1、第 1 页 共 8 页一对一授课教案学员姓名: 年级: 所授科目: 上课时间: 年 月 日 时 分至 时 分共 小时老师签名 学生签名教学主题 求函数解析式及函数性质上次作业检查本次上课表现本次作业一、求函数解析式3.1 待定系数法:在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法。例 1 设 是一次函数,且 ,求)(xf 34)(xf)(xf解:设 ,则baxf)()0( baxbabff 2)()(342b3212ba 或 3)(1)(fxf 3.2 配凑法:已知复合函数 的表达式,求 的解析式, 的表达式容易()fgxffgx配成 的运算形式时,常用配凑法。但要注意所求函数 的定义域不是原复合函
2、数()gx ()f的定义域,而是 的值域。 ()例 2 已知 ,求 的解析式21xxf)0()fx解: , )()1(2xf22)(f)(x3.3 换元法:已知复合函数 的表达式时,还可以用换元法求 的解析式。与(fgxf配凑法一样,要注意所换元的定义域的变化。例 3 已知 ,求xf2)1()(f第 2 页 共 8 页解:令 ,则 , 1xtt2)1(txf2)(,1)(2ttf)2x xx)(2)0(3.4 代入法:求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法。例 4 已知:函数 的图象关于点 对称,求 的解析式)(2gyxy与 )3,()(g解:设 为 上任一点,且 为 关于点
3、 的对称点),(xM)(),(yxM),(x)3,2(则 ,解得: , 点 在 上 32yyx64),()(xgy把 代入得:x整理得 )4()(62y 672xy67)(2xxg3.5 构造方程组法:若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过解方程组求得函数解析式。例 5 设 求,)1(2)(xfxff 满 足 )(f解 xfxf)1(2显然 将 换成 ,得: ,0xff1)(21解 联立的方程组,得: x3)(例设 为偶函数, 为奇函数,又 试求 的解析式)(xfg,1)(xgf )(xgf和解 为偶函数, 为奇函数,)(f)(x又 ,,gfx1)(xgxf第
4、 3 页 共 8 页用 替换 得: 即 x1)(xgxf 1)(xgf解 联立的方程组,得 , 2f 23.6 赋值法:当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值,使问题具体化、简单化,从而求得解析式。例 7 已知: ,对于任意实数 x、y,等式 恒成1)0(f )12()(yxfyxf立,求 x解 对于任意实数 x、y,等式 恒成立,)12()(yxfyxf不妨令 ,则有 0 1(0) 2y再令 得函数解析式为:xy)(2xf3.7 递推法:若题中所给条件含有某种递进关系,则可以递推得出系列关系式,然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。例 8
5、 设 是定义在 上的函数,满足 ,对任意的自然数 都有)(xfN1)(f ba,,求abbaf)( )(xf解 ,Nff ,)()(,不妨令 ,得: ,1,bxa xfxf)1()(又 1)()1(ff故分别令式中的 得:,2xn(2)3,()1),ffnn 将上述各式相加得: , nf32)1(32)(f Nxxf,21)(第 4 页 共 8 页四、函数的单调性一、主要方法:讨论函数单调性必须在其定义域内进行,因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域,1.函数的单调区间是定义域的子集; 任取 x1,x 2D,且 x1x2; 作差 f(x1)f (x2); 1 2变形(通常是因式分解和配方)
6、; 定号(即判断差 f(x1)f( x2)的正负) ; 3 4下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) 。 5判断函数的单调性的方法有:2.定义; 已知函数的单调性; 函数的导数; 如果 在区间 上是增1234()fxD(减)函数,那么 在 的任一非空子区间上也是增(减)函数; 图像法;()fx 5复合函数的单调性结论: “同增异减” ; 奇函数在对称的单调区间内单调性相同,6 7偶函数在对称的单调区间内单调性相反; 互为反函数的两个函数具有相同的单调性;8在公共定义域内,增函数 增函数 是增函数;减函数 减函数(9) )(xf)(xg)(xf是减函数;增函数 减函数 是增函
