对高等数学及其学习的认识与思考.pdf

1、第 卷 第 期年 月无 锡 南 洋 学 院 学 报凹 峨 抖对 高 等 数 学 及 其 学 习 的 认 识 与 思 考张 瑰解 放 军 理 工 大 学 理 学 院 数 理 系 , 江 苏 南 京 ,【 摘 要 本 文 阐 述 了 学 习 高 等 数 学 对 于 进 一 步 学 习 专 业 课 程 以 及 科 学 研 究 的 重 要 意 义 , 通 过 对 高等 数 学 的 特 点 进 行 分 析 , 对 大 学 生 如 何 学 习 和 应 用 高 等 数 学 提 出 了 自 己 的 几 点 见 解 。关 键 词 高 等 数 学 学 习中 图 分 类 号 文 献 标 识 码 文 章 编 号 一

2、碎 一从 中 学 跨 入 大 学 校 门 , 学 生 们 随 即 就 要 步 人 高 等 数 学 的 神 圣 殿 堂 。 高 等 数 学 的 范 畴 非 常 广 泛 , 如 在 第 一学 期 开 始 学 习 的 高 等 数 学 是 狭 义 的 高 等 数 学 , 又 称 之 为 微 积 分 , 如 果 充 实 了 实 数 理 论 和 相 关 的 严 格 性证 明 亦 称 为 数 学 分 析 。 接 下 来 要 学 习 的 线 性 代 数 、 概 率 论 与 数 理 统 计 、 复 变 函 数 、 数 学 物 理 方 程 、 积 分 变 换 等 数 学 课 程 , 可 以 称 为 广 义 的 高

3、 等 数 学 。 在 以 后 的 学 习 过 程 中 我 们 将 逐 步 认 识 到 , 微 积 分 乃 是 高等 数 学 中 最 重 要 最 基 础 的 一 门 课 程 , 高 等 数 学 的 各 种 重 要 特 点 和 意 义 , 在 微 积 分 中 都 有 典 型 的 体 现 。 所 以“ 高 等 数 学 ” , 既 可 以 理 解 为 包 括 多 门 学 科 的 广 义 高 等 数 学 , 也 可 以 理 解 为 单 指 微 积 分 的 狭 义 高 等 数 学 。开 始 学 习 高 等 数 学 时 , 大 家 自 然 而 然 会 提 出 这 样 的 问 题 高 等 数 学 在 数 学

4、学 科 中 占 据 怎 样 的 地 位 , 它 的结 论 对 技 术 科 学 、 自 然 科 学 有 什 么 意 义 这 门 科 学 的 特 点 是 怎 样 的 , 它 与 中 学 里 学 过 的 代 数 、 几 何 等 初 等 数学 课 程 有 些 什 么 不 同 在 学 习 时 又 该 注 意 哪 些 问 题 等 等 。 我 们 首 先 应 对 这 些 问 题 有 一 个 初 步 认 识 。一 、 学 习 高 等 数 学 的 意 义通 过 学 习 高 等 数 学 , 可 以 提 高 科 学 文 化 素 质高 等 数 学 蕴 含 丰 富 的 文 化 性 , 通 过 学 习 可 以 提 高 学

5、 生 的 科 学 文 化 素 质 。 由 于 数 学 是 一 种 文 化 , 数 学 教 育是 一 种 文 化 素 质 的 教 育 , 因 此 说 提 高 文 化 素 质 的 原 则 , 在 数 学 教 育 中 占 据 不 可 等 闲 视 之 的 重 要 地 位 川 。阿 而 布 施 纳 特 约 翰 , 这 样 说 道 “ 数 学 能 唤 起 热 情 而 抑 制 急 噪 , 净 化 灵 魂 而 使 之 杜 绝 偏见 与 错 误 。 恶 习 乃 是 错 误 、 混 乱 和 虚 伪 的 根 源 , 所 有 的 真 理 都 与 此 抗 衡 。 而 数 学 真 理 更 有 益 于 青 年 人 屏 弃

6、恶习 ” ,。 通 过 学 习 高 等 数 学 , 可 以 学 习 数 学 家 坚 忍 不 拔 、 追 求 真 理 的 科 学 精 神 , 这 种 精 神 乃 是 文 化 素 质 的 一 个重 要 侧 面 , 是 我 们 今 后 从 事 科 技 工 作 必 不 可 少 的 。 据 了 解 , 英 国 律 师 在 大 学 里 要 学 习 许 多 数 学 知 识 , 这 并 不是 因 为 英 国 律 师 学 习 的 课 程 与 数 学 知 识 有 何 直 接 联 系 , 而 只 是 出 于 这 样 一 种 考 虑 , 那 就 是 通 过 严 格 的 数 学训 练 , 使 之 养 成 一 种 坚 定

