1、Radon变换 崔小强 目录 1、 Radon变换定义 2、 Radon变换基本性质 3、 Radon反变换 1、 Radon变换定义 图像变换： 为了有效和快速地对图像进行处理， 常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转 换到另外一些空间，并利用在这些空间的特有性 质方便地进行一定的加工，最后再转换回图像空 间以得到所需的效果。 正变换： 图像空间到其他空间 反变换： 其他空间到图像空间 1、 Radon变换定义 对 f(x,y)的 Radon变换 Rf(p, )定义为沿由 p和 定义的直线 l的线积分。 1、 Radon变换定义 , ( , )f p f x y d lR 上述线积分可写
2、为： 如果借助 Delta函数，上述线积分还可写为： ( , ) ( , ) ( c o s s i n )f p f x y p x y d x d yR 1、 Radon变换定义 由于直线 l的方程 p=xcos+ysin给出，所以 借助 Delta函数的性质，可知上式就是 l的线积 分。 注意： Rf（ p， ）并不是定义在极坐标系统中 的，而是定义在一个半圆柱的表面。 1、 Radon变换定义 根据 f(x,y)的定义，如果已知 - p 的 Rf (p, )值，那么只需知道 0 之间的 Rf (p, )值就能完全确定 Rf(p, )。 1、 Radon变换定义 对 f(x,y)的 2-
3、D傅里叶变换与对 f(x,y)先进行 Radon 变换后再进行 1-D傅里叶变换得到的结果相等。 证明： 利用 Delta函数，可将 2-D傅里叶变换写为： 1、 Radon变换定义 改变积分次序，并令 s=qp， q 0，得到： 在傅里叶空间，令 u=qcos， v=qsin。 利用 Delta函数的性质 1、 Radon变换定义 可将 q从 Delta函数中提出来得到： 投影层定理 对 f (x, y)沿固定角度 q = Q 的投影的1-D傅里叶变换就是对 f (x, y)的 2-D傅里叶变换中的一层 1、 Radon变换定义 2、 Radon变换基本性质 (1)线性 (2)相似性 如果
4、，则： 2、 Radon变换基本性质 (3) 对称性 考虑如下等式 (其中 t=(cos,sin)为与 l垂直方 向上的单位矢量。 2、 Radon变换基本性质 常熟因子 a可以从 Delta函数中提出来，得到： 如果 a=-1，则表明 Radon变换是阶为 -1的偶 函数： 2、 Radon变换基本性质 (4)平移性 给定 ，则对任意的 常数 a和 b， f(x-a,y-b)的 Radon变换可如下计 算： 2、 Radon变换基本性质 (5)微分 这里仅考虑 fx ，其他结果可用相同方法得到。 c o s0 c o s ( ) , ( , )l im eeef f x y f x yx 现
5、在对上式两边取 Radon变换，利用平移性质 得到： 0 , , c o s l im ffep e t p tfxeRR2、 Radon变换基本性质 根据偏微分的定义得到： , c o s f ptfxpR (6)卷积 这里用 表示 1-D卷积，而用 表示 2-D 卷积以示区别。对 Radon变换的卷积定理可 如下表示：如果 ( , ) ( , ) ( , )f x y g x y h x y ，那么对 2、 Radon变换基本性质 f(x,y)的 Radon变换等于 g(x,y)和 h(x,y)在 Radon 空间变换的 1-D卷积： ( , ) ( ) ( , ) ( , )f g h
6、g hp t g h q t p q t d qR R R R R 3、 Radon反变换 Radon反变换给出从投影重建的解。对 Radon 反变换的推导可借助傅里叶变换进行。 , , ) -f x y F u v因 为 可 用 （ 的 2D 傅 里 叶 反 变 换 表 示 ， 写 成 极 坐 标形 式 为 ：0( , ) ( ) e x p ( 2 ) f x y d q F q t j q p d p 3、 Radon反变换 q ( ) 1 -F q t D上 式 中 方 括 号 内 是 的 傅 里 叶 反 变 换 。 利 用 傅 里 叶 变换 的 卷 积 定 理 可 得 ：1 1 1
7、q F ( q t ) q F ( q t ) F F F a d o n ( , )xyf上 式 等 号 右 边 的 第 二 项 等 于 R 变 换 。R3、 Radon反变换 10( , ) ( , ) ff x y d q q tFR q 1 - D将 的 傅 里 叶 反 变 换 表 示 为 ：1 1 1 1 s g n q = s g n 2 2qq q j qjF F F F 2利 用 微 分 性 质 ， 可 将 上 式 第 个 等 号 右 边 的 第 一 个 反 变 换 表 示 为 ：3、 Radon反变换 1 2 pjF ，（ ）利 用 柯 西 主 值 ， 可 将 上 式 第 2 个 等 号 右 边 的 第 2 个 反 变 换 表 示 为 ：12s g n 1 1 = ( )2p2qjF 1211 q = p ( )p2F ，于 是 （ ）3、 Radon反变换 22 f01 1 1( , ) ( , ) p ( ) p22 Rf x y d p t ，（ ）经 整 理 得 到 Radon 反 变 换 ：
