1、武汉科技学院 ：郑仟，李柏勋，陈军旗 2 0 0 6 年全国研究生数学建模竞赛一等奖 全 国 第 三 届 研 究 生 数学 建 模 竞 赛 题 目 学生与面试老师人数的最优化分配模型 武汉科技学院：郑仟，李柏勋，陈军旗 摘 要： 本文探讨了在保证公平公正原则下， 如 何确定面试老师和学生人数的合理 分 配方案。 问题一： 为了确定面试老师与学生人数之间的关系， 首先列出所有面试老师 的组合， 任 意选定一个初始组， 并把初始组与剩下的组合逐一比较， 保 留满足约 束条件的面试老师组合。 然 后在上一步保留下来的老师组合中任取一个没有做过 参考基准的组合做为本次循环的初始组， 将 该新始组与上一
2、步保留下来的老师 组 合中其他所有组合逐一比较， 保留满足约束条件的面试老师组合。 重 复上述过 程 ， 直到 没 有 组 合 能 保 留 下 来 。 如 此 ， 不断 改 变 老 师 数 目 M ，求 出 满 足 约 束 条 件下 相对应的学生人数 N ， 然 后通过曲线拟合的方法求出 M 关于 N 的关系式 N = F ( M ) 。 对 于 没 有 两 位 及 三 位 老 师 相 同 的 情 形 ， N = F ( M ) 分 别 为 N=0.06735*M 2 - 0.2036*M+0.5141 和 N = 14.89*e 0 . 1 3 9 8 * M - 25.9*e 0 . 0
3、2 3 2 2 * M 。 问题二： 我 们采用字典排序法， 列出 M 个面试老师的所有组合。 由 于此排序 方法的特殊性， 自 然满足了 Y1， Y2 和 Y4。 为 了满足 Y3， 我 们首先考虑面试中 老 师最多有一个相同的情形， 类 似问题一可确定 M 个老师可以面试的学生人数 N1， 如果 NN1， 则 Y3 得到满足； 否 则， 考 虑两个考生的 “面试组” 中有两位老师相 同的情形,求出 M 个老师可以面试的学生人数 N2，再比较 N2 和 N 的大小。如果 NN2，则 Y3 得到满足；否则，再考虑三个相同的情形。由此算法，我们得到了 N = 379，M = 24 时的分配方案（
4、见表三） 。 问题三： 我们首先对面试老师人数的奇偶性进行考虑， 并 根据每位学生接 受 两位文科与两位理科老师面试这一条件， 把该问题转化为问题一和问题二， 相 关 结果见论文。 问题四： 为 了保证面试的公正性， 本 文从学生、 老 师、 学 校三个角度给出 建 议。 关键词：分配模型；字典序列；曲线拟合；搜索武汉科技学院 ：郑仟，李柏勋，陈军旗 2 0 0 6 年全国研究生数学建模竞赛一等奖 1 一、问题的重述 高校自主招生是高考改革中的一项新生事物，现在仍处于探索阶段。某高校 拟在 全 面 衡 量 考 生 的 高 中 学 习 成 绩 及 综 合 表 现 后 再 采 用 专 家 面 试
5、的 方 式 决 定 录 取与否。 该 校在今年自主招生中， 经过初选合格进入面试的考生有 N 人， 拟 聘请 老师 M 人。每位学生要分别接受 4 位老师（简称该学生的“面试组” ）的单独面 试。 面 试时， 各位老师独立地对考生提问并根据其回答问题的情况给出评分。 由 于这是一项主观性很强的评价工作， 老 师的专业可能不同， 他们的提问内容、 提 问方式以及评分习惯也会有较大差异， 因 此面试同一位考生的 “面试组” 的具体 组成不同会对录取结果产生一定影响。 为了保证面试工作的公平性， 组 织者提 出 如下要求： Y1. 每位老师面试的学生数量应尽量均衡； Y2. 面试不同考生的“面试组”
6、成员不能完全相同； Y3. 两个考生的“面试组”中有两位或三位老师相同的情形尽量的少； Y4. 被任意两位老师面试的两个学生集合中出现相同学生的人数尽量的少。 需要研究的问题如下： 问题一：设考生数 N 已知，在满足 Y2 条件下，说明聘请老师数 M 至少分别 应为多大， 才 能做到任两位学生的 “面试组” 都没有两位以及三位面试老师相 同 的情形。 问题 二 ： 请 根 据 Y1 Y4 的要 求 建 立 学 生 与 面 试 老 师 之 间 合 理 的 分 配 模 型 ， 并就 N379， M24 的情形给出具体的分配方案 （ 每位老师面试哪些学生） 及 该 方案满足 Y1Y4 这些要求的情况
7、。 问题三： 假设面试老师中理科与文科的老师各占一半， 并 且要求每位学生 接 受两位文科与两位理科老师的面试，请在此假设下分别回答问题一与问题二。 问题四： 请讨论考生与面试老师之间分配的均匀性和面试公平性的关系。 为 了保证面试的公平性， 除了组织者提出的要求外， 你 们认为还有哪些重要因素 需 要考虑，试给出新的分配方案或建议。 二、基本假设与符号说明 （一）模型假设 1） 、 所有面试老师与学生都严格遵守分配方案； 2） 、 每个老师对待每个学生都是公正的； 3） 、 面试老师之间无差异。 4） 、 根据实际情况，面试老师人数应远远小于面试的学生数目； （二）符号说明 M：老师的人数；
