1、六年级奥数专题二十九：运筹学初步（3）关键词 ：运筹 擦玻璃 运筹学 奥数 袖口 领子 理发 最少 初步 衣服本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。这些都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快好省地办事，就是这讲涉及的问题。当然，限于现有的知识水平，我们仅仅是初步探索一下。1.统筹安排问题例 1 星期天妈妈要做好多事情。擦玻璃要 20 分钟，收拾厨房要 15 分钟，洗脏衣服的领子、袖口要 10 分钟，打开全自动洗衣机洗衣服要 40 分钟，晾衣服要 10 分钟。妈妈干完所有这些事情最少用多长时间？分析与解：如果按照题目告诉的几件事，一件一
2、件去做，要 95 分钟。要想节约时间，就要想想在哪段时间里闲着，能否利用闲着的时间做其它事。最合理的安排是：先洗脏衣服的领子和袖口，接着打开全自动洗衣机洗衣服，在洗衣服的 40 分钟内擦玻璃和收拾厨房，最后晾衣服，共需 60 分钟（见下图）。例 1 告诉我们，当有许多事要做时，科学地安排好先后顺序，就能用较少的时间完成较多的事情。2.排队问题例 2 理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要 10，12，15，20 和 24 分钟。怎样安排他们的理发顺序，才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少？最少要用多少时间？分析与解：一人理发时，其他人需等待，为使总的等
3、待时间尽量短，应让理发所需时间少的人先理。甲先给需 10 分钟的人理发，然后 15 分钟的，最后 24 分钟的；乙先给需12 分钟的人理发，然后 20 分钟的。甲给需 10 分钟的人理发时，有 2 人等待，占用三人的时间和为（103）分；然后，甲给需 15 分钟的人理发，有 1 人等待，占用两人的时间和为（152）分；最后，甲给需 24 分钟的人理发，无人等待。甲理发的三个人，共用（10315224）分，乙理发的两个人，共用（12220）分。总的占用时间为（10315224）（12220）=128（分）。按照上面的安排，从第一人开始理发到五个人全部理完，用了 1015 2449 （分）。如果题
4、目中再要求从第一人开始理发到五人全部理完的时间最短，那么做个调整，甲依次给需 10，12，20 分钟的人理发，乙依次给需 15，24 分钟的人理发，总的占用时间仍是 128 分钟，而五人全部理完所用时间为10122042（分）例 3 车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18，30，17 ，25，20 分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失 5 元。现有两名工作效率相同的修理工，怎样安排才能使得修复的时间最短且经济损失最少？分析与解：因为（1830172520）2=55（分），经过组合，一人修需18，17 和 20 分钟的三台，另一人修需 30 和 25 分钟的两台，修复
5、时间最短，为 55 分钟。上面只考虑修复时间，没考虑经济损失，要使经济损失少，就要使总停产时间尽量短，显然应先修理修复时间短的。第一人按需 17，18，20 分钟的顺序修理，第 2 人按需25，30 分钟的顺序修理，经济损失为5（17318220）（25230）=935（元）。3.最短路线问题例 4 右图是一张道路示意图，每段路上的数字表示小明走这段路所需要的时间（单位：分）。小明从 A 到 B 最快要几分钟？分析与解：我们采用分析排除法，将道路图逐步简化。从 A 到 O 有两条路，ACO 用 6 分钟，AFO 用 7 分钟，排除后者，可将 FO抹去，但 AF 不能抹去，因为从 A 到 B 还
6、有其它路线经过 AF，简化为左下图。从 A 到 E 还剩两条路，ACGE 用 12 分钟，ACOE 用 10 分钟，排除前者，可将 CG，GE 抹去，简化为右上图。从 A 到 D 还剩两条路，ACOD 用 12 分钟，AHD 用 13 分钟，排除后者，可将 AH，HD 抹去，简化为左下图。从 A 到 B 还剩两条路，ACOEB 用 17 分钟，ACODB 用 16 分钟，排除前者，可将 OE，EB 抹去，简化为右上图。小明按 ACODB 走最快，用 16 分钟。4.场地设置问题例 5 下图是 A，B，C，D，E 五个村之间的道路示意图， 中数字是各村要上学的学生人数，道路上的数表示两村之间的距
