1、 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ 2010 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，其中第 II 卷第（22）-（24）题为选考题，其他题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。2、选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，
2、字体工整，笔迹清楚。3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。参考公式：样本数据 的标准差 锥体体积公式nx,21221()()()ns xn 13VSh其中 为样本平均数 其中 为底面面积， 为高x柱体体积公式 球的表面积，体积公式来源:Z。xx。k.ComVSh 24SR34V其中 为底面面积， 为高 其中 R 为球的半径 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ 第 I 卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小
3、题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合 , ,则|2,AxR|4,BxZAB(A)(0,2) (B)0,2 (C)0,2 (D)0,1,2(2)已知复数 ， 是 z 的共轭复数，则 =23(1)izzA. B. C.1 D.24(3)曲线 在点（-1， -1）处的切线方程为2xy（A）y=2x+1 (B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-2(4)如图，质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为 P0（ ，- ） ，角速2度为 1，那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图像大致为（5）已知命题：函数 在 R 为增函数，1p2xy：
4、函数 在 R 为减函数，2则在命题 ： ， ： ， ： 和 ： 中，真命 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ 题是（A） ， （B） ， （C） ， （D） ，1q32q31q42q4（6）某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为 X，则 X 的数学期望为（A）100 （B）200 （C）300 （D）400（7）如果执行右面的框图，输入 ，则输出的数等于5N（A） 54（B）（C） 65（D）（8）设偶函数 满足 ，则()fx3()8(0)fx|(2)0xf(A) (B) |24或 |4或(C) (D) |
5、06x或 |x或（9）若 ， 是第三象限的角，则4cos51tan2(A) (B) (C) 2 (D) -212（10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 ，顶点都在一个球面上，则该球的表a面积为(A) (B) (C) (D) 2a273a21325（11）已知函数 若 互不相等，且 则|lg,0,()6.2xf,abc()(),fabfc的取值范围是abc(A) (B) (C) (D) (1,0)(5,)(10,2)(20,4) 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ （12）已知双曲线 的中心为原点， 是 的焦点，过 F 的直线 与 相交于 A，BE(3,0)PElE两点，且 AB
6、 的中点为 ,则 的方程式为(125N(A) (B) 236xy214xy(C) (D) 2125第卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题第（24）题为选考题，考试根据要求做答。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。（13）设 为区间 上的连续函数，且恒有 ，可以用随机模拟方法()yfx0,10()1fx近似计算积分 ，先产生两组（每组 N 个）区间 上的均匀随机数10d ,和 ，由此得到 N 个点 ，再数出其中满足12,Nx12,Ny1(,)2)xyiN的点数 ，那么由随机模拟方案可得积分 的近似值为 (),)yfi1
7、 10(fxd。（14）正视图为一个三角形的几何体可以是_（写出三种）（15）过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x-y=0 相切于点 B（2,1） ，则圆 C 的方程为_(16)在ABC 中，D 为边 BC 上一点，BD= DC， ADB=120，AD=2，若ADC 的面12积为 ，则 BAC=_3三，解答题：解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤（17） （本小题满分 12 分）设数列 满足na21112,3nnaA（1） 求数列 的通项公式；（2） 令 ，求数列的前 n 项和nbnS(18)（本小题满分 12 分）如图，已知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形， 中国校长网中国校长网资
8、源频道 http:/ AB CD,AC BD，垂足为 H，PH 是四棱锥的高 ，E 为 AD 中点A（1） 证明：PE BC（2） 若 APB= ADB=60，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值(19)(本小题 12 分)为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人，结果如下：是否需要志愿 性别 男 女需要 40 30不需要 160 270（1） 估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2） 能否有 99的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3） 根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老
