概念,定义：系统受到外界干扰作用时，其被控制量yc(t)将偏离平衡位置，当这个干扰作用去除后，若系统在足够长的时间内能够恢复到其原来平衡位置或者趋于一个给定的新的平衡状态，则系统是稳定的。反之若系统对干扰的
2、瞬态响应随时间的推移而不断扩大或产生持续振荡，则系统是不稳定的。,只有稳定的系统才能正常工作，在设计一个系统时，首先要保证其稳定性；在分析一个系统时，也首先要判定是否稳定。线性系统是否稳定，是系统本身一个特性，与输入量或干扰无关。,2. 判别系统稳定性的基本准则,线性定常系统微分方程的一般形式为：,（61）,由拉氏变换的数学方法求解式(6-1):,其中x(t)为输入，y(t)为输出，ai(i=0n)，bj(j=0m)为常数。,再经拉氏反变换可得原函数：,令：,为式(6-1)的齐次通解，是与初始条件A0(s)，B0(s)有关而与输入或干扰x(t)无关的补函数。,令：,为式(6-1)的非齐次特解，
3、是与初始条件A0(s)，B0(s)无关而与输入或干扰x(t)有关的特解。,既然系统的稳定与否要看系统在除去干扰后的运行情况，因此系统的补函数yc(t)就完全反应了系统是否稳定。,如果当 时， ，则系统为稳定；若当 时， ，或是时间t的周期函数，则系统不稳定。为此需求解yc(t)。,一般称A(s)=0为系统的“特征方程”，它的解si称为特征根。若si为复数，则由于实际物理系统A(s)的系数均为实数，因此si总是以共扼复数形式成对出现，即：,亦即,则系统不稳定。,此时，只有当其实部ai0时，方能使得在 时,若si为实数，则只有当实数之值小于0，即ai0时，方能使得在 时,反之，若si的实部ai0时
4、，则当 时，将使得,即,综上所述，判别系统稳定性的问题可归结为对系统特征方程的根的判别，即：一个系统稳定的必要和充分条件是其特征方程的所有根都必须为负实数或具有负实部的复数。亦即稳定系统的全部特征根si均在复平面的左半平面。,若 实部 ，则 。 将包含 ，即 这样的时间函数，系统将产生持续振荡，其振荡频率 等于bi，系统也不稳定。,应当指出，上述不稳定区虽然包括虚轴 ，但对于虚轴上的坐标原点应具体分析。当有一个特征根在坐标原点时 ， 常数，系统达到新的平衡状态，仍属稳定。当有两个及两个以上特征根在坐标原点时， ，其瞬态响应发散，系统不稳定。,对于如图所示闭环系统，传递函数为：,令该函数的分母等
5、于零就得到系统的特征方程：,故可以根据上述方程特征根的位置来判别系统的稳定性。,由,可知，系统特征方程A(s)=0的特征根与系统闭环传递函数F(s)的极点是相同的，因此由系统的传递函数,取其分母A(s)=0，即可分析系统的稳定性。,6.2 劳斯胡尔维茨稳定性判据,线性定常系统的稳定性分析，本质上就是确定特征方程根在复平面上的位置，劳斯胡尔维茨稳定性判据是通过分析特征方程的根与系数的代数关系，由特征方程中的系数来判别特征根是否在s平面左平面，以及不稳定根的个数。,1. 劳斯稳定性判据,(1) 系统稳定的必要条件,线性定常系统的特征方程为：,式中，系数ai(i=0,1,2,n)为实数，并且 。,将
6、上式右边展开得到特征根与系数的关系如下：,假设其特征根为si(i=1,2,n)，则,若特征根的实部全为负数时，则由上式可以看出系统稳定的必要条件为：特征多项式所有系数符号相同。若系数中有不同的符号或其中某个系数为零（a0=0除外），则必有带正实部的根，系统不稳定。（这只是个必要条件而非充分条件）,2.1 Routh行列式,列写Routh行列式,是利用Routh判据进行系统稳定性分析的主要工作,其步骤如下:,列写系统特征方程,(2) 系统稳定的充分条件,计算Routh行列式的每一行都要用到该行前面两行的数据。,计算行列式的其余各行,例如6阶特征方程,其劳斯行列式为,Back,如果符号为正系统稳定
