新定义函数-重庆中考新题型.doc

1、函数图形变换方法总结：1掌握函数平移的规律，包括一次函数、反比例函数和二次函数；2确定函数的特征点为基准移动函数，并确定移动后的解析式；3根据题目要求结合函数性质解决问题。例 1我们规定：形如 的函数叫做“奇特函数”.当( )axkybkab、 、 为 常 数 ， 且时，“奇特函数” 就是反比例函数 .0ab (0yx（1） 若矩形的两边长分别是 2 和 3，当这两边长分别增加 x 和 y 后，得到的新矩形的面积为 8 ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并判断这个函数是否为“奇特函数”；（2） 如图，在平面直角坐标系中，点 O 为原点，矩形 OABC 的顶点 A，C 的坐标分别为（9，0）、

2、（0，3）点 D 是 OA 的中点，连结 OB，CD 交于点 E，“奇特函数”的图象经过 B，E 两点.6axky求这个“奇特函数” 的解析式；把反比例函数 的图象向右平移 6 个单位，再向上平移 个单位就可得到中所得3yx“奇特函数”的图象.过线段 BE 中点 M 的一条直线 l 与这个“ 奇特函数”的图象交于 P，Q 两点，若以 B、E、P 、Q 为顶点组成的四边形面积为 ，请直接写出点 P 的坐标1603例 2定义a，b，c为函数 y=ax2+bx+c 的“特征数”如：函数 y=x2-2x+3 的“特征数”是1，-2， 3，函数 y=2x+3 的“特征数”是0，2，3 ，函数 y=-x

3、的“特征数”是0，-1 ，0（1）将“特征数” 是 的函数图象向下平移 2 个单位，得到一个新函数，这个新函30,1数的解析式是 ；yx（2）在（1）中，平移前后的两个函数分别与 y 轴交于 A、B 两点，与直线 分别交3x于 D、C 两点，判断以 A、B、C、D 四点为顶点的四边形形状，请说明理由并计算其周长；（3）若（2）中的四边形与“特征数”是 的函数图象的有交点，求满足条件的21,b实数 b 的取值范围变式 如果二次函数的二次项系数为 l，则此二次函数可表示为 y=x2+px+q，我们称p，q为此函数的特征数，如函数 y=x2+2x+3 的特征数是2，3 (1)若一个函数的特征数为-2

4、，1 ，求此函数图象的顶点坐标(2)探究下列问题：若一个函数的特征数为4， -1，将此函数的图象先向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位，求得到的图象对应的函数的特征数若一个函数的特征数为2， 3，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为3，4？例 3如图 1，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的顶点为 M，直线 y=m 与 x 轴平行，且与抛物线交于点 A，B，若AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上 A，B 两点之间的部分与线段 AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段 AB 称为碟宽，顶点 M 称为碟顶，点M 到线段 AB 的距离称为碟高（1）抛

5、物线 对应的碟宽为 ；抛物线 y=4x2 对应的碟宽为 ；抛物线21yxy=ax2（a0）对应的碟宽为 ；抛物线 y=a(x-2)2+3（a0）对应的碟宽为 ；（2）抛物线 （a0）对应的碟宽为 6，且在 x 轴上，求 a 的值；2543（3）将抛物线 y=anx2+bnx+cn（a n0）的对应准蝶形记为 Fn（n=1，2，3） ，定义F1，F 2，F n为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比若 Fn与 Fn1 的相似比为 ，12且 Fn的碟顶是 Fn1 的碟宽的中点，现将（2）中求得的抛物线记为 y1，其对应的准蝶形记为 F1求抛物线 y2 的表达式；若 F1 的碟高为 h1，F 2 的碟

6、高为 h2，F n的碟高为 hn，则 hn= ，F n的碟宽有端点横坐标为 2；若 F1，F 2，F n的碟宽右端点在一条直线上，请直接写出该直线的表达式；若不是，请说明理由。例 4如图，直线 l：y =mx+n（m 0，n0）与 x，y 轴分别相交于 A，B 两点，将AOB 绕点 O 逆时针旋转 90得到COD ，过点 A，B，D 的抛物线 P 叫做 l 的关联抛物线，而 l 叫做 P 的关联直线（1）若 l：y=-2x+2 ，则 P 表示的函数解析式为 ；若 P：y=-x 2-3x+4，则l 表示的函数解析式为 （2）求 P 的对称轴（用含 m，n 的代数式表示）；（3）如图，若 l：y

