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1、 图形的位似-知识讲解【学习目标】1、了解位似多边形的概念，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；2、能在同一坐标系中，感受图形放缩前后点的坐标的变化.【要点梳理】要点一、位似多边形1.位似多边形定义: 如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点 O，且每组对应点与点 O 点的距离之比都等于一个定值 k，例如，如下图，OA=kOA（k0） ，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点 O 叫做位似中心.要点诠释：位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点相交于同一点

2、，此点就是位似中心；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.3. 平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的4. 作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线； 第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 第四步：顺次连接各对应点. 要点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画

3、法.【典型例题】类型一、位似多边形1. 下列每组的两个图形不是位似图形的是（ ）.A. B. C. D. 【思路点拨】根 据 位 似 图 形 的 概 念 对 各 选 项 逐 一 判 断 ， 即 可 得 出 答 案 【答案】D【解析】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形据此可得 A、B、C 三个图形中的两个图形都是位似图形；而 D 的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形故选 D【总结升华】位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点举一反三【变式】在小孔成像问题中， 根据如图 4 所示，若 O 到 AB 的

4、距离是 18cm，O到 CD 的距离是 6cm，则像 CD 的长是物 AB 长的 （ ）.A. 3 倍 B. C. D.不知 AB 的长度，无法判断213【答案】C2. 利用位似图形的方法把五边形 ABCDE 放大 1.5 倍.【答案与解析】即是要画一个五边形 ABCDE，要与五边形 ABCDE 相似且相似比为 1.5. 画法是：1在平面上任取一点 O.2以 O 为端点作射线 OA、OB、OC、OD、OE.3在射线 OA、OB、OC、OD、OE 上分别取点 A、B、C、D、E，使 OA:OA OB:OBOC:OCOD:ODOE:OE1.5.4连结 AB、BC、CD、DE、EA.这样： 1.5.

5、A BAB B CBC C DCD D EDE A EAE则五边形 ABCDE为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧.【总结升华】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.举一反三【变式】在已知三角形内求作内接正方形A1B1C1D1E1ABC DE【答案与解析】作法：（1）在 AB 上任取一点 G，作 GDBC；（2）以 GD为边，在ABC 内作一正方形 DEFG；（3）连接 BF，延长交 AC 于 F；（4）作 FGCB，交 AB 于 G，从 F、G 分别作 BC 的垂线 FE， GD；四边形 DEFG 即为所求要点二、坐标系中的位似图形在平面直角坐标

6、系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.要点诠释：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k 或-k.类型二、坐标系中的位似图形3.（2015 漳州）如图，在 1010 的正方形网格中，点 A，B ，C，D 均在格点上，以点 A 为位似中心画四边形 ABCD，使它与四边形 ABCD 位似，且相似比为 2（1）在图中画出四边形 ABCD；（2）填空：ACD是 三角形EDG FFEDAB CG【思路点拨】（1）延长 AB 到

7、B，使 AB=2AB，得到 B 的对应点 B，同样得到 C、D 的对应点C，D，再顺次连接即可；（2）利用勾股定理求出 AC2=42+82=80，AD 2=62+22=40，C D2=62+22=40，那么AD=CD，AD 2+CD2=AC2，即可判定ACD是等腰直角三角形【答案与解析】解：（1）如图所示：（2）AC 2=42+82=16+64=80，AD 2=62+22=36+4=40，CD 2=62+22=36+4=40，AD=CD，AD 2+CD2=AC2，ACD是等腰直角三角形故答案为：等腰直角【总结升华】本题考查了作图位似变换画位似图形的一般步骤为：确定位似中心，分别连接并延长位似中

8、心和能代表原图的关键点；根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形同时考查了勾股定理及其逆定理等知识熟练掌握网格结构以及位似变换的定义是解题的关键4.（2015 枣庄）已知： ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为 A（0，3） 、B（3，4） 、C （2，2） （正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度） （1）画出ABC 向下平移 4 个单位长度得到的 A1B1C1，点 C1 的坐标是 ；（2）以点 B 为位似中心，在网格内画出 A2B2C2，使 A2B2C2 与ABC 位似，且位似比为 2：1，点 C2 的坐标是 ；（3）A 2B2C