7、； 如果符号不同 符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数系统不稳定。,对Routh行列表中的“第一列”各数的符号进行判断：,劳斯稳定性判据：系统稳定的充分必要条件是，其特征方程的全部系数符号相同，并且其劳斯数列的第一列（an，an1，c1，d1等）所有各项全部为正，否则系统不稳定。,例劳斯判据判定稳定性,（3） Routh 判据的特殊情况,Back,特殊情况1：第一列出现0,第一列出现0,各项系数均为正数,解决方法：用任意小正数代之。,特殊情况2：某一行元素均为0,解决方法：用全0行的上一行元素构成辅助方程,用对该方程求导后的方程系数替代全0行.,各项系数均为正数,出现全0行,说明:劳
8、斯阵列出现全零行表明系统在s平面有对称分布的根,共轭虚根,对称于实轴的两对共轭复根,Back,对称于虚轴,2. 胡尔维茨稳定性判据,胡尔维茨法也属于代数判据，它是把特征方程和系数用相应的行列式表示，系统稳定的充要条件为： （1）特征方程的所有系数an,an-1,a0均为正； （2）由特征方程系数组成的各阶胡尔维茨行列式均为正，即,胡尔维茨行列式按照下面方法生成：在主对角线上写出特征方程式的第二项的系数an-1直到最后一项的系数a0 ，在主对角线以下的各行中，按列填充下标号码逐次增加的各系数；而在对角线以上各行中，按列填充下标号码逐次减小的各系数。如果在某位置上按次序应填入的系数下标大于n或小于
9、0，则在该位置补0。,当主行列式及其主对角线上各子行列式均大于零时，特征方程式就没有根在s平面的右半平面，即系统稳定。,例6.7 系统特征方程为,判别系统稳定性。,解：写出胡尔维茨主行列式,可得各子行列式为,因为这些子式均大于零，故系统稳定,6.3 奈奎斯特稳定性判据,奈奎斯特稳定性判据是一种几何判断，它根据开环传递函数的特点，通过作奈奎斯特图来研究闭环控制系统稳定性，不仅能判别稳定性还可以分析系统的稳定和不稳定程度，并从中找出改善系统性能的途径。,1. 基本原理,如图所示闭环系统，其传递函数为：,闭环系统稳定的充要条件：特征方程的根全部在s平面的左半平面，只要有一个根在右半平面或虚轴上，系统
10、就不稳定。奈奎斯特判据是根据开环奈奎斯特图以及开环极点位置来判断闭环特征方程的根的位置，从而判定稳定性。下面介绍其步骤：,（1）闭环特征方程与特征函数,系统闭环特征方程为,而其特征函数为,故开环传递函数为,而闭环特征方程可表示为,（616）,（618）,（617）,（619）,其中G(s)，H(s)都是复数s的函数，可分别表示为如下多项式之比：,特征函数 可表达为：,式（617）中分母、分子的阶次分别为n和m，因为G(s)和H(s)均为物理可实现的环节，所以 ，故特征函数A(s)分子分母的阶次均为n，比较（617）、（618）和（619），可得如下结论： 闭环特征方程的根与特征函数的零点完全相