8、 N：学生的人数 L i ：第 i 个老师，其中 i 为各个老师的编号，取值为 1，2，M； S i ：第 i 个学生，其中 i 为各个学生的编号，取值为 1，2，N； LZH m a x ：任两位学 生的 面试 组老 师完 全不 相同 或有 且仅 有一 个老 师相 同下 ，最大 的老师组合数；武汉科技学院 ：郑仟，李柏勋，陈军旗 2 0 0 6 年全国研究生数学建模竞赛一等奖 2 三、模型建立与求解 （一 ）问 题 1 1. 1 问题 的分 析与 建模 该问题需要解决的是在考生数 N 已知， 并满足 Y2 条件下， 说明聘请老师数 M 至少分别应为多大， 才 能做到任两位学生的 “面试组”
9、都没有两位以及三位面试 老师相同的情形。 其实质就是要求解当老师数目确定， 在 没有两位以及三位面 试 老师相同的情况下，分别建立模型使得老师组合数（LZH m a x ）达到最优。 第一步：列出所有面试老师的排列组合 为了表达的方便， 我们先把 M 个面试老师分别编号， 然后对 M 个面试老师做 4 的全排列，得到 C 个面试老师组合。 4 M 第二步：选定初始组 初始组是作为一次比较中的参考基准， 它 可以是 C 个面试老师组合序列中 4 M 的任意一组，但在此模型中我们假定首个面试老师组合为初始组（例如：1，2， 3，4） 。 第三步： 寻 找满足约束条件 （没有两位或者三位面试老师相同
10、） 的 最优组 合 （1 ）把初始组 与剩 下 的 C -1 个组合逐一 比较 ，保 留满 足约 束条 件的 面试 4 M 老师组合，同时抛弃不符合约束条件的组合。 （2）然后在上一步保留下来的老师组合中任取一个没有做过参考基准的组 合做为初始组， 将 该初始祖与上一步保留下来的老师组合中其他所有组合逐一比 较， 保 留满足约束条件的面试老师组合， 同时抛弃不符合约束条件的组合。 重 复 上述过程，直到没有组合保留下来，也没有组合可抛弃。 1. 2 模型 的求 解 利用 Matlab 软件编程求解，可分别得到任两位学生的“面试组”都没有两 位以及三位面试老师相同的情形下的求解结果。 1）任 两
11、位 学生 的“ 面试 组” 没有 两位 面试老 师相 同的 情形 考 虑 到 在 约 束 不 苛 刻 的 情 况 下 ， 当 老 师 人 数 为 50 时 ， 它 的 全 排 列 就 达 到 230300， 也就是说 50 个老师最多可以面试 230300 个学生， 这个数目已经相当 大 了。 所 以在求解的过程中， 选 定面试老师人数的变化范围为 450， 来 考察面试 老师人数与学生人数之间的关系，具体结果见表 1 和图 1。 表 1 没有两位老师相同的情形下，老师人数与学生人数之间的关系表格 由表 1 可 Y2 条件下， 面试老师人数与学生人数之间没有明显的规律， 我 们 利 用 Mat
12、lab 的 curvefit 工具向拟合出面试老师人数与学生人数之间的关系函数， 结果如下： M 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 N 1 1 1 2 2 3 3 6 9 13 1 3 13 15 17 20 20 M 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 N 21 26 30 33 35 37 42 45 48 50 55 59 64 68 73 77 M 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 N 80 86 88 95 99 102
13、 107 1 13 1 19 127 135 143 145 155 162武汉科技学院 ：郑仟，李柏勋，陈军旗 2 0 0 6 年全国研究生数学建模竞赛一等奖 3 N=0.06735*M 2 -0.2036*M+0.5141 其中， R-square=0.9988， Adjusted R-square=0.9981，说明了该 方程 能很 好地拟合面试老师人数与学生人数之间的关系。 0 0 0 0 10 10 10 10 20 20 20 20 30 30 30 30 40 40 40 40 50 50 50 50 0 0 0 0 20 20 20 20 40 40 40 40 60 60 6
14、0 60 80 80 80 80 100 100 100 100 120 120 120 120 140 140 140 140 160 160 160 160 180 180 180 180 M( ) M( ) M( ) M( ) N( ) N( ) N( ) N( ) 图 1 没有两位老师面试老师相同的情形下， 老师人数与学生人数的拟合曲线 *代表实际数据 2）任 两位 学生 的“ 面试 组” 没有 三位 面试老 师相 同的 情形 由于任两位学生的 “面试组” 没有三位面试老师相同的限制条件比任两位 学 生 的 “面试组” 没有两位面试老师相同的限制条件要宽， 从 而使老师人数相同 下 ，