7、 不 移 而 又 客 观 公 正 的 品 格 , 使 之 形 成 一 种 严 格 而 精 密 的 思 维 习 惯 , 从 而 对 他 们 的 事业 取 得 成 功 大 有 裨 益 。 数 学 从 它 的 公 理 开 始 到 演 绎 的 最 后 一 个 环 节 都 是 不 允 许 有 一 句 谎 言 的 , 即 便 是 乱 用一 个 正 负 号 、 乱 打 一 个 小 数 点 都 不 行 。 这 种 求 真 的 忠 诚 和 严 肃 性 , 堪 称 人 类 追 求 真 理 的 表 率 和 楷 模 。 数 学 语言 的 这 种 高 度 抽 象 性 、 严 密 性 、 逻 辑 性 、 精 练 性 要

8、求 学 生 在 学 习 过 程 中 逐 步 树 立 起 丹 笙 求 实 、 一 丝 不 苟 的 科学 精 神 , 为 其 从 事 科 学 研 究 与 技 术 创 新 打 下 坚 实 的 基 础 。 正 如 数 学 家 狄 尔 曼 , 所 说 “ 数 学 能 够集 中 、 加 速 和 强 化 人 们 的 注 意 力 , 能 够 给 人 发 明 创 造 的 精 细 与 谨 慎 的 谦 虚 精 神 , 能 够 激 发 人 们 追 求 真 理 的 勇气 和 自 信 心 。 数 学 比 起 任 何 其 他 学 科 来 , 更 能 使 学 生 得 到 充 实 和 增 添 知 识 的 光 辉 , 更 能 锻

9、 炼 和 发 挥 学 生 们 探收 稿 日 期作 者 简 介 张 瑰 一 , 女 , 讲 师 , 在 读 博 士第 期 张 瑰 对 高 等 数 学 及 其 学 习 的 认 识 与 思 考索 事 理 的 独 立 工 作 能 力 。 ” 浏通 过 学 习 高 等 数 学 , 可 以 提 高 科 技 创 新 能 力我 们 知 道 , 数 学 特 别 是 高 等 数 学 是 训 练 科 学 思 维 的 全 能 体 操 , 是 提 高 创 新 能 力 的 良 好 途 经 。 数 学 和 任何 一 门 其 它 自 然 科 学 或 社 会 科 学 一 样 , 它 的 诞 生 、 存 在 和 发 展 , 根

10、本 的 关 键 因 素 在 于 不 断 地 创 新 。 高 等 数 学中 许 多 著 名 的 命 题 及 定 理 最 开 始 总 是 以 “ 猜 想 ” 形 式 存 在 , 它 们 的 理 论 证 明 远 比 其 “ 诞 生 ” 要 晚 得 多 。 因 此 , 在数 学 学 习 过 程 中 , 可 以 学 会 数 学 家 如 何 发 现 问 题 、 洞 察 问 题 、 解 决 问 题 的 能 力 学 会 观 察 数 学 家 如 何 从 简 单问 题 看 到 问 题 的 复 杂 性 , 又 从 复 杂 问 题 分 解 为 简 单 问 题 的 敏 锐 的 眼 光 。 在 高 等 数 学 中 还 处

11、 处 可 见 类 比 、 归 纳等 重 要 的 思 维 方 法 , 在 学 习 具 体 的 数 学 知 识 的 同 时 , 还 可 以 从 中 受 到 如 何 发 现 问 题 、 分 析 并 解 决 问 题 的 数 学思 维 方 法 的 熏 陶 。随 着 科 学 技 术 的 突 飞 猛 进 , 科 学 知 识 不 断 增 加 , 应 用 技 术 迅 速 更 新 , 从 而 对 发 展 技 术 、 开 发 物 力 的 科 技人 员 的 知 识 和 能 力 提 出 了 更 高 要 求 。 一 个 科 技 人 员 所 应 该 具 备 的 能 力 有 很 多 , 如 独 立 获 取 知 识 的 能 力

12、 、 分析 问 题 的 思 维 能 力 、 解 决 问 题 的 创 造 能 力 、 组 织 能 力 和 语 言 表 达 能 力 等 等 , 在 大 学 中 对 于 这 些 能 力 都 要 进 行训 练 。 随 着 科 学 技 术 的 发 展 , 科 研 方 向 和 课 题 的 变 化 , 科 技 工 作 者 的 知 识 以 及 知 识 结 构 总 是 要 处 于 不 断 发 展变 化 之 中 。 这 就 要 求 科 技 工 作 者 不 但 要 具 有 深 厚 、 扎 实 的 专 业 知 识 基 础 , 更 要 具 有 开 阔 的 科 学 视 野 和 分 析 向题 解 决 问 题 的 能 力 。