7、=-2x+4，P 的对称轴与 CD 相交于点 E，点 F 在 l 上，点 Q 在 P 的对称轴上当以点 C，E，Q，F 为顶点的四边形是以 CE 为一边的平行四边形时，求点 Q 的坐标；（4）如图，若 l：y =mx-4m，G 为 AB 中点，H 为 CD 中点，连接 GH，M 为 GH 中点，连接 OM若 OM= ，直接写出 l，P 表示的函数解析式10参考答案：例 1【解析】（1） ，是 “奇特函数 ”；（2） ； 或 或 或32xy 296xy(7,5)3,715,.(5,)试题分析：（1）根据题意列式并化为 ，根据定义作出判断.3x（2）求出点 B，D 的坐标，应用待定系数法求出直线

8、OB 解析式和直线 CD 解析式，二者联立即可得点 E 的坐标，将 B（9，3），E（3，1）代入函数 即可求得这个6axky“奇特函数”的解析式.根据题意可知，以 B、E、P、Q 为顶点组成的四边形是平行四边形 BPEQ 或 BQEP，据此求出点 P 的坐标.试题解析：（1）根据题意，得 ， ， . .根据定义， 是 “奇特函数”.（2）由题意得， .易得直线 OB 解析式为 ，直线 CD 解析式为 ，由 解得 .点 E（3，1）.将 B（9，3），E（3，1）代入函数 ，得 ，整理得 ，解得 .这个“奇特函数”的解析式为 . 可化为 ，根据平移的性质，把反比例函数 的图象向右平移 6 个单

9、位，再向上平移 2 个单位就可得到 . 关于点（6，2）对称.B（9，3），E（3，1），BE 中点 M（6，2），即点 M 是 的对称中心.以 B、E 、P、 Q 为顶点组成的四边形是平行四边形 BPEQ 或 BQEP.由勾股定理得， .设点 P 到 EB 的距离为 m，以 B、E 、P、 Q 为顶点组成的四边形面积为 ， .点 P 在平行于 EB 的直线 上.点 P 在 上， 或 .解得 .点 P 的坐标为 或 或 或 .考点：1.新定义和阅读理解型问题；2.平移问题；3.反比例函数的性质；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.勾股定理；6.中心对称的性质；7.平行四边形的判定和性质；8.分

10、类思想的应用.例 2【解析】（1）根据函数“特征数” 写出函数的解析式，再根据平移后一次函数的变化情况写出函数图象向下平移 2 个单位的新函数的解析式（2）判断以 A、B、C、D 四点为顶点的四边形形状，可根据一次函数图象向下平移 2 个单位与原函数图象的关系，得出 AB=2，并确定为平行四边形，由直线相交计算交点坐标后，求出线段 BC=2，再根据菱形的判定（邻边相等的平行四边形是菱形）得出，其周长=24=8；（3）根据函数“特征数” 写出二次函数的解析式，化为顶点式为 y=（x- b） 2+ ，确定二次函数的图象不会经过点 B 和点 C，再将菱形顶点 A（0，1） ，D（ ）代入二次函数解析

11、式得出实数 b 的取值范围【解析】（1）y= （1 分） “特征数 ”是 的函数，即 y= +1，该函数图象向下平移 2 个单位，得 y= （2）由题意可知 y= 向下平移两个单位得 y=ADBC，AB =2 ，ABCD四边形 ABCD 为平行四边形，得 C 点坐标为（ ，0） ，D（ ）由勾股定理可得 BC=2四边形 ABCD 为平行四边形，AB=2，BC=2四边形 ABCD 为菱形周长为 8（3）二次函数为：y=x 2-2bx+b2+ ，化为顶点式为：y=（x -b）2+ ，二次函数的图象不会经过点 B 和点 C设二次函数的图象与四边形有公共部分，当二次函数的图象经过点 A 时，将 A（0

