1、福建省福州十八中 2017 学年九年级（上）开学数学试卷 (解析版)一、选择题1一组数据 1，2，3，4，5 的方差是（ ）A1 B2 C3 D42某地需要开辟一条隧道，隧道 AB 的长度无法直接测量如图所示，在地面上取一点C，使点 C 均可直接到达 A， B 两点，测量找到 AC 和 BC 的中点 D，E，测得 DE 的长为1100m，则隧道 AB 的长度为（ ）A3300m B2200m C1100m D550m3若平行四边形中两个内角的度数比为 1：2，则其中较小的内角是（ ）A90 B60 C120 D454为了备战 2016 年里约奥运会，中国射击队正在积极训练甲、乙两名运动员在相同
2、的条件下，各射击 10 次经过计算，甲、乙两人成绩的平均数均是 9.5 环，甲的成绩方差是0.125，乙的成绩的方差是 0.85，那么这 10 次射击中，甲、乙成绩的稳定情况是（ ）A甲较为稳定 B乙较为稳定C两个人成绩一样稳定 D不能确定5一次函数 y=2x+1 的图象不经过下列哪个象限（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限6已知一元二次方程 x26x+c=0 有一个根为 2，则另一根为（ ）A2 B3 C4 D87已知菱形的两条对角线的长分别是 6 和 8，则菱形的周长是（ ）A36 B30 C24 D208已知抛物线 y=（a5）x 24x1 与 x 轴有交点，则 a 的取
3、值范围是（ ）Aa1 Ba 5 Ca 1 且 a5 Da1 且 a59如图，函数 y=2x 和 y=ax+4 的图象相交于点 A（m，3），则不等式 2xax+4 的解集为（ ）Ax Bx3 Cx Dx310如图，正ABC 的边长为 3cm，动点 P 从点 A 出发，以每秒 1cm 的速度，沿ABC 的方向运动，到达点 C 时停止，设运动时间为 x（秒），y=PC 2，则 y 关于 x 的函数的图象大致为（ ）A B C D二、填空题11请写出一个图象经过第一、三象限的正比例函数的解析式 12方程 x22x=0 的根是 13某校规定学生的体育成绩由三部分组成；体育技能测试占 50%，体育理论测
4、试占20%，体育课外活动表现 30%，甲同学的上述三部分成绩依次为 96 分，85 分，90 分，则甲同学的体育成绩为 分14如图，在 RtABC 中，ACB=90，点 D，E，F 分别为 AB，AC，BC 的中点若EF=8，则 CD 的长为 15将抛物线向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位后，所得抛物线的解析式为y=x21，则原抛物线的解析式为 16观察如图图形规律：当 n= 时，图形中“”的个数是“” 的个数的一半三、解答题17解方程：x 24x+1=018某乡镇企业生产部有技术工人 15 人，生产部为了合理制定产品的每月生产定额，统计了 15 人某月的加工零件个数：加工件数 54
5、0 450 300 240 210 120人数 1 1 2 6 3 2（1）写出这 15 人该月加工零件数的平均数、中位数和众数（2）假如生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为 260（件），你认为这个定额是否合理，为什么？19如图，已知 E、F 分别是ABCD 的边 BC、AD 上的点，且 BE=DF（1）求证：四边形 AECF 是平行四边形；（2）若四边形 AECF 是菱形，且 BC=10，BAC=90，求 BE 的长20某地区 2013 年投入教育经费 2000 万元，2015 年投入教育经费 2420 万元（1）求 2013 年至 2015 年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）
6、根据（1）所得的年平均增长率，预计 2016 年该地区将投入教育经费多少万元21如图，直线 AB 与 x 轴交于点 A（1，0），与 y 轴交于点 B（0，2）（1）求直线 AB 的解析式；（2）若直线 AB 上的点 C 在第一象限，且 SBOC =2，求点 C 的坐标22在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动将边长为 2 的正方形 ABCD 与边长为 3 的正方形 AEFG 按图 1 位置放置，AD 与 AE 在同一条直线上，AB 与 AG 在同一条直线上（1）小明发现 DG=BE 且 DGBE，请你给出证明（2）如图 2，小明将正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转，当点 B 恰好落在
