2-2 薛定谔方程.pdf

1、 1 2.2 薛定谔 (Schrdinger)方程 2.2.1 Schrdinger 方程 的引入 量子力学的基本定律是波函数所满足的偏微分方程。 这个方程对于波函数应该是线性的，即若 1 和 2 是方程的解则 1 1 2 2 1 2( , )c c c c 是 复 常 数也是方程的解，以满足叠加原理的要求；它可以和粒子的内在属性参数（例如质量，电荷，自旋）有关，却和 粒子的状态参数（例如能量，动量，角动量）无关。 对于 这个方程的 样子， 可以从 de Broglie 波得到一些启示。 de Broglie 波 是 i ( ) /( , ) e ,E t p rrt 所以 2 2 2i,i

2、, .Etpp 而对于自由粒子 2 ,2pE m 所以 2 2i.2tm 这个方程就满足上面的要求。它可以 看作是 在经典关系中进行代换 i , i Ept , 并且把它们作用于波函数 ( , )rt 得到的。容易验证：由 de Broglie 波的线性叠加所构成的波 函数 i ( ) / 3 231( , ) ( ) e ( / 2 )( 2 ) E t p rr t p d p E p m 都满足上面的方程。由此我们可以推广地假设 ：若粒子在外势场 ()Vr中运动，其能量的表达式为 21 ( ),2E p V rm 则它的波函数应该满足方程 2 2i ( ) .2 Vrtm 这就是单粒子

3、的 Schrdinger方程 (1926)。它是量子力学的基本定律，然而在本质上 它 是一个 假定 或者 公理 。它的正确性是靠实验来检验的。 2.2.2 几率守恒定律 粒子的空间几率密度是 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ,r t r t r t r t 所以 .t t t 根据 Schrdinger 方程， 2i1 ,2i Vtm 并且（注意 VV ）， 2i1 ,2i Vtm 2 所以 22ii( ) ( ) .22t m m 记 i1 ( ) ( ) ,22J p pmm 则 0,Jt 这表示了一种守恒定律，因为上式 对任何体积 V 积分给出 33( ) ,VVd r

4、 J d rt 等式右方用 Gauss 定理 得 ,V Sd W J dSdt WV 是在体积 V 内发现粒子的总几率，而 S J dS （矢量 dS 指向 V 的外边）是矢量 J 穿过封闭曲面 S向外的总通量。所以 J 是几率流密度 ，而上式表现了 几率守恒 。 如果 ( , )rt 是一个一般的函数，则 2),( tr 在无穷大体积中 的积分就可能与时间有关， 它的归一化就 不可能 随 着时间的推移一直被满足 。但若它满足 Schrdinger 方程，则 23| ( , ) | 0 ,d r t d r J d Sdt 即 W 与时间无关，所以波函数的 归一是可以永远 不变地 被 保持 的

5、。由此还可以看出：几率守恒也就是粒子数守恒 ，因为它表示：一个粒子既不可能凭空产生，也不可能凭空消失。 把 de Broglie 波 i ( ) /e Et p rA 代入 J 的表达式 ，我们发现 22ppJ = | A | = | |= v,mm 其中 v=p/m 是粒子的经典速度。 它 完全 类似于用电荷密度和电荷平均 速度 表达 电流密度的 式子 。 *2.2.3 初值问题 自由粒子的传播子 对于时间变量而言， Schrdinger 方程是一阶微分方程，所以只要给定初始时刻 ( 0t )的波函数， 以后任何时刻的波函数都能够完全决定。 下面以自由粒子 为例，说明这样的初值问题如何求解。

6、 前面已经指出：波函数 i ( ) / 331( , ) ( ) e ( / 2 )( 2 ) E t p rr t p d p E p m 满足自由粒子的 Schrdinger 方程。它的初值是 i / 331( , 0 ) ( ) e ,( 2 ) prr p d p 所以 ()p 是 ( ,0)r 的动量几率振幅，可以如下地求出： i / 331( ) ( , 0 ) e ,( 2 ) prp r d r 代入即得 i ( ) / 3 331( , ) ( , 0 ) e . ( / 2 )( 2 ) E t p r rr t r d r d p E p m 这就是自由粒子 Schrdi