13、 因 此 在 大 学 期 间 , 通 过 学 习 高 等 数 学 , 最 重 要 的 是 可 以 培 养 独 立 获 取 知 识 的 能 力 和 独 立工 作 的 能 力 , 有 了 这 种 能 力 就 能 在 实 际 工 作 特 别 是 在 科 学 研 究 中 不 断 地 扩 大 知 识 领 域 , 并 逐 步 提 高 分 析 问题 和 解 决 问 题 的 能 力 , 从 而 提 高 创 新 能 力 。高 等 数 学 是 各 门 学 科 的 基 础 , 是 工 程 技 术 和 科 研 工 作 的 基 本 工 具从 定 性 描 述 进 人 到 定 量 计 算 与 分 析 , 这 是 一 门 学

14、 科 趋 向 成 熟 和 高 度 发 展 的 重 要 标 志 。 由 于 “ 数 学 从 量 的侧 面 去 探 索 和 研 究 客 观 世 界 , 而 客 观 世 界 的 任 何 对 象 或 事 物 又 无 所 不 是 质 与 量 的 对 立 统 一 , 无 所 不 有 其 量的 侧 面 。 ” 这 就 从 根 本 上 决 定 了 数 学 已 经 在 各 专 门 学 科 中 , 有 其 特 殊 的 普 遍 性 和 应 用 上 的 广 泛 性 。 特 别 是世 纪 微 积 分 诞 生 以 来 , 数 学 在 应 用 上 的 光 辉 成 果 , 更 是 一 个 接 着 一 个 , 数 学 已 逐

15、渐 作 为 一 个 有 效 的 工 具 越来 越 被 人 们 所 重 视 , 这 一 点 在 物 理 学 和 工 程 学 中 表 现 得 尤 为 突 出 。 “ 在 纯 粹 数 学 研 究 气 氛 活 跃 的 同 时 , 应用 数 学 亦 不 甘 寂 寞 并 且 纯 粹 数 学 与 应 用 数 学 的 结 合 更 为 紧 密 , 向 其 它 学 科 的 渗 透 也 很 迅 速 。 ”从 小 的 方 面 来 说 , 高 等 数 学 是 其 它 数 学 与 非 数 学 专 业 的 各 门 课 程 的 基 础 。 无 论 翻 开 那 一 门 理 工 科 类 专业 教 科 书 或 者 经 济 类 专

16、业 教 材 , 如 大 学 物 理 、 流 体 力 学 、 工 程 力 学 、 电 路 分 析 基 础 、 电 子 信 号 处理 、 工 程 测 量 学 , 动 力 气 象 学 、 经 济 学 、 统 计 学 原 理 等 , 几 乎 随 处 都 可 看 到 导 数 、 积 分 的 符 号 , 以 及高 等 数 学 乃 至 现 代 数 学 中 的 各 种 抽 象 概 念 以 及 数 学 语 言 。 所 以 我 们 可 以 说 , 离 开 了 高 等 数 学 , 也 就 没 有 了 现代 科 学 技 术 不 懂 高 等 数 学 , 在 各 门 专 业 课 程 中 都 将 寸 步 难 行 。从 大

17、的 方 面 来 说 , 学 生 们 今 后 无 论 是 进 一 步 学 习 深 造 , 或 从 事 科 学 研 究 工 作 , 都 必 须 学 好 高 等 数 学 。 数 学早 已 成 为 现 代 科 学 技 术 不 可 或 缺 的 基 础 和 工 具 了 , 而 高 等 数 学 更 是 这 些 基 础 和 工 具 中 最 为 核 心 的 部 分 。 大 学毕 业 之 后 , 或 者 继 续 攻 读 硕 士 乃 至 博 士 研 究 生 , 或 者 为 现 代 化 建 设 从 事 工 程 技 术 工 作 和 科 学 研 究 工 作 , 高 等数 学 无 疑 将 是 经 常 运 用 的 工 具 。

18、 近 现 代 科 学 技 术 , 早 已 把 高 等 数 学 甚 至 现 代 数 学 的 概 念 、 方 法 , 当 作 自 己 不可 或 缺 的 最 基 本 最 重 要 的 工 具 , 把 高 等 数 学 中 的 符 号 、 语 言 作 为 最 通 用 最 准 确 的 科 学 语 言 了 。 如 果 不 能 熟 炼地 掌 握 高 等 数 学 的 语 言 和 计 算 方 法 , 那 么 一 定 会 大 大 影 响 自 己 所 从 事 的 工 程 技 术 工 作 或 科 学 研 究 工 作 。 相 反地 , 如 果 数 学 功 底 比 较 扎 实 , 数 学 修 养 比 较 深 厚 , 那 么

19、就 可 以 灵 活 运 用 知 识 进 行 创 造 性 工 作 , 解 决 实 际 问 题 。二 高 等 数 学 的 重 要 特 点大 家 知 道 , 现 实 世 界 中 的 客 观 事 物 , 都 是 在 一 定 的 空 间 中 运 动 变 化 的 , 而 且 它 们 在 运 动 变 化 的 过 程 中 都存 在 一 定 的 数 量 关 系 。 数 学 就 是 从 量 的 侧 面 研 究 客 观 世 界 的 一 门 科 学 , 正 如 恩 格 斯 所 说 数 学 是 “ 以 现 实 世界 的 空 间 形 式 和 数 量 关 系 为 对 象 ” 的 科 学 , 或 者 简 单 地 说 , 数