15、 可面 试 的 学 生 人 数 迅 速 增 大 ， 所 以 我 们 选 定 面 试 老 师 人 数 的 变 化 范 围 为 4 50， 来考察面试老师人数与学生人数之间的关系，具体结果见表 2 和图 2。 表 2 没有三位老师相同的情形下，老师人数与学生人数之间的关系表格 由表 2 可见 ， 在 Y2 条件 下 ， 面 试 老 师 人 数 与 学 生 人 数 之 间 没 有 明 显 的 规 律， 我们利用 Matlab 的 curvefit 工具向拟合出面试老师人数与学生人数之间的关 系 函数，结果如下： N=14.89*e 0 . 1 3 9 8 * M -25.9*e 0 . 0 2 3
16、2 2 * M 其中， R-square=0.9989， Adjusted R-square=0.9987，说明了该 方程 能很 好地拟合面试老师人数与学生人数之间的关系。 M 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 N 1 1 3 7 14 14 18 26 39 55 77 105 140 140 148 M 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 N 164 189 221 263 315 378 442 518 606 707 819 945 1085 1240武汉科技学院 ：郑仟，李柏勋，陈军旗 2 0
17、 0 6 年全国研究生数学建模竞赛一等奖 4 0 0 0 0 5 5 5 5 10 10 10 10 15 15 15 15 20 20 20 20 25 25 25 25 30 30 30 30 35 35 35 35 0 0 0 0 200 200 200 200 400 400 400 400 600 600 600 600 800 800 800 800 1000 1000 1000 1000 1200 1200 1200 1200 1400 1400 1400 1400 M( ) M( ) M( ) M( ) N( ) N( ) N( ) N( ) 图 2 没有三位老师面试老师相同的
18、情形下， 老师人数与学生人数的拟合效果图 （二 ）问 题 2 2. 1 模型 进一 步假 设 1） 、 学生人数和老师人数均已知； 2） 、 面 试 不 同 考 生 的 “面试组 ” 成员完全不相同、 有一个相同、 有 两个相同、 有 三个相同的方案优先级依次递减。 2. 2 问题 的分 析与 建模 该问题需要根据 Y1Y4 的要求建立学生与面试老师之间合理的分配模型。 对于 M 个面 试 老 师 ， 若 考 虑 它 的 全 排 列 ， 即 为 C 。如 果 N C , 则说 明 M 4 M 4 M 个老师无法在不重复的条件下面试 N 个学生； 如 果 N =C ， 则 说明 M 个老师可 4
19、 M 以在不重复的条件下面试 N 个学生。 由问题一的的第一种情况的分析可知， 当 面 试老师人数 M 为 50 时， 最 多可以面试 23 万多学生， 而 在实际问题中， 各 大高 校 一次面试人数几乎不会达到这个数， 所以我们认为在 M 足够大时， 是完全可以 面 试足够多的学生的，因此在此问题中我只需考虑 N =C 的情形。 4 M 下面我们根据条件 Y1-Y4， 来 依次分析， 以 寻求学生与面试老师之间合理 的 分配模型，如下所示： 1 ）采 用 字 典 排 序 法 见参 考 文 献 1，排 列 出 M 个面 试 老 师 的 所 有 组 合 ，由 于此 排 序 方 法 的 特 殊 性
20、 ， 使 得 我 们 自 然 而 然 的 满 足 了 Y1 ：每 位 老 师 面 试 的 学生 数量 应 尽 量 地 均 衡 ， 同 时 也 满 足 了 Y2：面 试 不 同 考 生 的 “ 面试 组 ” 成员 不 能完武汉科技学院 ：郑仟，李柏勋，陈军旗 2 0 0 6 年全国研究生数学建模竞赛一等奖 5 全相 同 ， 和 Y4 ：被 任 意 两 位 老 师 面 试 的 两 个 学 生 集 合 中 出 现 相 同 的 学 生 的 人数 尽量的少。 2） 为了满足 Y3： 两个考生的 “面试组” 中有两位或三位老师相同的情形 尽 可能的少，我们依照下面的算法进行： 首先， 我 们考虑两个考生的
21、 “面试组” 中有两位或三位老师相同的情形不 存 在 ， 即 只 考 虑 面 试 中 老 师 至 少 有 一 个 相 同 的 情 形 ， 那 么 则 可 以 通 过 编 程 确 定 M 个老师可以面试的学生人数 N1； 然后考虑 N1 与 N 的大小，如果 NN1，再比较 N2 和 N 的大小，同理 如果 NN2 ，只 要 考 虑 至 少 有 两 个 相 同 的 就 行 ， 否 则 ， 就 只 能 考 虑 三 个 相 同 的情 形了。 2. 3 实例 分析 按 照 上 述 算 法 ， N=379 ， M=24 时 的 具 体 方 案 如 下 ： （ 其 中 A,B,C,D,E,F,G,H,I,