7、线段 DG 上时，请你帮他求出此时ADG 的面积23如图，将矩形 ABCD 置于平面直角坐标系中，其中 AD 边在 x 轴上，AB=2，直线MN：y=x 4 沿 x 轴的负方向以每秒 1 个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被矩形ABCD 的边截得的线段长度为 m，平移时间为 t，m 与 t 的函数图象如图 2 所示（1）点 A 的坐标为 ，矩形 ABCD 的面积为 ；（2）求 a，b 的值；（3）在平移过程中，求直线 MN 扫过矩形 ABCD 的面积 S 与 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围24如图，已知抛物线 y=x2+bx+9b2（b 为常数）经过坐标原点 O，且与 x
8、轴交于另一点E其顶点 M 在第一象限（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）设点 A 是该抛物线上位于 x 轴上方，且在其对称轴左侧的一个动点；过点 A 作 x 轴的平行线交该抛物线于另一点 D，再作 ABx 轴于点 B，DCx 轴于点 C当线段 AB、BC 的长都是整数个单位长度时，求矩形 ABCD 的周长；求矩形 ABCD 的周长的最大值，并写出此时点 A 的坐标；当矩形 ABCD 的周长取得最大值时，它的面积是否也同时取得最大值？请判断并说明理由2016-2017 学年福建省福州十八中九年级（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1一组数据 1，2，3，4，5 的方差是（ ）A1
9、 B2 C3 D4【考点】方差【分析】计算出数据的平均数后，再根据方差公式计算【解答】解：数据 1，2，3，4，5 的平均数为 （1+2+3+4+5）=3，则其方差为（4+1+0+1+4）=2 故选 B【点评】本题考查方差的计算：一般地设 n 个数据，x 1，x 2，x n 的平均数为 ，则方差S2= （x 1 ） 2+（x 2 ） 2+（x n ） 2，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立2某地需要开辟一条隧道，隧道 AB 的长度无法直接测量如图所示，在地面上取一点C，使点 C 均可直接到达 A， B 两点，测量找到 AC 和 BC 的中点 D，E，测得 DE 的长为
10、1100m，则隧道 AB 的长度为（ ）A3300m B2200m C1100m D550m【考点】三角形中位线定理【分析】根据三角形中位线定理得到 AB=2DE，计算即可【解答】解：D，E 为 AC 和 BC 的中点，AB=2DE=2200m，故选：B【点评】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半3若平行四边形中两个内角的度数比为 1：2，则其中较小的内角是（ ）A90 B60 C120 D45【考点】平行四边形的性质；平行线的性质【分析】根据平行四边形的性质得出 ABCD，推出B+C=180 ，根据B：C=1 ：2，求出B 即可【解答】解：四边形 A
11、BCD 是平行四边形，ABCD ，B+C=180 ，B：C=1 ：2，B= 180=60，故选 B【点评】本题考查了平行线的性质和平行四边形的性质的应用，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度不大4为了备战 2016 年里约奥运会，中国射击队正在积极训练甲、乙两名运动员在相同的条件下，各射击 10 次经过计算，甲、乙两人成绩的平均数均是 9.5 环，甲的成绩方差是0.125，乙的成绩的方差是 0.85，那么这 10 次射击中，甲、乙成绩的稳定情况是（ ）A甲较为稳定 B乙较为稳定C两个人成绩一样稳定 D不能确定【考点】方差；算术平均数【分析】根据方差的意义可作出判断方差是用
12、来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定【解答】解：S 甲 2=0.125，S 乙 2=0.85，S 甲 2=0.125S 乙 2=0.85，射击成绩稳定的是甲；故选 A【点评】本本题考查方差的意义方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定5一次函数 y=2x+1 的图象不经过下列哪个象限（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【考点】一次函数图象与系数的关系【分析】先根据
13、一次函数的解析式判断出 k、b 的符号，再根据一次函数的性质进行解答即可【解答】解：解析式 y=2x+1 中，k=20，b=10，图象过第一、二、四象限，图象不经过第三象限故选：C【点评】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数 y=kx+b（k0）中，当 k0 时，函数图象经过第二、四象限，当 b0 时，函数图象与 y 轴相交于正半轴6已知一元二次方程 x26x+c=0 有一个根为 2，则另一根为（ ）A2 B3 C4 D8【考点】根与系数的关系【分析】利用根与系数的关系来求方程的另一根【解答】解：设方程的另一根为 ，则 +2=6，解得 =4故选 C【点评】本题考查了根与系数的关系若二次项系数