9、2 的面积是 平方单位【答案与解析】解：（1）如图所示：C 1（2， 2） ；故答案为：（2，2） ；（2）如图所示：C 2（1，0） ；故答案为：（1，0） ；（3）A 2C22=20，B 2C =20，A 2B2 =40，A2B2C2 是等腰直角三角形，A2B2C2 的面积是： 20=10 平方单位故答案为：10【总结升华】此题主要考查了位似图形的性质以及平移的性质和三角形面积求法等知识，得出对应点坐标是解题关键举一反三：【变式】如图，将AOB 中各顶点的纵坐标，横坐标分别乘-1，得到的图形与原图形相比有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看作是一个什么图形变换？【答案】解：图形的形状和

10、大小都没有变化；可以看作是AOB 绕 O点按逆时针方向旋转 180得到的.图形的位似-巩固练习一. 选择题1.下面给出了相似的一些命题：（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相 似；（5）正六边形都相似；其中正确的有（ ）.A2 个 B3 个 C4 个 D5 个2.下列说法错误的是（ ）. A.位似图形一定是相似图形.B.相似图形不一定是位似图形. C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行.3.下列说法正确的是（ ） .A.分别在 ABC 的边 AB、AC 的反向延长线上取点 D、E，使

11、DEBC，则 ADE 是 ABC 放大后的图形 . B.两位似图形的面积之比等于相似比. C.位似多边形中对应对角线之比等于相似比. D.位似图形的周长之比等于相似比的平方.4.（2015营口）如图， ABE 和CDE 是以点 E 为位似中心的位似图形，已知点A（3，4） ，点 C（2，2） ，点 D（3，1） ，则点 D 的对应点 B 的坐标是（ ）A （4，2） B （4，1） C （5，2） D （5，1）5. 下列命题：两个正方形是位似图形；两个等边三角形是位似图形；两个同心圆是位似图形；平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形.其中正确的有( ).A

12、.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个6如果点 C 为线段 AB 的黄金分割点，且 ACBC，则下列各式不正确的是（ ）.A. AB：AC=AC：BC B. AC= 512AB C.AB= 512AC D.BC0.618AB7.已知矩形 ABCD 中，AB=1，在 BC 上取一点 E，沿 AE 将ABE 向上折叠，使 B 点落在 AD上的 F 点，若四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，则 AD=（ ）.A. 512 B. 512 C. 3 D.2二. 填空题8. 如果两个位似图形的对应线段长分别为 3cm 和 5cm，且较小图形周长为 30cm，则较大图形周长为_. 9.已知 AB

13、C，以点 A 为位似中心，作出 ADE，使 ADE 是 ABC 放大 2 倍的图形，则这样的图形可以作出_个，它们之间的关系是_.10如图，以点 O 为位似中心，将五边形 ABCDE 放大后得到五边形 ABCDE，已知OA=10cm， OA=20cm，则五边形 ABCDE 的周长与五边形 的周长的比值是_11. ABC 中，D、E 分别在 AB、AC 上，DEBC，ADE 是ABC 缩小后的图形.若 DE把ABC 的面积分成相等的两部分，则 AD：AB=_.12. 把一矩形纸片对折，如果对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之比为_. 13.（2015钦州）如图，以 O 为位似中心，将

14、边长为 256 的正方形 OABC 依次作位似变换，经第一次变化后得正方形 OA1B1C1，其边长 OA1 缩小为 OA 的 ，经第二次变化后得正方形 OA2B2C2，其边长 OA2 缩小为 OA1 的 ，经第，三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长 OA3 缩小为 OA2 的 ，依次规律，经第 n 次变化后，所得正方形 OAnBnCn 的边长为正方形 OABC 边长的倒数，则 n= 14. 如图，ABC 中，AB=AC=4，BAC=36，ABC 的平分线与 AC 边的交点 D 为边 AC的黄金分割点（ADDC） ，则 BC=_.三 综合题15.如图，D、E 分别 AB、AC 上的点. (1