22、J,K,L,M,N,O,P,Q,R,S,T,U,V,W,X 分 别 代 表 24 位 老 师 ， i(1=i=379)表示第 i 个学生） 表 3 当 N=379，M=24 时具体的分配方案（每位老师面试哪些学生） A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X 1 64 1 16 158 190 215 231 56 239 274 302 324 340 353 361 270 365 372 376 370 378 378 1 1 1 1 2 65 1 17 159 191 216 232 57 240 275 303 325 341 35
23、4 362 271 366 373 377 371 10 21 125 21 3 66 1 18 160 192 217 233 58 241 276 304 326 342 355 363 272 367 374 368 374 20 31 198 30 4 67 1 19 161 193 218 234 59 242 277 305 327 343 356 364 273 368 375 369 375 30 73 238 39 5 68 120 162 194 219 235 60 243 278 306 328 344 357 266 298 369 365 372 376 72 83
24、 245 46 6 69 121 163 195 220 236 61 244 279 307 329 345 358 267 299 370 366 373 377 82 206 307 53 7 70 122 164 196 221 237 62 245 280 308 330 346 359 268 300 371 367 9 39 124 214 344 60 8 71 123 165 197 222 238 63 246 281 309 331 347 360 269 301 8 19 38 47 197 222 364 72 9 72 124 166 198 223 48 108
25、247 282 310 332 348 262 294 320 18 29 46 55 205 230 367 83 10 73 125 167 199 224 49 109 248 283 31 1 333 349 263 295 321 28 37 54 63 213 251 377 90 1 1 74 126 168 200 225 50 1 10 249 284 312 334 350 264 296 322 36 45 62 91 221 257 378 99 12 75 127 169 201 226 51 1 1 1 250 285 313 335 351 265 297 323
26、 44 53 90 99 229 279 20 104 13 76 128 170 202 227 52 1 12 251 286 314 336 352 290 316 336 52 61 98 107 237 285 31 1 13 14 77 129 171 203 228 53 1 13 252 287 315 337 258 291 317 337 60 71 106 1 15 244 348 38 125 15 78 130 172 204 229 54 1 14 253 288 316 338 259 292 318 338 70 81 1 14 133 250 352 47 1
27、31 16 79 131 173 205 230 55 1 15 254 289 317 339 260 293 319 339 80 89 123 141 256 356 52 138 17 80 132 174 206 40 100 150 255 290 318 252 261 312 332 349 88 97 132 149 278 360 61 149 18 81 133 175 207 41 101 151 256 291 319 253 286 313 333 350 96 105 140 157 284 369 73 156 19 82 134 176 208 42 102
28、152 257 292 320 254 287 314 334 351 104 1 13 148 165 306 371 82 162 20 83 135 177 209 43 103 153 258 293 321 255 288 315 335 352 1 12 131 156 173 343 373 91 171 21 84 136 178 210 44 104 154 259 294 322 256 289 328 345 357 122 139 164 181 347 375 98 180 22 85 137 179 21 1 45 105 155 260 295 323 257 3
29、08 329 346 358 130 147 172 189 351 10 105 189 23 86 138 180 212 46 106 156 261 296 246 280 309 330 347 359 138 155 180 261 355 37 1 12 198 24 87 139 181 213 47 107 157 262 297 247 281 310 331 348 360 146 163 188 265 359 44 130 206武汉科技学院 ：郑仟，李柏勋，陈军旗 2 0 0 6 年全国研究生数学建模竞赛一等奖 6 25 88 140 182 214 92 142