12、，1） ，代入二次函数，解得 b=- ，b= （不合题意，舍去） ，当二次函数的图象经过点 D 时，将 D（ ） ，代入二次函数，解得 b= + ，b= （不合题意，舍去） ，所以实数 b 的取值范围： 例 3【解析】试题分析：（1）根据定义可算出 y=ax2（a0）的碟宽为 、碟高为 ，由于抛物线可通过平移 y=ax2（a0）得到，得到碟宽为 、碟高为 ，由此可得碟宽、碟高只与 a 有关，与别的无关，从而可得（2）由（1）的结论，根据碟宽易得 a 的值（3）根据 y1，容易得到 y2结合画图，易知 h1，h 2，h 3，h n1 ，h n都在直线 x=2 上，可以考虑 hnh n1 ，且都过

13、Fn1 的碟宽中点，进而可得画图时易知碟宽有规律递减，由此可得右端点的特点对于“F1， F2，F n的碟宽右端点是否在一条直线上？ ”，我们可以推测任意相邻的三点是否在一条直线上，如果相邻的三个点不共线则结论不成立，反之则成立，所以可以考虑基础的几个图形关系，利用特殊点求直线方程即可试题解析：（1）4；1； ； a0，y=ax 2 的图象大致如下：其必过原点 O，记 AB 为其碟宽， AB 与 y 轴的交点为 C，连接 OA，OBDAB 为等腰直角三角形，ABx 轴，OCAB ，OCA=OCB= AOB= 90=45，ACO 与BCO 亦为等腰直角三角形，AC=OC =BC，x A=-yA，x

14、 B=yB，代入 y=ax2，A（ ， ），B（ ， ），C （0， ），AB= ，OC= ，即 y=ax2 的碟宽为 抛物线 y= x2 对应的 a= ，得碟宽 为 4；抛物线 y=4x2 对应的 a=4，得碟宽为 为 ；抛物线 y=ax2（a0），碟宽为 ；抛物线 y=a(x2) 2+3（a 0）可看成 y=ax2 向右平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度后得到的图形，平移不改变形状、大小、方向，抛物线 y=a(x2) 2+3（a 0）的准碟形与抛物线 y=ax2 的准碟形全等，抛物线 y=ax2（a0），碟宽为 ，抛物线 y=a(x2) 2+3（a 0），碟宽为 （2）y=a

15、x 2 4ax ，由（1），其碟宽为 ，y=ax 24ax 的碟宽为 6， =6，解得 A= ，y= x2 x = (x2) 23（3）F 1 的碟宽：F 2 的碟宽=2：1， = ，a 1= ，a 2= y= (x2) 23 的碟宽 AB 在 x 轴上（A 在 B 左边），A（1，0），B（5，0），F 2 的碟顶坐标为（2，0），y 2= (x2) 2F n的准碟形为等腰直角三角形，F n的碟宽为 2hn，2h n：2h n1 =1：2，h n= hn1 =( )2hn2 =( )3hn3 =( )n+1h1，h 1=3，h n= h nh n1 ，且都过 Fn1 的碟宽中点，h 1，h

16、2，h 3，h n1 ，h n都在一条直线上，h 1 在直线 x=2 上，h 1，h 2，h 3，h n1 ，h n都在直线 x=2 上，F n的碟宽右端点横坐标为 2+ 另，F 1，F 2，F n的碟宽右端点在一条直线上，直线为 y=x+5分析如下：考虑 Fn2 ，F n1 ，F n情形，关系如图 2，Fn2 ，F n1 ，F n的碟宽分别为 AB，DE，GH；C ，F，I 分别为其碟宽的中点，都在直线x=2 上，连接右端点，BE，EHABx 轴，DEx 轴，GHx 轴，ABDE GH，GH 平行且等于 FE，DE 平行且等于 CB，四边形 GFEH，四边形 DCBE 都为平行四边形，HEG