7、nger 方程初值问题的 一般 解。 如果 把初始时刻取为 t ，那么 3 i ( ) ( ) / 3 331( , ) ( , ) e . ( / 2 )( 2 ) E t t p r rr t r t d r d p E p m 这个式子又可以写为 3( , ) ( , ; , ) ( , ) ,r t G r t r t r t d r 其中 i ( ) ( ) / 331( , ; , ) e , ( / 2 )( 2 ) E t t p r rG r t r t d p E p m 它 可以完全积分出来， 结果是 3 / 2 2()( , ; , ) i e x p i .2 ( )

8、 2m m r rG r t r t t t t t ( , ; , )G r t r t称为自由粒子的传播子 (propagator)，因为在 ,rt点的波函数借助于 ( , ; , )G r t r t对 ,rt点的波函数做出贡献。不难发现， ( , ; , )G r t r t满足 对于变量 (,)rt 的自由粒子 Schrdinger 方程 2 2( , ; , )i ( , ; , ) ,2rG r t r t G r t r ttm 以及 初始条件 3( , ; , ) ( ) ,ttG r t r t r r 3()rr 是 3 维空间中的 函数。 传播子在量子场论里占有重要 地

9、位。 在物理上，传播子是波动现象的 惠更斯 (Huygens)原理的体现，在数学上，传播子称为 格林 (Green)函数。 2.2.4 定态 Schrdinger 方程 能量本征方程 若 ()Vr与时间无关，则 Schrdinger 方程可以分离变量求解，即设 ( , ) ( ) ( ), r t f t r 代入 Schrdinger 方程中得 2 2i1 ( ) ( ) ,( ) ( ) 2df V r rf t d t r m 此式必须等于常数，记为 E，则第一个方程成为 i ( ),df E f tdt 它可以容易地解出，得 i/( ) e ,Etft 而第二个方程成为 2 2 ( )

10、 ( ) ( ) ,2 EEV r r E rm 这个方程称为 定态 Schrdinger方程 。对应地，波函数成为 i/( , ) e ( ).Et Er t r 这样的波函数称为 定态波函数 ， 它所描写的粒子状态称为定态。由于 2 2 ()2H T V V rm 正是粒子的总能量（动能加势能）算符，所以常数 E的物 理意义就是粒子的 能量 ，而定态就是体系的 能量有确定值 的状态。 形如 算符作用于波函数 常数乘以这波函数 的方程称为该算符的 本征方程 ，常数称为 本征值 ，方程的解称为（该算符的属于该本征值的） 本征函数 。由于定态 Schrdinger 方程就是 4 ( ) ( ),

11、EEH r E r 所以它也就是 能量本征方程 ，而波函数 ()Er 也就是能量值为 E 的 能量本征函数。 可以证明：在定态（也就是波函数具有 i/( , ) e ( )Etr t r 的形式）时，体系的各种力学性质都不随时间而改变 ，这是“定态”这个名词的本来含义。 2.2.5 非定态 Schrdinger 方程的一般解 必须注意，定态波函数只是含时间的 Schrdinger 方程的特解，而 Schrdinger 方程的一般解是定态波函数的线性组合，即 i/( , ) ( ) e ,EtEEEr t c r 其中 Ec 是复常数 ，这样的状态称为非定态。在状态 ( , )rt 下， 能量的

12、平均值是（ 设它已经 归一） 3( , ) ( , ) ,E r t H r t d r 代入上面的解，我们 发现（ 设 ()Er 也 已 经归一 ） 2| | ,EEE c E 所以 2|Ec 是在状态 ( , )rt 下任意时刻能量值 E 出现的几率。虽然 ( , )rt 与时间有关， 但 这个几率却是不随时间而改变 的。 所以 ，在 ()Vr与时间无关的情况下，求出了定态 Schrdinger 方程的全部解，其实也就求出了含时Schrdinger 方程的全部解。 2.2.6 一般系统的 Schrdinger 方程 在经典力学的正则形式（哈密顿 形式） 中 ，一个系统的物理特征完全由它的

13、哈密顿量 (Hamiltonian)来描写，在这个系统中发生的动力学过程也完全由它来决定 。 这一点在量子力学中也类似，就是说，任何量子系统都有一哈密顿量 Hamiltonian 算符 H ，这个系统的含时间的 Schrdinger 方程就是 i.Ht 这就是 Schrdinger 方程的一般形式。如果 H 不显含时间，那么它就有定态解 i/e,Et 其中 与时间无关并且满足定态 Schrdinger 方程 .HE 比如多粒子系统的 Hamiltonian 算符是 2 2111 ( ) ( ) ( , , ) ,2 NNi i i i i Nii iH T U V U r V r rm其中 i