20、学 是 研 究 数 和 形 的 科 学 。 而 高 等 数 学 又 有 着 与初 等 数 学 不 同 的 重 要 特 点 , 具 体 如 下 。无 锡 南 洋 学 院 学 报 第 卷从 “ 有 限 ” 向 “ 无 限 ” 过 渡 是 高 等 数 学 的 一 大 重 要 特 点 。 在 初 等 数 学 中 几 乎 没 有 涉 及 到 “ 无 限 ” 的 概 念 , 而在 高 等 数 学 中 无 限 的 概 念 涉 及 非 常 广 泛 。 这 里 所 说 的 “ 有 限 ” 和 “ 无 限 ” 包 含 多 重 含 义 , 其 一 , 指 有 限 或 者 无 限运 算 其 二 , 指 空 间 维 数

21、 的 有 限 或 者 无 限 其 三 , 指 集 合 中 元 有 限 或 者 无 限 其 四 , 指 某 种 过 程 从 有 限 转 向 无 限等 等 。 微 积 分 在 诞 生 之 前 , 人 们 已 经 接 触 到 “ 无 限 ” 的 概 念 , 如 我 国 魏 晋 时 期 数 学 家 刘 徽 利 用 “ 割 圆 术 ” , 即 用 内接 正 多 边 形 周 长 来 逼 近 圆 周 长 , 称 之 为 “ 割 之 弥 细 , 所 失 弥 少 , 割 之 又 割 , 以 至 于 不 可 割 , 则 与 圆 周 合 体 , 而 无所 失 矣 ” 刘 徽 的 “ 割 圆 术 ” 提 供 了 一

22、种 研 究 数 学 的 方 法 , 即 相 当 于 今 天 的 极 限 思 想 。 阿 基 米 德 在 求 抛 物 拱 面 积时 亦 有 有 限 向 无 限 逼 近 的 思 想 , 这 种 思 想 发 展 为 后 来 的 积 分 思 想 。 这 些 都 是 “ 无 限 ” 思 想 的 雏 形 , 直 到一 提 出 极 限 的 “ 一 定 义 , 才 使 得 有 限 向 无 限 很 好 的 过 渡 , 从 而 创 立 近 代 数 学 的 思 想 。 微 积 分 中 最重 要 的 三 个 概 念 极 限 、 导 数 、 积 分 , 无 不 建 立 在 极 限 定 义 和 思 想 之 上 。 由 此

23、 可 见 “ 无 限 ” 思 想 及 其 概 念 在 高 等数 学 中 的 重 要 地 位 , 正 因 为 如 此 , 上 世 纪 最 伟 大 的 德 国 数 学 家 曾 经 把 高 等 数 学 定 义 为 “ 关 于 无 限 的 科学 ” 。变 最 进 入 数 学 是 高 等 数 学 的 又 一 大 重 要 特 点 。 恩 格 斯 称 “ 高 等 ” 数 学 为 “ 变 量 数 学 ” , “ 初 等 ” 数 学 为 “ 常数 数 学 ” 。 初 等 代 数 中 的 未 知 数 往 往 用 字 母 , , 等 表 示 , 似 乎 是 一 种 变 量 , 其 实 它 们 只 是 常 量 的 代

24、 替 物 ,是 一 个 暂 时 不 固 定 的 常 量 , 而 不 是 反 映 连 续 运 动 的 变 量 。 在 高 等 数 学 中 , 由 于 函 数 概 念 的 明 确 界 定 以 及 极 限概 念 的 严 格 定 义 , 真 正 意 义 上 的 变 量 才 进 人 了 数 学 , 数 学 也 才 有 可 能 刻 画 连 续 性 的 变 化 和 运 动 。 作 为 微 积 分基 础 而 引 人 的 极 限 概 念 抓 住 了 变 量 之 变 化 的 本 质 , 是 高 等 数 学 中 带 有 基 础 性 的 概 念 。 导 数 、 微 分 和 积 分 也 是只 有 在 变 量 数 学 中

25、 才 得 以 产 生 的 数 学 概 念 , 导 数 就 是 因 变 量 即 一 般 谓 之 函 数 相 对 于 自 变 量 的 变 化 率 , 微 分乃 是 因 变 量 增 量 的 “ 线 性 主 部 ” , 而 积 分 则 是 微 分 的 逆 运 算 。 可 见 它 们 全 都 与 “ 变 量 ” 这 个 概 念 密 切 相 关 。数 与 形 的 紧 密 结 合 是 高 等 数 学 的 另 一 特 点 。 微 积 分 主 要 是 从 数 量 的 侧 面 研 究 函 数 , 但 数 与 形 的 紧 密 结合 仍 然 不 乏 其 例 。 一 方 面 , 微 积 分 中 有 大 量 的 篇 幅