14、为 1，常用以下关系：x 1，x 2 是方程x2+px+q=0 的两根时，x 1+x2=p，x 1x2=q，反过来可得 p=（x 1+x2），q=x 1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数7已知菱形的两条对角线的长分别是 6 和 8，则菱形的周长是（ ）A36 B30 C24 D20【考点】菱形的性质【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可【解答】解：如图所示，根据题意得 AO= 8=4，BO= 6=3，四边形 ABCD 是菱形，AB=BC=CD=DA，ACBD，AOB 是直角
15、三角形，AB= =5，此菱形的周长为：54=20故选：D【点评】本题主要考查了菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键，同学们也要熟练掌握菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角8已知抛物线 y=（a5）x 24x1 与 x 轴有交点，则 a 的取值范围是（ ）Aa1 Ba 5 Ca 1 且 a5 Da1 且 a5【考点】抛物线与 x 轴的交点【分析】根据二次函数的定义得到 a50，再根据=b 24ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数得到（4） 24（ a5）（1）0，然后求出两个不等式的公共部分即可【解答】解：根据题意得 ，解得 a1
16、且 a5故选 D【点评】本题考查了 抛物线与 x 轴的交点：二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）的交点与一元二次方程 ax2+bx+c=0 根之间的关系， =b 24ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数，=b 24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；=b 24ac=0 时，抛物线与 x 轴有1 个交点；=b 24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点也考查了二次函数的定义9如图，函数 y=2x 和 y=ax+4 的图象相交于点 A（m，3），则不等式 2xax+4 的解集为（ ）Ax Bx3 Cx Dx3【考点】一次函数与一元一次不等式【分析】将点 A（m，3）代入
17、 y=2x 得到 A 的坐标，再根据图形得到不等式的解集【解答】解：将点 A（m，3）代入 y=2x 得，2m=3，解得，m= ，点 A 的坐标为（ ，3），由图可知，不等式 2xax+4 的解集为 x 故选：A【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，要注意数形结合，直接从图中得到结论10如图，正ABC 的边长为 3cm，动点 P 从点 A 出发，以每秒 1cm 的速度，沿ABC 的方向运动，到达点 C 时停止，设运动时间为 x（秒），y=PC 2，则 y 关于 x 的函数的图象大致为（ ）A B C D【考点】动点问题的函数图象【分析】需要分类讨论：当 0x3，即点 P 在线段 AB 上
18、时，根据余弦定理知 cosA=，所以将相关线段的长度代入该等式，即可求得 y 与 x 的函数关系式，然后根据函数关系式确定该函数的图象当 3x6，即点 P 在线段 BC 上时，y 与 x的函数关系式是 y=（6 x） 2=（x6） 2（3x6），根据该函数关系式可以确定该函数的图象【解答】解：正ABC 的边长为 3cm，A= B=C=60 ，AC=3cm 当 0x3 时，即点 P 在线段 AB 上时，AP=xcm（0x3）；根据余弦定理知 cosA= ，即 = ，解得，y=x 23x+9（0x3）；该函数图象是开口向上的抛物线；解法二：过 C 作 CDAB ，则 AD=1.5cm，CD= cm
19、，点 P 在 AB 上时， AP=x cm， PD=|1.5x|cm，y=PC 2=（ ） 2+（1.5x） 2=x23x+9（0x3）该函数图象是开口向上的抛物线；当 3x6 时，即点 P 在线段 BC 上时，PC=（6 x）cm（3x6）；则 y=（6 x） 2=（x6） 2（3x6），该函数的图象是在 3x6 上的抛物线；故选：C【点评】本题考查了动点问题的函数图象解答该题时，需要对点 P 的位置进行分类讨论，以防错选二、填空题11请写出一个图象经过第一、三象限的正比例函数的解析式 y=x 【考点】正比例函数的性质【分析】直接根据正比例函数的性质求解【解答】解：正比例函数 y=kx 的图