14、m 是第 i 个粒子的质量， 2i 是 第 i 个粒子 的 拉普拉斯 (Laplace)算符， ()iiUr是第 i 个粒子受到的外部作用 的 势能， 1( , , )NV r r 是 粒子之间的相互作用势能。由此就不难写出它的 Schrdinger 方程。 2.2.7 量子力学的表象 我们在上一节 谈到，一个粒子的量子状态可以用波函数 ( , )rt 来描写，而通过 Fourier 变换 i / 331( , ) ( , ) e ,( 2 ) prp t r t d r ( , )rt 可以转换到 ( , )pt ，反过来说， ( , )pt 还可以再转换回 ( , )rt ： i / 33

15、1( , ) ( , ) e .( 2 ) prr t p t d p 所以， 应该说 ( , )pt 和 ( , )rt 包含同 样多的信息，有同等的资格 描写粒子的状态。我们称用 ( , )rt 来描写粒子的状态是量子力学的“坐标表象”，而用 ( , )pt 描写粒子的状态是量子力学的“动量表象”，或者称 ( , )pt 是动量表象中的波函数 。 上面 还 谈到了非定态情况下的一般波函数为 5 i/( , ) ( ) e ,EtEEEr t c r 在全体能量本征函数 i/( )e EtE r 被解出以后，表征系统的状态的任务就是由 系数 Ec 完成的。我们称这样做是采用了“能量表象”，

16、Ec 可以称为能量表象中的波函数，也称为态矢量 。 至于量子力学的更一般的表象的构成 方法，我们 以后 将做详细 介绍。 2.2.8 量子力学中的测量 波包坍缩 任何物理理论都只有在得到了实验的验证以后才能被认为是正确的。所以，理论必须回答这样的问题：对于理论所预言的结果如何进行实验测量？ 这个 问题在经典物理中的回答几乎是不言自明的，而且经典物理中的测量具有两个特点：（ 1）测量过程的动力学遵循与经典物理本身相同的规律；（ 2）测量过程对于 被 测对象的干扰可以忽略不计。 但是量子力学中的测量具有完全不同的性质。 首先，量子力学的测量结果是几率性的。比如，我们要测量一个非定态的能量，为明确起

17、见，把该状态的波函数写为 i/( , ) ( ) e ,nEtnnnr t c r 其中 ( 1, 2, 3, )nEn 是一系列分立的（离散的）能量值。那么，每一次测量能量所得的结果，都可能是 1 2 3, , ,E E E 中的任何一个，对此我们无法准确预言。我们能够预期的只是在进行了足够多次的测量以后，测得能量值为 1E 的几率是 21|c ，测得能量值为 2E 的几率是 22|c ，等等。所以，这个状态根本没有唯一的能量值。这种情形在经典物理中当然是不会出现的。 其次，在进行测量以前，系统的状态是许许多多本征态 的叠加，而进行一次测量只能给出其中的一个本征值，所以，测量的过程就是从那许

18、许多多的本征态中随机地提取出一个来把它的本征值显示为仪器读数的过程，换句话说，测量过程完成的时候，也就是系统的状态从线性组合态变成单一本征态的时候，即 i / i /e e ,niE t E tn n in c 测 量 并 且 读 出 其中 iE 是随机产生的。 在量子力学里通常把前者称为波包， 所以 上述过程 称为波包坍缩 (von Neumann, 1932)。所以，量子测量的过程是波包坍缩的过程。 随之而来的问题是：既然测量（ 并且读出）必然导致波包坍缩，也就是说进行过测量 之后的态已经不再是原来的态，那么再对它进行测量已经没有任何意义。我们必须另拿一个同样的 波包来进行另一次新的测量。而为 了得到全部本征值的几率分布，这一次次重新开始的测量必须进行许许多多 次。所以，在原则上， 为了完成一个量子测量， 必须制备 出 对象系统的给定状态的无穷多个全同副本。 最后 需要指出：量子力学关于测量的假定是理论的基本假定之一，是独立于理论的其它假定的。至于说波 包坍缩的 动力学 是什么 ，在目前 仍然 是一个 悬而未决 的疑难问题 。量子力学的测量理论 涉及 相当复杂的物理 ， 它 的解决 有待于人们对量子现象的更深入的研究。目前方兴未艾的“量子信息学”的研究可能 对此有所帮助。