11、同； 特征函数的极点与开环传递函数的极点完全相同； 特征函数的零点数与其极点数相同（等于n）。 因为系统开环传递函数及其极点已知，根据式（618），可以通过对开环传递函数G(s)H(s)和特征函数 的频率特性分析，确定特征函数的零点（即闭环特征方程根）的分布，从而判别系统的稳定性，这就是奈奎斯特稳定性判据的基本原理。,（2）幅角原理,奈奎斯特判据的数学基础是复变函数理论中的幅角原理，由前面特征函数零、极点与开环极点的关系，利用幅角原理，可以得到特征函数零点分布与开环极点分布及开环幅角变化的关系。,将(6-18)分解因式得：,（620）,（618）,（621）,（622）,将(6-21)和(6-
12、22)代入(6-20)得,(6-23),(6-24),(6-25),下面以右图为例说明如何确定N：,由式625可知，在A(s)平面上，过原点任作一条直线OC，观察A(s)形成的矢端曲线GA以不同方向通过OC直线次数的差值来定N，顺时针通过为负，逆时针通过为正。 (a) N=2; (b) N=0; (c) N=3; (d) N=0;,(6-25),（3）奈奎斯特判据,判别系统的稳定性就是判别闭环特征方程在s平面右半平面根的个数，即特征函数A(s)在右半平面的零点数。,(6-26),（4）开环传递函数与奈奎斯特判据,(6-27),我们可以通过坐标平移，由1+G(s)H(s)平面即A(s)平面变换到
13、GH平面（G(s)H(s)的简写），即由1+G(s)H(s)=0变换为：,如图所示，在1+G(s)H(s)平面上绕原点逆时针旋转的圈数，相当于在GH平面上绕（1,j0）点逆时针旋转的圈数。 这样我们就可以用系统的开环传递函数G(s)H(s)来判别系统的稳定性。,（4）开环传递函数与奈奎斯特判据,当在s平面上的点沿虚轴及包围右半平面之无穷大半圆Gs曲线顺时针旋转一周时，在GH平面上所画的开环传递函数G(s)H(s)的轨迹叫做奈奎斯特曲线。,（4）开环传递函数与奈奎斯特判据,综上所述，用奈奎斯特法判别系统稳定性，一个系统稳定的必要和充分条件是：z=pN=0 式中：z为闭环特征方程在s右半平面的特征
14、根数；p为开环传递函数在s右半平面（不包括原点）的极点数；N为自变量s沿包含虚轴及整个右半平面在内的极大的封闭曲线顺时针转一圈时，开环奈奎斯特图绕（1,j0）点逆时针转的圈数；当p0，即开环无极点在s右半平面，则系统稳定的必要和充分条件是开环奈奎斯特图不包围（1,j0）点，即N0。,（4）开环传递函数与奈奎斯特判据,如果特征方程式为：,其中 即为式456所示的典型表达形式 ，K为开环增益。将 中的K分离出来则有：,即可通过 的奈奎斯特图绕 点转的圈数和极点数来判别系统的稳定性。,对于G(s)H(s)在原点或虚轴上有极点的情况，应使s沿着绕过这些极点的极小半圆变化，如图(a)所示。这个小半圆的半
15、径为 ，通常是在s平面的右半侧绕过这些极点，这样原点和虚轴上的极点就不包括在内。以原点处的极点为例，当s沿着虚轴从 向上运动到这些小半圆时，由于 ，故s是从 开始沿此小半圆绕到 ，然后再沿虚轴继续运动，如图(b)所示。这些小半圆的面积趋近于零，因此除了原点和虚轴上的极点外，右半s平面的零点、极点仍将全部被包含在无穷大半径的封闭曲线之内。 对应于s平面上这一无穷小半圆，在GH平面上的图形是一个半径 趋于无穷大的半圆（因为G(s)H(s)的极点在虚轴上，其幅值是变量s的幅值之倒数），这样GH的向量轨迹为如图(c)所示的封闭曲线。,（4）开环传递函数与奈奎斯特判据,2. 用奈奎斯特法判别系统的稳定性
