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哈密顿原理的推导.pdf

上传人:精品资料 文档编号:9739391 上传时间:2019-08-30 格式:PDF 页数:32 大小:894.73KB
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资源描述

1、Hamilton原理 (1) 变分的概念 微分:设有一连续函数 q=q(t), 其中 t为自变 量 , q为因变量; 当 t有微增量 dt时,引起函数的微增量 dq,称 为该函数的微分, 且: 或 : dttqdq )(dtdqtq )(q=q(t)+(t)t+dtotdqpdt,pqqtq=q(t)变分 :假设自变量 t不变 , 改变函数 q=q(t)的 形式 , 得到一个与原函数稍有差别的新函数 式中: 是一个微小系数 , 是 t的任意连续函数 。 则: 对于自变量的某一指定值,函数 q=q(t) 由于它的形式的微小改变而得到的改变量,称 )()( ttqq )(tqq=q(t)+(t)t

2、+dtotdqp dt,pqqtq=q(t)(2) 变分与微分的区别 变分:自变量不变 , 仅由于函数本身形式 的微小改变而得到的函数的改变; 微分:由于自变量的 微增量而引起 的函数的微 增量 。 q=q(t)+(t)t+dtotdqpdt,pqqtq=q(t)(3) 变分的运算性质: (a) 任一连续函数 q=q(t)的变分与微分可以 交换:即 (b) 在积分的上 、 下限不变的条件下 , 函数对 自变量的积分的变分 , 等于该函数的变分对该自 变量的积分 。 即: 如果在函数 q=q(t)中的自变量 t是时间 , 则该 )()( qdtddtdq 2121ttttqdtqdt (2) H

3、amilton原理 : a)作用:提出了质点系的真实运动与在质点系真实 运动邻近 , 且为约束所能允许的可能运动 的区分准则 。 研究对象:具有 k个自由度的理想 、 完整约 束下的质点系的运动 广义坐标: q1, q2, qk 质点系的位置: 1) 若在平面上运动的质点 , 其坐标可选 x,y, 若再考虑时间 , 则有 3个坐标 , 2) 一般地,用由 q和 t组成的 (k+1)维空间内的 一点的运动表示,若在某一瞬时 t, q1, q2, qk均有确定的值,则可在 (k+1)维空间中找到 一个点,该点表示一质点在 t时的位置 A(k+1) 维空间BM(q ,t)jq,M (q +q ,t

4、)j jj 质点系的真实运动 : 如上图中 (k+1)维空间中的实曲线 表示; 称为质点系的真实路径 , 又叫正路 。 AMBAMBA(k+1) 维空间BM(q ,t)jq,M (q +q ,t )j jj 质点系的可能运动 : 质点系在真实运动邻近为约束所允许的任意一个 可能运动,用 表示。 称为质点系的可能 路径,或旁路 (弯路 )。 运动始末位置上, 正路和弯路的位置相同 (显然,可能运动的曲 线有无数条 )。 BAM BAM A(k+1) 维空间BM(q ,t)jq,M (q +q ,t )j jj 虚位移 (变分 ): 表示在同一瞬时,旁路对正路的偏离 。 MMjqA(k+1) 维空

5、间BM(q ,t)jq,M (q +q ,t )j jjb)哈密顿原理的推导 : 非定常约束的概念 : 即约束可随 t 变化 , 是 t 的函数 一 、 拉格朗日方程 以广义坐标表示的动力学普遍方程 设有一理想、完整约束的非自由质点系,具 有 k个自由度,用 k个广义坐标 q1, q2, , qk表示 质点系的位置,作一直角坐标系 oxyz,用矢径 ri(xi,yi,zi) 表示质点系 中任一质点 Mi的位置, 显然,如果约束是非 定常的,则矢径 ri是 广义坐标和时间的矢 量函数: n为质点的数目 , 为了将质点系中质点 Mi 的 虚位移 ri表示为广义坐标的变分 , 求 (1)式的变分:

6、),2,1(),( 21 nitqqq kii rr),2,1( kjq j ),2,1(1niqqkjjjii rr(1) 将其展开后得: (2) (2)式中第一项表示主动力系在质点系虚位移中的 元功的和 , 可以写为广义坐标的形式为: (3) (3)式中, Q为对应于广义坐标 q的广义力。 01 1 ininiiiii m rarF jnikjjii qQ 1 1rF已知动力学普遍方程为: 0)(1iniiii ramF (2)式中左边第二项表示惯性力系在质点系虚位移 中元功的和 , 将 (1)式代入 (2)式中的左边第二项得: (4) kjnijjiiijkj jiiininiiiiqq