17、F ，EBDC，GFI= GFH= DCE=DCF，GFDC，HEEB ，HE，EB 都过 E 点，HE，EB 在一条直线上，F n2 ，F n1 ，F n的碟宽的右端点是在一条直线，F 1，F 2，F n的碟宽的右端点是在一条直线F 1：y 1= (x2) 23 准碟形右端点坐标为（5，0），F2：y 2= (x2) 2 准碟形右端点坐标为（2+ ， ），待定系数可得过两点的直线为 y=x+5，F 1，F 2，F n的碟宽的右端点是在直线 y=x +5 上考点：1、等腰直角三角形；2、二次函数的性质；3 多点共线例 4 解析：参考题目：1如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A、B 为 x 轴

18、上两点， C、D 为 y 轴上的两点，经过点 A、C、B 的抛物线的一部分 C1 与经过点 A、D、B 的抛物线的一部分 C2 组成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线” ，已知点 C 的坐标为（0， ），点 M 是抛物线 C2：y=mx 2-2mx-3m(m0)的顶点.3（1）求 A、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限内是否存在一点 P，使得PBC 的面积最大？若存在，求出PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当BDM 为直角三角形时，请直接写出 m 的值.(参考公式：在平面直角坐标系中，若 M(x1,y1)，N(x 2,y2)，则 M、N 两点间的距离为 MN=.（

19、1）A（-1 ， 0），B（3，0）；（2）存在， ；（3）-1 或- .【解析】试题分析：（1）将 y=mx2-2mx-3m 化为交点式，即可得到 A、B 两点的坐标；（2）先用待定系数法得到抛物线 C1 的解析式，过点 P 作 PQy 轴，交 BC 于Q，用待定系数法得到直线 BC 的解析式，再根据三角形的面积公式和配方法得到PBC 面积的最大值；（3）先表示出 DM2，BD 2，MB 2，再分两种情况：DM 2+BD2=MB2 时；DM 2+MB2=BD2 时，讨论即可求得 m 的值试题解析：（1）y =mx2-2mx-3m=m（x-3）（x +1），m0，当 y=0 时，x 1=-1，

20、x 2=3，A（-1，0）， B（3，0）；（2）设 C1：y=ax 2+bx+c，将 A、B、C 三点的坐标代入得：，解得 ，故 C1： y= x2-x- 依题意，设点 P 的坐标为（n， n2-n- ）(0 n3)则 SPBC=SPOC+SBOP-SBOC = n+ 3(- n2+n+ )- 3=- (n- )2+- 0,当 n= 时 SPBC的最大值是（3）y=mx 2-2mx-3m=m（x-1） 2-4m，顶点 M 坐标（1，-4m），当 x=0 时，y=-3m，D（0，-3 m），B （3， 0），DM 2=（0-1） 2+（-3m+4 m） 2=m2+1，MB2=（3-1 ） 2+

21、（0+4m） 2=16m2+4，BD2=（3-0 ） 2+（0+3m） 2=9m2+9，当BDM 为 Rt时有：DM 2+BD2=MB2 或 DM2+MB2=BD2DM 2+BD2=MB2 时有：m 2+1+9m2+9=16m2+4，解得 m=-1（m0，m=1 舍去）；DM 2+MB2=BD2 时有：m 2+1+16m2+4=9m2+9，解得 m=- （m= 舍去）综上，m=-1 或- 时，BDM 为直角三角形2对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P（a，b） ，若点 的坐标为（ ，） （其中 k 为常数，且 ） ，则称点 为点 P 的“ k 属派生点”例如：P（1，4）的“2 属派生点” 为 （1+ ， ） ，即 （3，6） （1）点 P 的“2 属派生点” 的坐标为_； 若点 P 的“ k 属派生点” 的坐标为（3，3） ，请写出一个符合条件的点 P 的坐标_；（2）若点 P 在 x 轴的正半轴上，点 P 的“k 属派生点”为 点，且 为等腰直角三角形，则 k 的值为 _；（3）如图, 点 Q 的坐标为（0， ） ，点 A 在函数 的图象上，且点 A 是点 B 的“ 属派生点”，当线段 B Q 最短时，求 B 点坐标（1） ；（1，2） （答案不唯一） ；（2） ；（3） .