16、,例6.8 判别如图所示0型系统的稳定性，其对应开环传递函数和奈奎斯特图分别为：,因为p0，N0，所以z0，系统稳定。,因为p0，N2，所以zpN2，系统不稳定。,因为p0，N0，所以zpN0，系统稳定。,例6.10 设系统开环传递函数和奈奎斯特图如下，试判别其稳定性,例6.11 判别II型系统的稳定性，其开环传递函数为：,例6.12 已知系统的开环传递函数如下，试分析其稳定性,3 实例 判别电液伺服系统的稳定性,电液伺服系统开环传递函数可简化为：,系统的奈奎斯特图：,开环传递函数的频率特性：,与负实轴交点的相位角应为180，即：,解得：,可得与负实轴交点的幅值为：,要使系统稳定，则必须满足：
17、,即：,即速度放大系数Kv受 和 的限制，不能太大。,6.4 系统的相对稳定性,由奈奎斯特图与（1,j0）点的关系，不但可判别系统稳定与否，而且它还表示了系统稳定或不稳定的程度，即系统的相对稳定性，我们用相位裕量和幅值裕量来表示系统稳定性的程度。,1. 相位裕量g和幅值裕量Kg,在开环奈奎斯特图上，从原点到奈奎斯特图与单位圆的交点连一直线，该直线与负实轴的夹角就是相位裕量g，可表示为：,为奈奎斯特图与单位圆交点频率 上的相位角。 称作剪切频率或幅值穿越频率。,系统稳定 系统不稳定,g越小表示系统相对稳定性越差，一般取：,在开环奈奎斯特图上，奈奎斯特图与负实轴交点处幅值的倒数，称幅值裕量Kg。而
18、奈奎斯特图与负实轴交点处的频率 称作相位穿越频率（或相位交界频率），则有：,在伯德图上，幅值裕量取分贝为单位，则,，则 ，系统稳定 ，则 ，系统不稳定,Kg一般取820dB为宜。,关于幅值裕量g和相位裕量Kg的说明：,当 ， ，系统稳定，是对最小相位系统而言，对非最小相位系统不适用； 衡量一个系统的相对稳定性，必须同时用相位裕量和幅值裕量这两个指标； 适当地选择相位裕量和幅值裕量，可以防止系统中参数变化导致系统不稳定的现象。一般取 ， 。具有这样稳定性裕量的最小相位系统，即使系统开环增益或元件参数有所变化，通常也能使系统保持稳定。,关于幅值裕量g和相位裕量Kg的说明：,对于最小相位系统，开环的
19、幅频特性和相频特性有一定的关系，要求系统具有 的相位裕量，即意味着对数幅频图在穿越频率 处的斜率应大于 。为保持稳定，在 处应以 斜率穿越为好，因为当斜率为 穿越时，对应的相位角在 左右。考虑到还有其他因素的影响就能满足 。,关于幅值裕量g和相位裕量Kg的说明：,分析一阶和二阶系统的稳定程度，其相位裕量总大于零，而其幅值裕量为无穷大，因此从理论上一阶和二阶系统不可能不稳定。但是实际上某些一阶和二阶系统的数学模型本身是在忽略了一些次要因素之后建立的，实际系统常常是高阶的，其幅值裕量不可能为无穷大，因此系统参数变化时，比如开环增益太大，这些系统仍有可能不稳定。,例6.13 设系统开环传递函数如下，试分析当阻尼比很小时系统的相对稳定性,例6.14 如图控制系统，当K10和K100时，试求系统的相位裕量和幅值裕量。,2. 条件稳定系统,系统开环传递函数为：,系统开环增益K较小时，系统稳定性较好，当K增大时，稳定性变差。,K值增大或减小到一定程度，系统都有可能趋于不稳定，只有当K值在一定范围时，系统才稳定，这种系统称为“条件稳定系统”,例6.15 已知单位反馈系统开环传递函数如下，试确定使系统稳定的K值,解：系统的特征方程为,列出劳斯数列,根据劳斯判据，要使系统稳定，必需,即系统稳定的条件为：0.629K1.590（条件稳定系统）。,