20、象经过第一、三象限，k 可取 1，此时正比例函数解析式为 y=x故答案为 y=x【点评】本题考查了正比例函数的性质：正比例函数 y=kx，当 k0，图象经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大；当 k0，图象经过第二、四象限，y 随 x 的增大而减小12方程 x22x=0 的根是 x 1=0，x 2=2 【考点】解一元二次方程-因式分解法【分析】因为 x22x 可提取公因式，故用因式分解法解较简便【解答】解：因式分解得 x（x2）=0，解得 x1=0，x 2=2故答案为 x1=0，x 2=2【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为 0后方程的左边能因式分解
21、时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为 0 的特点解出方程的根因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用13某校规定学生的体育成绩由三部分组成；体育技能测试占 50%，体育理论测试占20%，体育课外活动表现 30%，甲同学的上述三部分成绩依次为 96 分，85 分，90 分，则甲同学的体育成绩为 92 分【考点】加权平均数【分析】根据体育技能测试占 50%，体育理论测试占 20%，体育课外活动表现 30%，利用加权平均数的公式即可求出答案【解答】解：由题意知，甲同学的体育成绩是：9650%+8520%+9030%=92（分）则甲同学的体育成绩是 92 分故答案为：92【点
22、评】本题考查了加权平均数的计算平均数等于所有数据的和除以数据的个数14如图，在 RtABC 中，ACB=90，点 D，E，F 分别为 AB，AC，BC 的中点若EF=8，则 CD 的长为 8 【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得 AB=2EF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解【解答】解：E，F 分别为 AC，BC 的中点，EF 是ABC 的中位线，AB=2EF=28=16 ，ACB=90，点 D 是 AB 的中点，CD= AB= 16=8故答案为：8【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边
23、的一半，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟记定理与性质是解题的关键15将抛物线向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位后，所得抛物线的解析式为y=x21，则原抛物线的解析式为 y=（x2） 2+2 【考点】二次函数图象与几何变换【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到【解答】解：y=x 21 的顶点坐标为（0，1），将抛物线 y=x21 向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，可得到抛物线 y=（x2）2+2故答案是：y=（x 2） 2+2【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标16观察如图图形规律：当
24、 n= 11 时，图形中“”的个数是“” 的个数的一半【考点】规律型：图形的变化类【分析】首先根据 n=1、2、3、4 时，“”的个数分别是 3、6、9、12，判断出第 n 个图形中“”的个数是 3n；然后根据 n=1、2、3、4，“” 的个数分别是 1、3、6、10，判断出第 n个“ ”的个数是 ；最后根据图形“”的个数和“”的个数的一半，求出 n 的值是多少即可【解答】解：n=1 时，“” 的个数是 3=31；n=2 时，“” 的个数是 6=32；n=3 时，“” 的个数是 9=33；n=4 时，“” 的个数是 12=34；第 n 个图形中“”的个数是 3n；又n=1 时，“”的个数是 1