7、mqqmm1 111 1rararajiiijiiijiii qdtdmqmdtdqmrrrrra 为简化 (4)式括号中的式子,可将其改写为: (5) 为推导拉氏方程 , 先证明 与 之间 的两个关系式 : (1) 6) 称为 广义速度 , 为广义坐标对时间的变化率 , 因 和 仅是广义坐标和时间的函数 , 与广义 速度 无关 , jiqrjiqdtdr),( 211tqqqqt iikjjjiii rrrrr tirjiqrjqjq将 (6)式对广义速度 求偏导数,可得 关系式: (7) jijiqq rrjq),( 211tqqqqt iikjjjiii rrrrr (6) 将 (6)式

8、对任一广义坐标 q 求偏导数得: kjjjiii qqqtqq 122rrr),( 211tqqqqt iikjjjiii rrrrr (6) 另一方面 , 直接由矢径 对某一广义坐 标 求偏导数后 , 再对时间 t求导数 , 得: 由此 , 可得另外一个关系式: (8) irq kjjjiii qqqtqqdtd122rrrjijiqdtdqrr kjjjiii qqqtqq 122rrr将 (7)式和 (8)式代入 (5)式中得: 2222iijiijjiiijiiijirmqrmqdtdqmqmdtdqmrrrrrajijiqq rrjijiqdtdqrr(7) (8) jiiijiii

9、jiii qdtdmqmdtdqm rrrrra (5) 将此结果代回式 (4),并引入质点系动能 niii rmT122jkj jjiniii qqTqTdtdm 11 ra得 : (9) kjnijjiiininijkj jiiiiii qqmqqmm1 11 1 1 rarara(4) 2222iijiijji rmqrmqdtdqm ra将此结果代入 (2)式中得: (10a) 当主动力有势力时: 代入(10a) 式中得: 01jkjjjjqQqTqTdtdjj qVQ01jkj jjjqqVqTqTdtd01 1 ininiiiii m rarF (2) jnikjjii qQ 1

10、1rF (3) 引入拉格朗日函数 L=T-V(质点系动能与势能之差,称为动势 ),则上式可表示为: (11a) 01kjjjjjqqLqqLdtd01jkj jjjqqVqTqTdtd 广义力: 代入 (11a)式中 , 而拉格朗日 函数 L=T-V(质点系的动能与势能之差又称为动势 ) (11a)式又可以写为: (11b) 将 (11b)式乘以 dt, 并从 t1到 t2作定积分 , 有: (12) jj qVQ001 jkjjjjj qVqqLqqLdtd 2101ttkjjjjjdtqqLqqLdtd 因为: (13) 故 (12)式中第一项为 jjjjjjqdtdqLqqLdtdqqL

11、dtd jjjjjjqqLqqLdtdqqLdtd 2101ttkjjjjjdtqqLqqLdtd (12) 代入 (12)式中得: (15) 或: (16) 拉格朗日函数 , 所以 L的一阶变分为: 21 10ttkjjjjjjjdtqqLqqLqqLdtd 21211 1ttkjttkjjjjjjjdtqqLqqLqqLd ),;,;( 2121 kk qqqqqqtLL kjjjjjqqLqqLL1代入 (16)式 , 并将等式的左端进行积分后得: (18) 根据题设 , 在 t1和 t2时刻 , 系统的真实运动 曲线与可能运动曲线都分别通过 A点和 B点 , 即: , 因此 21211

12、ttttkjjjL d tqqL 021ttjq0211ttkjjjqqL所以 (18)式成为了: (19) 改变积分和变分的次序 , 有: (20) 令积分: , 并称 S为哈密顿作用量 , 即: (21) 021ttL d t021ttL d tSL d ttt 210S哈密顿原理可表叙述为: 具有完整的理想约束保守系统,在该时间 间隔内具有相同的始终位置的可能运动相比, 对于真实运动哈密顿作用量有极值。 即:对于真实运动,哈密顿作用量的变分 等于 0。 式 (20) 和 (21) 仅仅适用于保守系统 , 将 L=T-V 代入该式则得: 对于非保守系统:式 (20)或 (21)中还应包括 作用于体系上的非 保守力 ( 包括阻尼力及任一外荷 )所作的功 , 即: 0)()( 212121 ttttttdtVTdtVTL d t jrjnc qQW 1jQ(1-4) 式 中: T 体系的总动能; V 体系的位能 , 包括应变能及任 何保守外力的势能; Wnc 作用于体系上的非保守力 (包括阻尼 力及任一外荷 )所作的功; 在指定时间区间内所取的变分 0)( 2121 dtWdtVTtt nctt非保守系统的哈密顿原理的数学表达式为: 应用该原理可以直接导出任何给定体系的运动方程。

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