30、182 263 298 248 282 31 1 340 353 361 154 171 196 269 363 55 139 213 26 89 141 183 32 93 143 183 264 299 249 283 324 341 354 362 162 179 236 273 366 62 148 221 27 90 142 184 33 94 144 184 265 300 250 284 325 342 355 363 170 187 243 289 368 88 157 230 28 91 143 185 34 95 145 185 266 301 251 285 326 34
31、3 356 364 178 204 260 293 370 97 163 238 29 92 144 186 35 96 146 186 267 239 274 302 327 344 7 7 186 212 264 297 372 106 170 245 30 93 145 187 36 97 147 187 268 240 275 303 6 17 121 17 195 220 268 301 374 1 15 181 251 31 94 146 188 37 98 148 188 269 241 276 304 16 27 194 26 203 228 272 31 1 376 124
32、188 256 32 95 147 189 38 99 149 189 270 242 277 305 26 69 234 35 21 1 249 288 315 36 133 205 261 33 96 148 22 39 134 174 207 271 243 278 306 68 79 241 42 219 255 292 319 45 140 214 264 34 97 149 23 84 135 175 208 272 244 279 307 78 202 303 49 227 259 296 323 54 147 222 267 35 98 150 24 85 136 176 20
33、9 273 245 5 35 120 210 340 56 235 263 300 327 63 154 229 270 36 99 151 25 86 137 177 210 4 15 34 43 193 218 16 68 242 267 305 331 89 164 250 278 37 100 152 26 87 138 178 21 1 14 25 42 51 201 226 27 79 248 271 310 335 96 173 257 285 38 101 153 27 88 139 179 212 24 33 50 59 209 247 34 86 254 277 314 3
34、39 107 178 260 288 39 102 154 28 89 140 180 213 32 41 58 87 217 253 43 95 258 283 318 9 1 14 187 265 293 40 103 155 29 90 141 181 214 40 49 86 95 225 275 48 100 262 287 322 19 132 197 266 294 41 104 156 30 91 166 199 223 48 57 94 103 233 281 57 109 266 291 326 28 141 237 271 299 42 105 157 31 126 16
35、7 200 224 56 67 102 1 1 1 240 6 69 121 270 295 330 70 146 244 279 307 43 106 12 74 127 168 201 225 66 77 1 10 129 246 33 78 127 276 299 334 81 155 259 284 309 44 107 13 75 128 169 202 226 76 85 1 19 137 252 40 87 134 282 309 338 123 165 262 289 312 45 108 14 76 129 170 203 227 84 93 128 145 274 51 9
36、4 145 286 313 342 196 172 269 292 319 46 109 15 77 130 171 204 228 92 101 136 153 280 58 101 152 290 317 362 204 179 272 295 322 47 1 10 16 78 131 172 205 229 100 109 144 161 302 84 108 158 294 321 365 21 1 186 286 298 324 48 1 1 1 17 79 132 173 206 230 108 127 152 169 32 93 126 167 298 325 18 219 2