25、= ；n=2 时，“” 的个数是 3= ；n=3 时，“” 的个数是 6= ；n=4 时，“” 的个数是 10= ；第 n 个“” 的个数是 ；由 3n= ，解得 n=11 或 n=0（舍去），故答案为：11【点评】此题主要考查了规律型：图形的变化类问题，要熟练掌握，解答此类问题的关键是：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题三、解答题17解方程：x 24x+1=0【考点】解一元二次方程-配方法【分析】移项后配方得到 x24x+4=1+4，推出（x 2） 2=3，开方得出方程 x
26、2= ，求出方程的解即可【解答】解：移项得：x 24x=1，配方得：x 24x+4=1+4，即（x2 ） 2=3，开方得：x2= ，原方程的解是：x 1=2+ ， x2=2 【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程、解一元一次方程的应用，关键是配方得出（x2） 2=3，题目比较好，难度适中18某乡镇企业生产部有技术工人 15 人，生产部为了合理制定产品的每月生产定额，统计了 15 人某月的加工零件个数：加工件数 540 450 300 240 210 120人数 1 1 2 6 3 2（1）写出这 15 人该月加工零件数的平均数、中位数和众数（2）假如生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为
27、260（件），你认为这个定额是否合理，为什么？【考点】中位数；算术平均数；众数【分析】（1）平均数=加工零件总数总人数，中位数是将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数本题中应是第 7 个数众数又是指一组数据中出现次数最多的数据240 出现 6 次（2）应根据中位数和众数综合考虑【解答】解：（1）平均数： =260（件）；中位数：240（件）；众数：240（件）；（2）不合理，因为表中数据显示，每月能完成 260 件的人数一共是 4 人，还有 11 人不能达到此定额，尽管 260 是平均数，但不利于调动多数员工的积极性，因为
28、240 既是中位数，又是众数，是大多数人能达到的定额，故定额为 240 较为合理【点评】在做本题的平均数时，应注意先算出 15 个人加工的零件总数为了大多数人能达到的定额，制定标准零件总数时一般应采用中位数或众数19（2016吴兴区一模）如图，已知 E、F 分别是ABCD 的边 BC、AD 上的点，且BE=DF（1）求证：四边形 AECF 是平行四边形；（2）若四边形 AECF 是菱形，且 BC=10，BAC=90，求 BE 的长【考点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质【分析】（1）利用平行四边形的性质得出 AFEC ，进而得出 AF=EC，进而求出即可；（2）利用菱形的性质以及三角形内角和
29、定理得出1=2，进而求出3=4，再利用直角三角形的性质得出答案【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，且 AD=BC，AFEC，BE=DF，AF=EC，四边形 AECF 是平行四边形（2）解：四边形 AECF 是菱形，AE=EC，1=2，BAC=90，3=902，4=90 1，3=4，AE=BE，BE=AE=CE= BC=5【点评】此题主要考查了平行四边形的性质与判定和菱形的性质与直角三角形的性质，得出3=4 是解题关键20（2016 秋 福州校级月考）某地区 2013 年投入教育经费 2000 万元，2015 年投入教育经费 2420 万元（1）求 2013 年至 20
30、15 年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计 2016 年该地区将投入教育经费多少万元【考点】一元二次方程的应用【分析】（1）一般用增长后的量=增长前的量（1+增长率），2014 年要投入教育经费是2000（1+x）万元，在 2014 年的基础上再增长 x，就是 2015 年的教育经费数额，即可列出方程求解（2）利用（1）中求得的增长率来求 2016 年该地区将投入教育经费【解答】解：（1）设该地区投入教育经费的年平均增长率为 x，根据题意得：2000（1+x） 2=2420，解得：x=0.1=10%，或 x=2.1（不合题意舍去）答：该地区投入教育经费的
31、年平均增长率为 10%（2）根据题意得：2420（1+10%）=2662 （万元），答：2016 年该地区将投入教育经费 2662 万元【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识掌握增长前的量（1+年平均增长率）年数 =增长后的量是本题的关键21（2012聊城）如图，直线 AB 与 x 轴交于点 A（1，0），与 y 轴交于点 B（0，2）（1）求直线 AB 的解析式；（2）若直线 AB 上的点 C 在第一象限，且 SBOC =2，求点 C 的坐标【考点】待定系数法求一次函数解析式【分析】（1）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，将点 A（1，0）、点 B（0， 2）分别代入解析式即可组