7、离（单位：千米）。现在要在五村之中选一个村建立一所小学。为使所有学生到学校的总距离最短，试确定最合理的方案。分析与解：我们采用比较学校设在相邻两村的差别的方法。例如比较 A 和 C，若设在 A 村，则在 C 村一侧将集结 20203550=125（人），这些人都要走 AC 这段路；若设在 C 村，则只有 40 人走 AC 这段路。对这两种方案，走其余各段路的人数完全相同，所以设在 C 村比设在 A 村好。从上面比较 A 和 C 的过程可以看出，场地设置问题不必考虑场地之间的距离，只需比较两个场地集结的人数多少，哪个场地集结的人数越多，就应设在哪。同理，经比较得到 C 比 B 好，D 比 E 好
8、。最后比较 C 和 D。若设在 C 村，则在 D村一侧将集结 35 50= 85（人）；若设在 D 村，则在 C 村一侧将集结 402020=80（人）。因为在 D 村集结的人数比 C 村多，所以设在 D 村比 C 村好。经过上面的比较，最合理的方案是设在 D 村。不难发现，本题的解法与第 27 讲例 2 的解法十分类似。例 6 某天然气站要安装天然气管道通往位于一条环形线上的 AG 七个居民区，每两个居民区间的距离如下图所示（单位：千米）。管道有粗细两种规格，粗管可供所有 7 个居民区用气，每千米 8000 元，细管只能供 1 个居民区用气，每千米 3000 元。粗、细管的转接处必须在居民区
9、中。问：应怎样搭配使用这两种管道，才能使费用最省？分析与解：在长度相同的情况下，每根粗管的费用大于 2 根细管的费用，小于 3 根细管的费用，所以安装管道时，只要后面需要供气的居民区多于 2 个，这一段就应选用粗管。从天然气站开始，分成顺时针与逆时针两条线路安装，因为每条线路的后面至多有两个居民区由细管通达，共有 7 个居民区，所以至少有 3 个居民区由粗管通达。因为长度相同时，2 根或 1 根细管的费用都低于 1 根粗管的费用，所以由粗管通达的几个居民区的距离越短越好，而顺时针与逆时针两条线路未衔接部份的距离越长越好。经过计算比较，得到最佳方案：（1）天然气站经 G，F，E 到 D 安装粗管
10、，D 到 C 安装 2 根细管，C 到 B 安装 1 根细管；（2）天然气站到 A 安装 1 根细管。此时总费用最少，为8000 （3+12+8+6）+300025+3000（9+10 ）=319000 （元）。练习 291.早饭前妈妈要干好多的事：烧开水要 15 分钟，擦桌椅要 8 分钟，准备暖瓶要 1 分钟，灌开水要 2 分钟，买油条要 10 分钟，煮牛奶要 7 分钟。如果灶具上只有一个火，那么全部做完这些工作最少需要多少时间？怎样安排？2.甲、乙、丙三名车工准备在同样效率的 3 个车床上加工七个零件，各零件加工所需时间分别为 4，5 ，6 ，6，8，9，9 分钟，三人同时开始工作。问：加
11、工完七个零件最少需多长时间？3.车间里有 5 台车床同时出现故障。已知第一台至第五台修复的时间依次为15，8 ， 29，7，10 分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失 5 元。问：（1）如果只有一名修理工，那么怎样安排修理顺序才能使经济损失最少？（2）如果有两名修理工，那么修复时间最少需多少分钟？4.下页左上图是一张道路图，每条路上的数是小王走这段路所需的时间（单位：分）。小王从 A 到 B，最快需要几分钟？5.东升乡有 8 个行政村。分布如右上图所示，点表示村庄，线表示道路，数字表示道路的长（单位：千米）。现在这个乡要建立有线广播网，沿道路架设电线。问：电线至少要架多长？6.有七个村庄 A1，A2，A7 分布在公路两侧（见下图），由一些小路与公路相连，要在公路上设一个汽车站，要使汽车站到各村庄的距离和最小，车站应设在哪里？7.有一个水塔要供应某条公路旁的 AF 六个居民点用水（见下图，单位：千米），要安装水管，有粗细两种水管，粗管足够供应 6 个居民点用水，细管只能供应 1 个居民点用水，粗管每千米要 7000 元，细管每千米要 2000 元，粗细管怎样互相搭配，才能使费用最省？费用应是多少？