37、58 291 308 329 49 1 12 18 80 133 190 215 231 1 18 135 160 177 41 102 135 176 304 329 29 228 263 296 313 334 50 1 13 19 81 158 191 216 232 126 143 168 185 50 1 1 1 144 185 308 333 71 236 268 301 318 339 51 1 14 20 82 159 192 217 233 134 151 176 5 59 120 153 194 312 337 80 243 273 306 323 344 52 1 15
38、21 83 160 193 218 234 142 159 184 15 85 129 159 202 316 346 203 249 287 31 1 325 348 53 1 64 1 16 161 194 219 235 150 167 192 24 92 136 166 209 320 350 212 254 290 314 328 351 54 2 65 1 17 162 195 220 236 158 175 232 66 103 143 177 217 324 354 220 276 297 317 335 355 55 3 66 1 18 163 196 221 237 166
39、 183 239 77 1 10 150 184 226 328 358 227 283 300 320 338 360 56 4 67 1 19 164 197 222 238 174 200 14 1 19 128 160 201 234 332 8 248 305 310 326 347 364 57 5 68 120 165 198 3 3 182 208 25 192 137 169 210 241 336 122 255 342 315 331 352 367 58 6 69 121 2 13 1 17 13 191 216 67 200 142 174 218 247 341 1
40、95 277 346 316 332 356 369 59 7 70 122 12 23 190 22 199 224 76 207 151 183 225 252 345 235 282 349 321 337 359 370 60 8 71 123 22 65 12 64 207 4 199 215 161 193 246 274 349 242 345 353 327 343 368 372 61 9 72 124 64 75 23 75 215 1 18 208 224 168 233 253 281 353 304 350 358 330 363 371 375 62 10 73 1
41、25 74 2 65 1 17 223 191 216 232 175 240 275 303 357 341 354 362 333 366 373 377 63 1 1 1 1 1 16 1 16 74 190 231 231 223 239 182 302 280 340 361 361 357 365 336 376 374 378武汉科技学院 ：郑仟，李柏勋，陈军旗 2 0 0 6 年全国研究生数学建模竞赛一等奖 7 由表 3 可得： 1）24 个老师中有 20 个老师面试学生的数量为 63 个，4 个老师面试学生的 数量为 64 个 ， 24 个老师面试学生数量的方差为 0.145
42、 ,所以该方案很好地满足了 Y1 的要求。 2）因为从 M 个老师中挑选 4 个的全排列就已经排除了完全相同的情况，所 以该方案也满足了 Y2 的要求。 3） 对于 Y3， 从 假设可知， 面 试不同考生的 “面试组” 成员完全不相同、 有 一个相同、 有 两个相同、 有三个相同、 4 个都相同的方案优先级依次递减。 所 以 ， 为了面试完所有学生，同时又满足 Y3 的要求，除了首先安排没有老师相同或仅 有一个老师相同的方案外， 还要安排有两个老师相同的方案， 若 还不能面试完 所 有学生， 则 要安排有三个老师相同的方案。 由表 3 统计可得， 两 个学生的 “面试 组 ” 中没 有 老 师
43、 相 同 的 分 配 方 案 有 6 个， 有 一 个 老 师 相 同 的 分 配 方 案 有 35 个 ， 有两个老师相同的分配方案有 337 个， 有三个老师相同的分配方案有一个， 较 好 地满足了 Y3 的要求。 4 ）任 意 两 位 老 师 面 试 的 两 个 学 生 集 合 中 出 现 相 同 学 生 的 人 数 最 大 值 为 11 ， 仅 占 所 有 分 配 方 案 的 2.9% （ 11/379=2.9% ） ， 占 老 师 面 试 学 生 总 数 的 17.46%（11/63=17.46%） ， 所以，该方案也较好地满足了 Y4 的要求。 （三 ）问 题 3 3. 1 问题