32、成方程组，从而得到 AB 的解析式；（2）设点 C 的坐标为（x，y ），根据三角形面积公式以及 SBOC =2 求出 C 的横坐标，再代入直线即可求出 y 的值，从而得到其坐标【解答】解：（1）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b（k0），直线 AB 过点 A（1，0）、点 B（0，2）， ，解得 ，直线 AB 的解析式为 y=2x2（2）设点 C 的坐标为（x，y ），S BOC =2， 2x=2，解得 x=2，y=22 2=2，点 C 的坐标是（2，2）【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，解答此题不仅要熟悉函数图象上点的坐标特征，还要熟悉三角形的面积公式22（2016 春 东城区
33、期末）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动将边长为2 的正方形 ABCD 与边长为 3 的正方形 AEFG 按图 1 位置放置，AD 与 AE 在同一条直线上，AB 与 AG 在同一条直线上（1）小明发现 DG=BE 且 DGBE，请你给出证明（2）如图 2，小明将正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转，当点 B 恰好落在线段 DG 上时，请你帮他求出此时ADG 的面积【考点】四边形综合题【分析】（1）利用正方形得到条件，判断出ADGABE，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）利用正方形的性质在 RtAMD 中，MDA=45 ，AD=2 从而得出 AM=DM= ，在RtAMG 中，
34、AM2+GM2=AG2 从而得出 GM= 即可【解答】（1）如图 1，延长 EB 交 DG 于点 H，四边形 ABCD 与四边形 AEFG 是正方形，AD=AB， DAG=BAE=90，AG=AE在ADG 与ABE 中， ，ADGABE（SAS），AGD=AEB，ADG 中AGD+ADG=90，AEB+ADG=90，DEH 中， AEB+ADG+DHE=180，DHE=90，DGBE；（2）如图 2，过点 A 作 AMDG 交 DG 于点 M，AMD=AMG=90，BD 是正方形 ABCD 的对角，MDA=45在 Rt AMD 中，MDA=45，AD=2，AM=DM= ，在 Rt AMG 中，
35、AM 2+GM2=AG2GM= ，DG=DM+GM= + ，S ADG = DGAM= （ + ） =1+ 【点评】此题考查了旋转的性质和正方形的性质，用到的知识点是旋转的性质、全等三角形的判定，勾股定理和正方形的性质，关键是根据题意画出辅助线，构造直角三角形23（14 分）（2016 丹阳市校级一模）如图，将矩形 ABCD 置于平面直角坐标系中，其中 AD 边在 x 轴上，AB=2 ，直线 MN：y=x4 沿 x 轴的负方向以每秒 1 个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被矩形 ABCD 的边截得的线段长度为 m，平移时间为 t，m 与 t 的函数图象如图 2 所示（1）点 A 的坐标为
36、（1， 0） ，矩形 ABCD 的面积为 8 ；（2）求 a，b 的值；（3）在平移过程中，求直线 MN 扫过矩形 ABCD 的面积 S 与 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围【考点】一次函数综合题【分析】（1）根据直线解析式求出点 N 的坐标，然后根据函数图象可知直线平移 3 个单位后经过点 A，从而求的点 A 的坐标，由点 F 的横坐标可求得点 D 的坐标，从而可求得AD 的长，据此可求得 ABCD 的面积；（2）如图 1 所示；当直线 MN 经过点 B 时，直线 MN 交 DA 于点 E，首先求得点 E 的坐标，然后利用勾股定理可求得 BE 的长，从而得到 a 的值；如图 2
37、 所示，当直线 MN 经过点 C 时，直线 MN 交 x 轴于点 F，求得直线 MN 与 x 轴交点 F 的坐标从而可求得 b 的值；（3）当 0t3 时，直线 MN 与矩形没有交点；当 3t5 时，如图 3 所示 S=EFA 的面积；当 5t7 时，如图 4 所示：S=S BEFG+SABG；当 7t9 时，如图 5 所示S=S ABCDSCEF【解答】解：（1）令直线 y=x4 的 y=0 得：x4=0，解得：x=4，点 M 的坐标为（4，0）由函数图象可知：当 t=3 时，直线 MN 经过点 A，点 A 的坐标为（1，0）沿 x 轴的负方向平移 3 个单位后与矩形 ABCD 相交于点 A