26、是 用 函 数 研 究 各 种 曲 面 曲 线 的 , 这 自 然 是 数 与 形 紧 密 结 合的 典 型 实 例 另 一 方 面 , 在 微 积 分 中 , 各 种 重 要 的 基 本 概 念 常 常 源 于 对 于 曲 面 曲 线 几 何 特 征 的 研 究 , 例 如 , 导数 源 于 斜 率 , 积 分 源 于 面 积 , 函 数 的 单 调 性 、 连 续 性 、 凸 凹 性 与 曲 线 的 几 何 特 性 有 着 直 接 联 系 。 解 析 几 何 是 用数 研 究 形 的 典 范 , 在 解 析 几 何 中 , 用 坐 标 表 示 空 间 中 的 点 , 因 而 把 几 何 图

27、 形 之 间 的 关 系 转 化 为 各 种 数 量 间 的关 系 , 把 关 于 几 何 图 形 关 系 的 证 明 转 化 为 各 种 数 量 的 代 数 运 算 。 不 过 也 须 指 出 , 所 说 的 数 与 形 的 紧 密 结 合 只是 相 对 于 初 等 数 学 而 言 , 高 等 数 学 的 各 门 分 支 学 科 还 是 各 有 其 数 或 形 的 侧 重 。 只 有 到 了 现 代 数 学 阶 段 , 数 与形 才 真 正 紧 密 地 结 合 在 一 起 , 出 现 了 各 种 各 样 既 有 几 何 特 性 , 又 有 代 数 特 性 的 所 谓 “ 数 学 结 构 ”

28、, 真 正 地 实 现了 以 统 一 的 视 角 从 量 的 侧 面 去 研 究 客 观 世 界 。高 等 数 学 具 有 高 度 抽 象 性 和 逻 辑 性 。 高 等 数 学 中 的 概 念 复 杂 多 样 , 从 基 础 的 变 量 、 函 数 和 极 限 , 到 复 杂的 导 数 、 微 分 和 积 分 , 种 种 概 念 层 层 相 依 , 步 步 推 进 , 再 加 上 众 多 复 杂 优 美 的 定 理 , 形 成 了 一 个 无 比 精 美 的 庞大 系 统 。 这 个 系 统 不 仅 内 容 丰 富 , 更 重 要 的 是 结 构 严 密 , 无 懈 可 击 。 因 为 数

29、学 一 旦 说 了 “ 假 话 ” , 马 上 就 不 能 演算 下 去 , 整 个 数 学 大 厦 将 会 坍 塌 , 就 会 飘 向 茫 茫 不 归 路 数 学 那 严 密 谨 慎 的 逻 辑 推 理 和 一 丝 不 苟 的 科 学 计算 及 其 结 论 赋 予 它 不 可 动 摇 的 明 确 性 及 应 用 范 围 的 极 其 广 泛 性 , 这 正 是 数 学 成 为 现 代 科 学 技 术 的 推 理 工 具和 方 法 手 段 的 重 要 原 因 。 因 此 , 数 学 已 经 成 为 自 然 科 学 的 主 要 语 言 , 因 为 它 能 够 明 确 而 精 细 地 解 释 那 些

30、 复 杂得 难 以 用 语 言 表 达 的 现 象 。 不 管 在 那 门 学 科 中 , 运 用 高 等 数 学 的 定 理 所 推 出 的 结 论 总 是 正 确 的 , 使 用 高 等 数学 的 方 法 计 算 出 的 结 果 也 总 是 无 误 的 。 高 等 数 学 的 这 种 逻 辑 严 格 性 和 方 法 正 确 性 , 是 依 靠 其 严 格 的 公 理 化 方法 和 精 细 定 义 的 抽 象 概 念 加 以 保 证 的 。 以 “ 无 穷 小 ” 为 例 , 在 牛 顿 和 莱 布 尼 兹 发 明 微 积 分 时 , 无 穷 小 量 的 概 念是 含 混 不 清 的 。 囿

31、 于 当 时 对 于 数 的 认 识 , 人 们 对 于 “ 无 穷 小 量 究 竟 是 不 是 零 ” 的 洁 难 无 法 回 答 。 经 过 众 多 数 学家 的 持 续 努 力 , 直 到 发 明 了 极 限 概 念 , 将 无 穷 小 量 作 为 极 限 是 零 的 变 量 来 认 识 , 这 才 确 立 了 无 穷 小 量 是 一 个实 在 的 数 学 研 究 对 象 的 地 位 。 微 分 和 积 分 也 以 极 限 的 方 式 加 以 严 格 的 定 义 , 从 而 使 微 积 分 有 了 坚 实 的 基 础 。这 种 高 度 抽 象 性 和 逻 辑 性 在 现 代 数 学 中