15、)如果 DEBC，那么ADE 和 ABC 是位似图形吗？为什么？(2)如果ADE 和 ABC 是位似图形，那么 DEBC 吗？为什么？16.（2014 秋 海陵区校级月考）如图，F 在 BD 上，BC、AD 相交于点 E，且ABCDEF，（1）图中有哪几对位似三角形，选其中一对加以证明；（2）若 AB=2，CD=3 ，求 EF 的长17. 如图 1，矩形 ODEF 的一边落在矩形 ABCO 的一边上，并且矩形 ODEF矩形 ABCO，其相似比为 1：4，矩形 ABCO 的边 AB=4，BC=4 3（1）求矩形 ODEF 的面积；（2）将图 1 中的矩形 ODEF 绕点 O 逆时针旋转一周，连接

16、 EC、EA，ACE 的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由【答案与解析】一、选择题1 【答案】B【解析】 （1）菱形的角不一定对应相等，故错误；（2） （3） （5）符合相似的定义，故正确；（4）对应边的比不一定相等故错误故正确的是：（2） （3） （5） 故选 B2 【答案】D.3 【答案】C.4 【答案】C. 【解析】设点 B 的坐标为（x ，y） ，ABE 和CDE 是以点 E 为位似中心的位似图形， = ， = ，解得 x=5，y=2，所以，点 B 的坐标为（5，2） 故选 C5 【答案】B 【解析】由位似图形的概念可知和对，故选 B.6 【答

17、案】D.【解析】ACBC，AC 是较长的线段，根据黄金分割的定义可知：AB：AC=AC：BC，AC= 512AB, AB= 512ACAC0.618AB故选 D7.【答案】B.【解析】AB=1，设 AD=x，则 FD=x-1，FE=1，四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似， EFADB，1x，解得 1+5=2, 1-,（负值舍去） ，经检验 1x是原方程的解故选 B二、填空题8.【答案】50cm.9.【答案】2 个； 全等.10.【答案】1：2【解析】五边形 ABCDE 与五边形 ABCDE位似，OA=10cm，OA=20cm，五边形 ABCDE五边形 ABCDE，且相似比为：OA：OA=

18、10：20=1：2，五边形 ABCDE 的周长与五边形 ABCDE的周长的比为：OA：OA=1：2故答案为：1：211.【答案】 .【解析】由 BCDE 可得ADEABC，所以 ，故 . 12.【答案】 2:1.【解析】矩形 ABCD 对折后所得矩形与原矩形相似，则矩形 ABCD矩形 BFEA，设矩形的长为 a，宽为 b则 AB=CD=b，AD=BC=a，BF=AE= 2a，根据矩形相似，对应边的比相等得到： ,BFEAC即： 2=ab，则 b2=2=,ab 113. 【答案】16.【解析】由图形的变化规律可得256= ，解得 n=1614. 【答案】 25-.【解析】AB=AC，A=36，A

19、BC=C=72，又 BD 平分ABC，ABD=CBD=36，BDC=72，BC=BD=AD，D 点是 AC 的黄金分割点，BC=AD=4 5-12= .三解答题15.【答案与解析】(1)ADE 和 ABC 是位似图形.理由是：DEBC，所以ADE=B， AED=C.所以ADEABC，所以 .又因为 点 A 是ADE 和 ABC 的公共点，点 D 和点 B 是对应点，点 E 和点 C是对应点，直线 BD 与 CE 交于点 A，所以ADE 和 ABC 是位似图形.(2)DEBC.理由是：因为ADE 和ABC 是位似图形，所以ADEABC所以ADE=B所以 DEBC.16.【答案与解析】解：（1）D

20、FE 与DBA， BFE 与BDC， AEB 与DEC 都是位似图形，理由：AB CDEF，DFEDBA，BFE BDC，AEB DEC，且对应边都交于一点，DFE 与DBA，BFE 与BDC， AEB 与DEC 都是位似图形；（2）BFEBDC ，AEBDEC，AB=2，CD=3， = = ， = = ，解得：EF= 17.【答案与解析】（1）矩形 ODEF矩形 ABCO，其相似比为 1：4，S 矩形 ODEF= 6S 矩形 ABCO= 144 3= ；（2）存在OE= 22OFD所以点 E 的轨迹为以点 O 为圆心，以 2 为半径的圆，设点 O 到 AC 的距离为 h，AC= 22438ABC8h=44 3，解得 h=2 ，当点 E 到 AC 的距离为 2 3+2 时，ACE 的面积有最大值，当点 E 到 AC 的距离为 2 -2 时，ACE 的面积有最小值，S 最大 = 1882S 最小 = 3;.