38、，y=x4 沿 x 轴的负方向平移 3 个单位后直线的解析式是：y=x +34=x1，点 A 的坐标为 （1，0）；由函数图象可知：当 t=7 时，直线 MN 经过点 D，点 D 的坐标为（3，0）AD=4 矩形 ABCD 的面积=AB AD=42=8（2）如图 1 所示；当直线 MN 经过点 B 时，直线 MN 交 DA 于点 E点 A 的坐标为（1，0），点 B 的坐标为（1，2）设直线 MN 的解析式为 y=x+c，将点 B 的坐标代入得；1+c=2 c=1直线 MN 的解析式为 y=x+1将 y=0 代入得：x+1=0 ，解得 x=1，点 E 的坐标为（1，0）BE= = =2 a=2
39、如图 2 所示，当直线 MN 经过点 C 时，直线 MN 交 x 轴于点 F点 D 的坐标为（3，0），点 C 的坐标为（ 3，2）设 MN 的解析式为 y=x+d，将（ 3，2）代入得：3+d=2，解得 d=5直线 MN 的解析式为 y=x+5将 y=0 代入得 x+5=0，解得 x=5点 F 的坐标为（ 5，0）b=4（ 5）=9（3）当 0t3 时，直线 MN 与矩形没有交点s=0当 3t5 时，如图 3 所示；S= = = ；当 5t7 时，如图 4 所示：过点 B 作 BGMN由（2）可知点 G 的坐标为（ 1，0）FG=t 5S=S BEFG+SABG=2（t5）+ =2t8当 7
40、t9 时，如图 5 所示FD=t7，CF=2 DF=2（t7）=9 tS=SABCDSCEF=8 = 综上所述，S 与 t 的函数关系式为 S= 【点评】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题需要同学们熟练掌握矩形的性质、待定系数法求一次函数的解析式、勾股定理、三角形、平行四边形、矩形的面积公式，根据题意分类画出图形是解题的关键24（14 分）（2011 海南）如图，已知抛物线 y=x2+bx+9b2（b 为常数）经过坐标原点O，且与 x 轴交于另一点 E其顶点 M 在第一象限（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）设点 A 是该抛物线上位于 x 轴上方，且在其对称轴左侧的一个动点；过
41、点 A 作 x 轴的平行线交该抛物线于另一点 D，再作 ABx 轴于点 B，DCx 轴于点 C当线段 AB、BC 的长都是整数个单位长度时，求矩形 ABCD 的周长；求矩形 ABCD 的周长的最大值，并写出此时点 A 的坐标；当矩形 ABCD 的周长取得最大值时，它的面积是否也同时取得最大值？请判断并说明理由【考点】二次函数综合题【分析】（1）已知抛物线过原点，代入求得 b 值而求出二次函数解析式；（2）设 A 点横坐标为 m，则 m0，AB=3m m2，BC=32m，矩形 ABCD 的周长=2m2+2m+6根据线段 AB、BC 的长都是整数个单位长度及 m0，确定 m 的值，从而求出矩形AB
42、CD 的周长；将 2m2+2m+6 配方，根据二次函数的性质，得出矩形 ABCD 的周长的最大值，并求出此时点 A 的坐标；将矩形 ABCD 的周长取得最大值时的 m 的值代入它的面积表达式 ABBC=（3mm 2）（32m）中，计算出其值为 2.5，然后在 m 0 的范围内找到一个 m= 时，矩形 ABCD的面积=2.53125 ，从而得到当矩形 ABCD 的周长取得最大值时，它的面积不能同时取得最大值【解答】解：（1）由题意，代入原点到二次函数解析式则 9b2=0，解得 b=3，由题意抛物线的对称轴大于 0，所以 b=3，所以解析式为 y=x2+3x；（2）设 A 点横坐标为 m，则 m0
43、，AB=3mm2，BC=2（ m）=32m ，矩形 ABCD 的周长=2 （AB +BC）=2（m 2+m+3）=2m 2+2m+6当线段 AB、BC 的长都是整数个单位长度时，则3mm20 且为整数， 32m0 且为整数，m=1矩形 ABCD 的周长= 2m2+2m+6=6；矩形 ABCD 的周长= 2m2+2m+6=2（m 2m）+6=2（ m2m+ ）+6=2（m ）2+ ，当 m= 时，有最大值= ，将 m= 代入 y=x2+3x 得 y= ，即 A 点的纵坐标，此时点 A 的坐标为（ ， ）；当矩形 ABCD 的周长取得最大值时，m= ，此时矩形 ABCD 的面积=ABBC= （3mm 2）（32m ）= ，不是最大值当 m= 时，矩形 ABCD 的面积=（3m m2）（32m ）=1.68751.5=2.53125 当矩形 ABCD 的周长取得最大值时，它的面积不能同时取得最大值【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果
