1、第 1 页 共 10 页三角函数的性质及其应用【考纲要求】1、了解函数 的物理意义；能画出 的图象，了解参数 ， ，sin()yAxsin()yAxA对函数图象变化的影响.2、了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.【知识网络】 sin()yAx图象的作法三角函数的性质及其应用 si()yx图象的性质【考点梳理】考点一、函数 ( , )的图象的作法sin()yAx01.五点作图法：作 的简图时，常常用五点法，五点的取法是设 ，由 取 0、 、 、si()yx txt2、 来求相应的 x 值及对应的 y 值，再描点作图。322图象变换法：（1）振幅变换:把
2、 的图象上各点的纵坐标伸长(A1)或缩短(00)或向右( 1)或伸长(01)横缩(1)”s()yx。要点诠释：第 2 页 共 10 页由 的图象利用图象变换作函数 的图象时要特别注意：当周期变换和相位sinyxsin()yAx变换的先后顺序不同时，原图象沿 x 轴的伸缩量有区别.考点二、 的解析式si()yAx1. 的解析式n( , )， 表示一个振动量时， 叫做振幅， 叫做周期，si()yx00,)xA2T叫做频率， 叫做相位， 时的相位 称为初相.12fTx2. 根据图象求 的解析式sin()yA求法为待定系数法，突破口是找准五点法中的第一零点 .(,0)求解步骤是先由图象求出 与 ，再由
3、 算出 ，然后将第一零点代入 求出 .T20x要点诠释：若图象未标明第一零点，就只能找特殊点用待定系数法计算.考点三、函数 ( , )的性质sin()yAx01. 定义域: ,值域:y-A,A.R2周期性: 2T3. 奇偶性: 时为偶函数； 时为奇函数， . kkkZ4单调性:单调增区间: , 2,2单调减区间: , 3,2kkkZ5. 对称性:对称中心( ,0)， ；对称轴 x= ，k2kZ6最值: 当 即 时，y 取最大值 A2xk2x当 即 时，y 取最小值-A( ).kkZ要点诠释：求周期、单调区间、最值时一般先将函数式化为 ，要特别注意 、 的正负，sin()AxA再把 看作一个整体
4、，并结合基本三角函数的图象和性质解出即可；利用单调性比较三角函数大小x第 3 页 共 10 页一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；整体代换和数形结合是三角函数学习中重要的思想方法，在学习中，很多三角函数的问题都是通过整体代换并观察基本三角函数的图象而得到的。【典型例题】类型一、求函数 ( , )的单调区间sin()yAx0例 1.求函数 的单调递减区间.【解析】令 即 由此得2k 2x 2k， ，kZ解得 k xk+ ， ，由复合函数的单调性知，求数 的单调递减区间，即是求=sin（2x ）单调递减区间， 令 2k 2x 2k+ ，解得 k xk+ ， ，kZ取交集可得函数 的单调递减区间
5、为 (,)(612kkZ【总结升华】熟练掌握函数 的单调区间的确定及复合函数的单调区sin()yAx(0,)间的确定的方法.三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，然后通过同解变形或利用数形结合的方法来求解.举一反三：【变式 1】求下列函数的单调递增区间.（1） ， （2） ， （3） .sin()432yx|sin()|4yx)tan(3yx【解析】（1） ，递增区间为 ( )；1i()i()921,38kkZ（ 2） 画 出 的图象：|sin()|4yx可知增区间为 ( )；3,4xkkZ（3）函数在区间 ( )上是增函数.518第 4 页 共 10 页【变式 2】
6、函数 的单调递减区间是（ ）sin()cos()326xyA、 B、2,kkZ22,()3kkZC、 D、()3【答案】C【解析】函数 ， 故本题即求 的1sincoscos()2623xy x2cos()3x增区间由 ， 可得 C 正确.23kkZ类型二、三角函数 的图象变换及其性质sin()yAx例 2已知函数 2()cosinf x()求 的最小正周期；x()若函数 的图象是由 的图象向右平移 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度()yg()yfx8得到的，当 ， 时，求 的最大值和最小值x04g【解析】() ，22()sincos)infxxsi(4)x所以函数 的最小正周期为 x(
7、)依题意， ()yg2si4()8x12sin()14x因为 ，所以 04x3当 ，即 时， 取最大值 ；2316()gx当 ，即 时， 取最小值 x0x0【总结升华】本题的关键之处是正确写出函数图象平移后的解析式.举一反三：【变式 1】由 的图象得到 的图象需要向 平移 个单位.sin()3yxcosyx【答案】左， ；6【解析】 ，cosi()2yx由 的图象得到 的图象需要向左平移 个单位.n3cosin()2yx6第 5 页 共 10 页【变式 2】函数 的图象可由 的图像经过怎样的变换得到( )sin(2)3yxcos2yxA向左平移 个单位 B向右平移 个单位66C向左平移 个单位