44、的分 析与 建模 该问题与问题一、 问题二相比， 多 考虑了在面试老师中理科与文科的老师 各 占一半， 并且要求每位学生接受两位文科与两位理科老师面试的情况。 于 是我们 需要对总的面试老师人数进行分别考虑， 即当其人数为偶数时， 理 科老师和文 科 老师人数各占一半； 当其人数为奇数时， 要 么理科老师比文科老师人数多一个 或 者文科老师比理科老师人数多一个。 接下来的解题思想分别与问题一、 问 题二相 类似，所以我们可以直接套用上面的解题方法和算法思想。 3. 2 模型 的求 解 1） 、考虑文 理分 科老 师时 ，问 题一 的求 解 A、任 两位 学生 的“ 面试 组 ”没有 两位 面试
45、老 师相 同的 情形 在这 求 解 的 过 程 中 ， 我 们 选 定 面 试 老 师 人 数 的 变 化 范 围 为 4 30，来 考察 面试老师人数与学生人数之间的关系，具体结果见表 4 和图 4。 表 4 考虑文理科老师和没有两位老师相同的情形下， 探索 M 与 N 之间的关系表格 由表 4 可知， 面试老师人数与学生人数之间同样没有明显的规律， 难 以找 出 通式， 所以我们通过曲线拟合， 来 求出面试老师人数与学生人数之间的关系函 数 ， 如下所示： N=0.05686*M 2 -0.18*m+0.2569 其中， R-square=0.9975， Adjusted R-square
46、=0.9974，说明了该 方程 能很 好地拟合面试老师人数与学生人数之间的关系。 M 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 N 1 1 1 2 2 3 5 6 9 8 10 12 13 14 M 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 N 16 18 20 22 25 27 31 32 35 38 41 45 48武汉科技学院 ：郑仟，李柏勋，陈军旗 2 0 0 6 年全国研究生数学建模竞赛一等奖 8 0 0 0 0 5 5 5 5 10 10 10 10 15 15 15 15 20 20 20 20 25 25 25
47、25 30 30 30 30 0 0 0 0 10 10 10 10 20 20 20 20 30 30 30 30 40 40 40 40 50 50 50 50 M( ) M( ) M( ) M( ) N( ) N( ) N( ) N( ) 图 4 在考虑文理科老师和没有两个老师相同的情况下，M 与 N 的拟合效果图 B、任 两位 学生 的“ 面试 组” 没有 三位 面试老 师相 同的 情形 如上所述， 我 们选定面试老师人数的变化范围为 430， 来 考察面试老师 人 数与学生人数之间的关系，具体结果见表 5 和图 5。 表 5 考虑文理科老师和没有三位老师相同的情形下， 探索 M 与
48、N 之间的关系表格 由表 5 可知， 面试老师人数与学生人数之间也没有明显的规律， 很 难找出 通 式， 所 以我们通过曲线拟合， 求出面试老师人数与学生人数之间的关系函数， 如 下所示： N= 7.027*e 0 。 1 5 5 5 * M 其中， R-square=0.9969， Adjusted R-square=0.9968，说明了该 方程 能很 好地拟合面试老师人数与学生人数之间的关系。 M 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 N 1 1 3 6 12 12 16 22 33 45 63 84 1 12 1 12 M 18 19 20 21 22
49、23 24 25 26 27 28 29 30 N 120 132 153 177 21 1 250 300 348 408 474 553 637 735武汉科技学院 ：郑仟，李柏勋，陈军旗 2 0 0 6 年全国研究生数学建模竞赛一等奖 9 0 0 0 0 5 5 5 5 10 10 10 10 15 15 15 15 20 20 20 20 25 25 25 25 30 30 30 30 0 0 0 0 100 100 100 100 200 200 200 200 300 300 300 300 400 400 400 400 500 500 500 500 600 600 600 600 700 700 700 700 800 800 800 800 M( ) M( ) M( ) M( ) N( ) N( ) N( ) N( ) 图 4 在考虑文理科老师和没有三个老师相同的情况下，M 与 N 的拟合效果图 2） 、考虑文 理分 科老 师时 ，问 题二 的求 解 A、一般模型的建立和求解 该问题需要根据 Y1Y4 的要求建立学生与面试老师之间合理的分配模型。 对 于 M 个 面 试 老 师 ， 若 考 虑 它 的 全 排 列 ， 即 为 C *C 。 如 果 N 2 2 / M 2 2 / M C *C ,则说明 M