32、更 加 明 显 , 以 致 严 格 的 公 理 化 方 法 和 高 度 的 抽 象 性 结 构 成 为 现 代 数学 最 为 显 著 的 特 点 。以 上 是 高 等 数 学 最 基 本 的 几 大 特 点 , 认 识 了 它 们 , 就 有 可 能 主 动 地 遵 循 这 些 特 点 来 指 导 学 习 。第 期 张 瑰 对 高 等 数 学 及 其 学 习 的 认 识 与 思 考三 、 高 等 数 学 的 学 习 方 法高 等 数 学 与 以 往 的 初 等 数 学 相 比 有 着 本 质 上 的 区 别 , 即 它 们 的 研 究 对 象 不 同 , 因 而 研 究 方 法 和 手 段 也

33、不 同 。 学 生 们 从 中 学 跨 人 大 学 校 门 最 不 能 适 应 的 就 是 高 等 数 学 的 思 想 , 这 是 因 为 他 们 长 期 以 来 一 直 受 到 初等 数 学 思 想 的 束 缚 , 要 打 破 此 种 根 深 蒂 固 的 影 响 , 使 学 生 们 从 初 等 数 学 思 维 中 走 出 来 , 并 不 是 一 件 容 易 的事 。 这 就 要 求 学 生 们 在 学 习 数 学 知 识 的 同 时 , 更 要 注 重 培 养 自 身 分 析 问 题 、 解 决 问 题 的 能 力 , 适 当 扩 大 知 识面 , 使 思 维 、 认 识 和 学 习 方 法

34、 有 着 根 本 的 转 变 , 为 今 后 的 进 一 步 学 习 和 科 学 研 究 打 下 坚 实 的 基 础 。要 注 重 数 学 概 念 的 物 理 背 景 和 物 理 意 义许 多 数 学 问 题 来 源 于 实 际 , 而 问 题 的 解 决 又 能 更 好 地 指 导 实 际 。 世 纪 微 积 分 诞 生 以 来 , 数 学 在 应 用 上的 光 辉 成 果 , 是 一 个 接 着 一 个 , 高 等 数 学 已 逐 渐 作 为 一 个 有 效 的 工 具 越 来 越 被 人 们 所 重 视 这 一 点 在 物 理 学和 工 程 学 中 表 现 得 尤 为 突 出 。 正 是

35、 这 种 广 泛 的 应 用 性 要 求 高 校 学 生 不 仅 要 具 有 接 受 书 本 理 论 知 识 的 能 力 ,还 应 具 有 灵 活 地 应 用 知 识 进 行 创 造 , 解 决 实 际 问 题 的 能 力 。 因 此 , 数 学 中 的 某 些 概 念 产 生 于 什 么 物 理 背 景 、代 表 着 什 么 物 理 涵 义 , 这 是 学 生 们 理 解 概 念 并 且 将 所 学 的 理 论 知 识 应 用 于 实 际 的 一 个 关 键 。 就 拿 导 数 为 例加 以 说 明 , 高 等 数 学 的 重 要 组 成 成 分 之 一 是 微 分 学 , 它 的 基 本

36、概 念 是 导 数 与 微 分 。 在 生 产 实 践 和 科 学 实 验中 , 常 常 需 要 研 究 函 数 相 对 于 自 变 量 变 化 的 快 慢 程 度 , 这 类 求 变 化 率 问 题 在 数 学 上 归 结 为 导 数 。 比 如 解 析 几何 中 , 曲 线 在 点 , ” 的 切 线 的 斜 率 是 函 数 随 自 变 量 的 变 化 率 在 物 理 学 中 , 物 体 运 动 速 度是 位 移 , 随 着 时 间 的 变 化 率 , 加 速 度 是 速 度 随 着 时 间 的 变 化 率 , 角 速 度 。 是 角 度 随 着 时 间 的 变化 率 , 线 密 度 是

37、质 量 随 着 长 度 的 变 化 率 , 体 密 度 是 质 量 随 着 体 积 的 变 化 率 , 电 流 强 度 是 电 量随 着 时 间 的 变 化 率 在 化 学 中 , 化 学 反 应 速 度 是 浓 度 。 随 着 时 间 的 变 化 率 在 经 济 学 中 , 边 际 成 本 记是 产 品 成 本 随 着 产 品 数 量 的 变 化 率 。 由 此 看 来 , 导 数 的 概 念 广 泛 存 在 于 各 个 领 域 , 因 此 在 学 习 “ 导数 的 概 念 及 求 导 的 方 法 ” 这 一 内 容 时 , 首 先 应 理 解 “ 导 数 ” 这 个 概 念 的 几 何 、