9、年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由附：（20） （本小题满分 12 分）设 分别是椭圆 的左、右焦点，过 斜率为 1 的直线12,F2:1(0)xyEab1F与 相交于 两点，且 成等差数列。iE,AB22,FAB 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ （1）求 的离心率；E（2） 设点 满足 ，求 的方程(0,1)pPABE（21） （本小题满分 12 分）设函数 。2()xfea（1） 若 ，求 的单调区间；0a()f（2） 若当 时 ，求 的取值范围x0请考生在第（22） 、 （23） 、 （24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用 2B 铅笔在答
10、题卡上把所选题目的题号涂黑。（22） （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，已经圆上的弧 ，过 C 点的圆切线与 BA 的延长线交于 E 点，证明：（）ACE=BCD；（）BC 2=BFCD。（23） （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线 C1 （t 为参数） ，C 2 （ 为参数） ，xcosinytxcosiny（）当 = 时，求 C1 与 C2 的交点坐标； 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ （）过坐标原点 O 做 C1的垂线，垂足为 ，P 为 OA 中点，当 变化时，求 P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。（24） （本小题
11、满分 10 分）选修 4-5，不等式选项设函数 ()241fxl（）画出函数 的图像y（）若不等式 的解集非空，求 a 的取值范围。() 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ 2010 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、 选择题（1）D （2）A （3）A （4）C （5）C （6）B（7）D （8）B （9）A （10）B （11）C （12）B二、填空题（13） （14）三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分）1N（15） （16）602(3)xy三、解答题（17）解：（）由已知，当 n1 时，11121()()()nnnaaa23n。(1)n而 ,a所以数列
12、 的通项公式为 。n21na（）由 知21nb35211nnS从而2357212nn -得。2352121(1)nnnS即 219n（18）解：以 为原点， 分别为 轴，线段 的长为单位长， 建立空间直角坐H,ABHP,xyzHA 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ 标系如图， 则 (1,0)(,)AB（）设 0,)CmPn则 (,)(,).2DE可得 1(,1).Bm因为 0PC所以 E（）由已知条件可得 33,1mnC故 (,0)31(0,),(,0)(,)26DEP设 为平面 的法向量,nxyH则 即,oP13026xyz因此可以取 ，(1,30)n由 ，,A可得 2cos,4P
13、n所以直线 与平面 所成角的正弦值为AEH 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ （19）解：（1）调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为 7014%5（2） 。2250(4236)9.7K由于 9.9676.635,所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。(III)由(II)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单
14、随机抽样方法更好（20.）解：（I）由椭圆定义知 ，又 ，24AFBa2ABF得 43Ba的方程为 ，其中 。lyxc2ab设 ， ，则 A、B 两点坐标满足方程组1,A2,2yxcab化简的 22220xacb则 12122,xb因为直线 AB 斜率为 1，所以 AB21114xxx得 故24,3ab2所以 E 的离心率2cabe（II）设 AB 的中点为 ，由（I）知0,N 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ ， 。2120 3xacb03cyx由 ，得 ，PAB1PNk即 01yx得 ，从而3c2,3ab故椭圆 E 的方程为 。189xy（21）解：（1） 时， ， .0a()x
15、fe()1xfe当 时， ；当 时， .故 在 单调(,x0,()0f()fx,0)减少，在 单调增加)（II） (12xfea由（I）知 ，当且仅当 时等号成立.故0x，()()fx从而当 ，即 时， ，而 ，120a12 ()fx(0)f于是当 时， .x()fx由 可得 .从而当 时，e1(0)xe12a，()2()()x xxfae故当 时， ，而 ，于是当 时， .0,lnxf(f(0,ln)()0fx综合得 的取值范围为 .a1(,2（22）解：（I）因为 ,ACB所以 .D 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ 又因为 与圆相切于点 ，故 ，ECACEB所以 .ABD（II
16、）因为 ,D所以 ，故 ，EBC即 .2BC(23)解：（）当 3时， 的普通方程为 ， 的普通方程为 。联13(1)yx2C21xy立方程组 ，解得 与 的交点为（1,0） 。2()yx1C2 3，（） 的普通方程为 。1Csincosin0yA 点坐标为 ，2sic故当 变化时，P 点轨迹的参数方程为：21sincoxy为 参 数P 点轨迹的普通方程为2146xy。故 P 点轨迹是圆心为 ，半径为 的圆。0，（24） 解：（）由于25()3xf，则函数 的图像如图所示。() 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ （）由函数 ()yfx与函数 yax的图像可知，当且仅当12a或 时，函数()yfx与函数 的图像有交点。故不等式 ()fx的解集非空时， a的取值范围为12， ，。