8、 D向右平移 个单位1212【答案】D【变式 3】若函数 的图象上的每个点的纵坐标不变，将横坐标缩小为原来的 ，再将图象sinyx 13沿 轴向右平移 个单位，则新图象对应的函数式是( )x3A Bsinyx1sin3yxC Di3i9【答案】A例 3. 已知函数 ()sin()(0,)2fxAxA， (xR)的部分图像如图所示()求 f的解析式；()设 ()3()4gxffx，且 tan，求 ()g的值【解析】()由图可得 A1， ， 123T2,T又图像过( )， ，且 可得 ,2， )6sin(3 si(xf() ， 2tan2si)2si(3) 且xxg .34t1coin4coi42
9、sin( 222【总结升华】给出 型的图象，求它的解析式，要从图象的升降找准位置.si()yAx举一反三：【变式 1】下图是函数 （ ， ）的图象则 、 的值是（ ）2sin()yx02|第 6 页 共 10 页A ， B ，106106C ， D ，22【答案】C【解析】由图象可得：sin1201 ，由 得 ，2|sin6由 ，得 12sin061 12kZ （ ）kZ由 ，得 满足 时， 或 212412401k2由此得到 ， 注意到 ，即 ，102TBC1因此 ，这样就排除了 1 ，26注意：因为函数 是周期函数，所以仅靠图像上的三个点，不能完全确定 A、 、sin()yAx 的值本题虽
10、然给出了 ， 的条件，但是仅靠(0，1 )、 两点，不能完全确定 、02|102，的值在确定 的过程中，比较隐蔽的条件 （ ）起了重要作用2TT【变式 2】已知函数 的图象与直线 yb(0bA)的三个相邻交点的)0,)(sin)( Axxf横坐标分别是 2，4，8，则 的单调递增区间是( ) fA B6,3,kkZZk,63C D无法确定【答案】C【变式 3】已知函数 sin0,fx为偶函数，且其图像上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为 24()求函数 f(x)的解析式；第 7 页 共 10 页()若 2sin()14sin,3taf 求的值【解析】(1) 为偶函数， 恒成立)(x 0cos
11、in2),si()i( xxx cos0,2又其图像上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为 ，24设其最小正周期为 xfTT cos)(,1,242, 则(2)原式 ,sin2cosin1sitan1cossi 又 ,32csin 95,95csin94o21 原 式类型三：综合例 4.已知函数 .43osi23s1xxy（1）当 取何值时， 取得最大值并求最大值；x（2）求函数 的单调递增区间；()f（3）求函数 的图象的对称中心，对称轴；要使函数成为偶函数，向左平移最少单位是多少；y（4）求函数 在 上的图象与 的围成的封闭图形的面积；()fx67， 23y【解析】（1） 4cosin23
12、cosxy331(sincos)221).6x当 ，即 时， .kx3kx()Z23maxy（2）由 得 ,即 ，22 k6xk单调增区间是 .,36k()k（3）函数 的图象的对称中心，是图象与平衡位置所在直线 的交点；()yfx 1y第 8 页 共 10 页函数 的图象的对称轴，是经过图象上表示最大、最小值的点且与 轴垂直的直线.()yfx x如图:令 ,则 , 即 ，1y0)62sin(xkx62)(12Zkx对称中心坐标为 ，1,k()Z当 取得最大，最小值时 ， ，即 ，ysix6kx26kx()Z对称轴方程为 .26kx()Z当 时， 是 轴右侧且离 轴最近的对称轴，0kyy所以将
13、原函数图象向左平移最少为 时，图象满足关于 轴对称，成为偶函数.y（4）方法一：定积分法所求面积为: 776631sin(2)126Sdxxd76 6|co|42方法二：如上图， 是矩形 的一个对称中心，MABFE所以 点与 点间的图象将矩形 的面积平分，同理， 、 间的图象将矩形 的面积平分，DCD故函数在 上图象与 围成封闭图形面积是矩形 面积的 ，67， 23yABCD21所求面积为 .)1(2所以将原函数图象向左平移最少为 时，图象满足关于 轴对称，成为偶函数.6y【总结升华】图象的变换是三角函数的重点内容之一.函数的各种变换都是对自变量 x 或函数值 y 进行的变换.举一反三：【变式
14、 1】设函数 ，且 的图象在 y 轴右侧的)0(23cosincos3)(2 xxxf )(xf第一个最高点的横坐标为 6(1)求 的值;第 9 页 共 10 页(2)若 ，求 的最小值65,3x)(xf【解析】(1) 23sin12co)( xf 32sinx ，6 21(2) 23)sin()xfmin57 ,0,661 si()1,23).xf（ I=+，【变式 2】函数 在一个周期内的图象如图所示, 为图象的最高2(6cossin3(0)xxxA点, 、 为图象与 轴的交点,且 为正三角形.BCABC()求 的值及函数 的值域;()f()若 ,且 ,求 的值.083()5fx012)3x0(1)fx【解析】由已知可得 ()coscsf()由已知可得: 263in(0)xfxx=3cosx+ )si(sin3又由于正三角形 ABC 的高为 2 ,则 BC=4 所以,函数 4824)( ， 得， 即的 周 期 Txf所以,函数 3,的 值 域 为()因为 ()有 ， 由538)(0xf第 10 页 共 10 页，538)4(sin32)(00xxf 54)3(sin0x即由 x0 )2,()3(10） ， 得，（所以, 5)4(1)4(cos20即故 )1(0xf )3(in320x 4)3(sin0x)2534(2 4i)cos(4si 067