38、 物 理 意 义 以 及 导 数 在 几 何 以 及 实际 问 题 中 相 关 变 化 率 方 面 的 应 用 。 而 在 学 习 “ 微 分 学 的 初 步 应 用 ” 时 , 还 应 将 前 面 学 过 的 关 于 微 分 、 导 数 的 应用 以 及 微 分 中 值 定 理 在 证 明 恒 等 式 、 不 等 式 及 有 关 等 式 的 应 用 结 合 在 一 起 , 对 于 微 分 学 在 理 论 及 实 际 问 题中 的 应 用 有 一 个 较 为 整 体 、 全 面 的 了 解 。 这 样 , 在 遇 到 某 些 实 际 问 题 时 , 就 能 够 自 然 而 然 地 知 道 应

39、该 用 哪 些数 学 工 具 加 以 解 决 。 因 此 , 善 于 从 物 理 背 景 中 引 出 数 学 概 念 并 着 重 概 念 的 物 理 意 义 是 “ 学 以 致 用 ” 的 必 不 可少 的 前 提 和 基 础 。要 善 于 思 考 , 善 于 提 出 问 题在 学 习 数 学 的 过 程 中 , 不 仅 仅 要 勤 于 思 考 , 而 且 要 善 于 思 考 , 善 于 提 出 问 题 。 首 先 , 既 要 学 会 从 抽 象 的 角度 思 考 , 又 要 学 会 从 形 象 的 角 度 思 考 。 数 学 是 一 门 抽 象 科 学 , 它 的 概 念 几 乎 都 是 人

40、 类 抽 象 思 维 的 产 物 , 不 同于 其 它 学 科 研 究 的 客 观 存 在 的 实 体 对 象 , 所 以 我 们 在 学 习 数 学 时 , 首 先 要 学 会 从 抽 象 的 角 度 多 加 思 考 。 但 也要 认 识 到 , 任 何 抽 象 概 念 都 是 来 源 于 客 观 世 界 , 以 某 类 实 体 对 象 为 其 背 景 的 , 所 以 我 们 在 学 习 这 些 时 抽 象 概念 时 , 还 要 善 于 从 形 象 的 角 度 思 考 。 其 次 , 既 要 善 于 从 正 面 思 考 , 又 要 善 于 从 反 面 思 考 。 从 正 面 思 考 , 即

41、考 虑概 念 为 什 么 如 此 定 义 在 定 理 的 条 件 满 足 的 情 况 下 , 为 什 么 定 理 的 结 论 成 立 从 反 面 思 考 , 则 是 考 虑 换 一 种方 式 来 定 义 某 个 概 念 是 否 可 能 改 变 或 减 弱 条 件 , 定 理 是 否 仍 得 以 成 立 这 样 从 一 正 一 反 两 个 方 面 的 思 考 ,必 定 对 我 们 加 深 理 解 大 有 裨 益 。 再 次 , 既 要 从 纵 的 方 向 思 考 , 又 要 从 横 的 方 向 思 考 。 既 要 对 概 念 、 定 理 进 行 深入 的 思 考 和 理 解 , 更 需 要 把

42、前 后 的 知 识 联 贯 起 来 , 对 比 地 加 以 思 考 。 数 学 概 念 常 常 是 前 后 关 联 , 环 环 相 扣 的 ,但 前 后 的 类 似 概 念 又 肯 定 有 诸 多 差 异 , 只 有 把 前 后 的 类 似 概 念 对 比 起 来 思 考 , 才 会 发 现 异 同 , 加 深 理 解 。 另外 , 在 学 习 思 考 的 过 程 中 要 善 于 提 出 问 题 。 古 人 称 知 识 为 学 问 , 所 谓 学 问 , 是 说 学 与 问 密 切 相 依 , 要 学 必 需问 , 有 问 才 有 学 。 只 有 多 思 多 问 , 才 能 逐 渐 深 人 理

43、 解 概 念 和 方 法 的 真 谛 , 真 正 掌 握 数 学 知 识 , 除 此 之 外 , 别 无捷 径 。 在 问 的 方 式 上 , 应 该 把 “ 向 自 己 提 问 ” 作 为 前 提 。 只 有 经 过 自 己 认 真 思 考 而 不 得 其 解 , 再 去 问 同 学 或 老师 , 才 可 能 解 决 疑 惑 , 才 可 能 产 生 深 刻 印 象 。无 锡 南 洋 学 院 学 报 第 卷要 勤 于 动 笔 、 多 练 、 多 用由 于 高 等 数 学 是 我 们 今 后 从 事 科 学 技 术 工 作 的 基 本 工 具 , 因 此 在 学 习 时 还 必 需 做 到 勤