7、数;减函数 增函数 是减xg)(g函数; 函数 在 上单调递增;在10)0,(baxy,ba或上是单调递减。,ba或 ,证明函数单调性的方法:利用单调性定义3.3.1、典型例题 例 1、求下列函数的单调区间:(1) 28yx例 2、若函数 在 上单调递增, ,求 的取值范围 ()yfxR2()()fmf第 5 页 共 8 页例 3、函数 在 上是减函数,求 的取值范围。212axxf 3,a例 4、函数 在 上是减函数,求 的取值范围。432f ,1例 5、函数 在 上是减函数,在 上是增函数,求baxf2, a例 6、函数 在-1,2上是增函数,求 m 的取值范围。132mf例 7、已知函数
8、 在区间 上是增函数,试求 的取值范围)(xaf ),2(a五、函数的奇偶性5.1、主要知识及方法(一)主要知识:1函数的奇偶性的定义;2奇偶函数的性质:(1)定义域关于原点对称;(2)偶函数的图像关于 轴对称,奇函数的图像关于原点对称;y3 为偶函数 4若奇函数 的定义域包含 ,则 ()fx()|)fx()fx0()0f(二)主要方法:1、判断函数的奇偶性,首先要研究函数的定义域,其次要考虑 与 的关系。 fxf2、牢记奇偶函数的图像特征,有助于判断函数的奇偶性;3、判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式: , ()0fx()1fx4设 , 的定义域分别是 ,那么在它们的公共定义域上:()
9、fxg12,D奇+奇=奇,奇 奇= 偶,偶+偶=偶,偶 偶=偶,奇 偶=奇5.2、例题讲解例 1、已知函数 ,若 为奇函数,则 _。1,2xfafxa第 6 页 共 8 页例 4、判断下列各函数的奇偶性:(1) ;(2) ;(3)1()xfx2lg(1)|xf2(0)()fx例 5、设 为实数,函数 , a2()|1fxaR(1)讨论 的奇偶性; (2)求 的最小值()fx例 6、 (1)已知 是 上的奇函数,且当 时, ,()fxR(0,)3()1)fx则 的解析式为 (2)已知 是偶函数, ,当 时, 为增函数,若 ,()fxx()fx120,x且 ,则( )12|. . . . A()f
10、xfB12()fxfC12()fxfD12()fxf例 7、 已知 是定义在实数集 上的函数,满足 ,且 时,R0,,2()fx(1)求 时, 的表达式;(2)证明 是 上的奇函数,0()fx()fxR5.3 函数的奇偶性(1) 、奇函数:1、定义域关于原点对称2、 f(x)+f(x)=03、图像关于原点对称(2) 、常见的奇函数:1、 2、 3、 4、 5、kyxky)(为 奇 数nkyxysinxytan6、 xa(3) 、偶函数:1、定义域关于原点对称2、 f(x)=f(x)3、图像关于 y 轴对称(4) 、常见的偶函数:第 7 页 共 8 页1、 2、 3、 4、)(为 偶 数nkxy
11、xycosxayxyln5、一般为偶次幂、含有绝对值的函数(具体情况看题目)(5) 、奇偶函数的运算奇+奇=奇 奇 X 奇=偶偶+偶=偶 偶 X 偶=偶奇+偶=非奇非偶函数 奇 X 偶=奇(6) 、练习1、已知函数 是定义在 R 上的奇函数,且 ,2()1)gxfx2)0(f则 .2f六、抽象函数的对称性 性质 1 若函数 yf(x)关于直线 xa 轴对称,则以下三个式子成立且等价:(1)f(a x) f(a x) (2 )f(2ax) f(x) (3 )f(2ax) f(x)七、函数的周期性若 a 是非零常数,若对于函数 yf(x)定义域内的任一变量 x 点有下列条件之一成立,则函数 yf(x)是周期函数,且 2|a|是它的一个周期。f(xa)f(xa) f(xa)f(x)f(xa)1/f(x) f(xa)1/f(x)作业:1、已知 ,则 , 。3)(,12)(2xgxf )(xgf)(xfg2、已知: ,求 。23、已知函数 对于一切实数 都有 成立,且)(xfyx, xyfyf )12()(。(1)求 的值;(2)求 的解析式。0)1(f )4、已知: ,求 。)0(,31)(2xfx)(xf第 8 页 共 8 页5、已知 ,对于任意实数 x、y,等式 恒成立,求1)0(f )12()(yxfyxfxf