44、于 动 笔 、 多 练 、 多用 , 一 方 面 要 多 做 练 习 题 , 其 中 包 括 计 算 题 、 应 用 题 与 证 明 题 , 只 有 多 做 习 题 , 才 能 对 高 等 数 学 的 内 容 与 研 究方 法 有 一 个 较 为 充 分 的 理 解 。 比 如 求 导 数 、 求 微 分 , 特 别 是 求 积 分 , 如 果 不 做 大 量 的 习 题 , 就 不 会 体 味 到 各 种方 法 的 实 质 所 在 , 也 就 不 可 能 真 正 掌 握 它 们 如 果 不 进 行 证 明 题 的 训 练 , 那 么 就 不 能 体 会 到 数 学 表 达 方 式 的准 确

45、与 书 写 格 式 的 严 谨 , 就 无 法 训 练 严 密 的 逻 辑 思 维 能 力 。 另 一 方 面 要 善 于 利 用 数 学 知 识 解 决 形 形 色 色 的 实际 问 题 。 现 在 不 少 大 学 都 安 排 有 一 定 的 数 学 试 验 课 , 学 生 们 应 在 老 师 的 指 导 下 重 视 培 养 自 己 的 数 学 建 模 能 力和 计 算 机 应 用 能 力 , 学 会 用 微 积 分 知 识 初 步 解 决 简 单 的 实 际 问 题 。 同 时 我 们 提 倡 学 生 关 心 身 边 的 数 学 , 能 够从 日 常 生 活 中 提 出 数 学 问 题 ,

46、 用 数 学 知 识 解 决 它 们 。 这 些 问 题 可 能 微 不 足 道 , 但 是 这 种 长 期 自 觉 的 训 练 , 对 于培 养 用 数 学 的 眼 光 看 问 题 和 用 数 学 知 识 解 决 问 题 的 能 力 都 是 大 有 裨 益 的 。四 、 结 束 语随 着 科 学 技 术 的 发 展 , 数 学 的 应 用 已 不 仅 仅 限 于 自 然 科 学 , 一 切 科 学 技 术 都 要 用 到 数 学 。 年 月日 在 中 国 数 学 会 数 学 教 育 与 科 研 座 谈 会 上 , 钱 学 森 先 生 以 “ 发 展 我 国 的 数 学 科 学 ” 为 题 ,

47、 提 出 “ 数 学 科 学 ” 这 个概 念 。 “ 数 学 科 学 ” 这 个 观 念 在 我 国 崛 起 并 作 为 一 个 概 念 被 提 出 来 , 是 我 国 当 代 数 学 思 想 的 一 大 升 华 。 如 果 数学 科 学 能 够 成 为 现 代 科 学 技 术 的 一 个 大 部 门 的 话 , 那 么 现 代 科 学 技 术 的 大 部 门 除 了 自 然 科 学 、 社 会 科 学 、 思维 科 学 、 系 统 科 学 、 人 体 科 学 、 军 事 科 学 , 以 及 文 艺 理 论 、 行 为 科 学 、 地 理 科 学 之 外 , 还 包 括 数 学 科 学 ,

48、这 对 于 人类 知 识 来 说 , 将 有 着 重 大 的 意 义 。 现 代 科 学 技 术 是 一 个 相 互 关 联 的 整 体 , 各 部 门 之 间 有 很 多 相 互 交 叉 、 相 互 汇合 的 地 方 , 数 学 科 学 的 加 人 将 会 对 其 他 部 门 产 生 重 大 而 深 远 的 影 响 。 在 哈 佛 大 学 曾 讲 过 这 么 一 段话 “ 在 人 类 思 想 领 域 里 具 有 压 倒 性 的 新 的 情 况 , 将 是 数 学 的 理 解 占 统 治 地 位 。 ” 这 个 具 有 悠 久 历 史 根 基 而 又是 新 兴 的 现 代 科 学 技 术 新

49、部 门 , 其 作 用 的 发 挥 将 是 十 分 惊 人 的 。 因 此 在 大 学 阶 段 , 学 生 们 一 方 面 要 熟 练 掌 握和 学 习 高 等 数 学 中 的 重 要 概 念 和 知 识 , 另 一 方 面 更 要 注 重 培 养 自 身 分 析 问 题 、 解 决 问 题 的 能 力 , 适 当 扩 大 知识 面 , 使 思 维 、 认 识 和 学 习 方 法 有 着 根 本 的 转 变 , 为 今 后 的 进 一 步 学 习 和 科 学 研 究 打 下 坚 实 的 基 础 。参 考 文 献 朱 梧 数 学 文 化 与 数 学 思 维 面 向 二 十 一 世 纪 的 中 国 数 学 教 育 数 学 家 谈 数 学 教 育 , 莫 里 兹 编 著 , 朱 剑 英 编 译 数 学 家 言 行 录 南 京 江 苏 教 育 出 版 社 , 郭 金 彬 中 国 当 代 数 学 思 想 研 究 福 建 师 范 大 学 学 报 , 哲 社 版 , , 一恩 格 斯 反 杜 社 林 论 仁 恩 格 斯 反 杜 社 林 论 肖 奚 安 谈