1、0金融投资组 王辰 王体涛 张天龙摘要本文针对金融投资中 255 个工作日的日投资效益额的数据情况，分别建立了正态分布概率模型和离散型随机变量模型。经过作日投资效益额的频率直方图初步判断，所选取的样本是近似服从正态分布的，然后通过参数估计，假设检验得出结论该样本数据服从正态分布具有一定的可信度。通过正态分布的密度函数，将所要求解的问题转化为概率表达式，得出在下一个周期内的损失的数额超过 10 万元的可能性为.，能以 95%的置信度保证损失的数额不会超过.万元，根据投资效益额与投资额成正比的关系，我们得出在一个周期内的损失超过 10 万元的可能性不大于 5%，那么初始投资额最多应为.万元。为了对
2、比，我们又建立了离散型随机变量模型，此模型是建立在日投资效益额的样本值均为整数的基础上，即样本数据是离散型随机变量，根据样本值的频数可以确定每个随机变量发生的概率，进而可以得出整个随机变量的概率分布。通过离散型随机变量的密度函数，得出在下一个周期内的损失的数额超过 10 万元的可能性为.，能以 95%的置信度保证损失的数额不会超过.万元，根据投资效益额与投资额成正比的关系，我们得出在一个周期内的损失超过 10 万元的可能性不大于 5%，那么初始投资额最多应为.万元。针对两个周期的情况，对于第一个模型，我们利用正态分布的可加性，类比一个周期的解法，依旧得出了相应的结论；对于第二个模型，由于数据的
3、离散型，计算量较大，我们尝试利用编写了程序来求解出问题的概率，有效的解决了多数据离散型随机变量概率求解的问题。最后，我们又试着从一个周期和两个周期这特殊情形，将问题的解决形式推广到一般的情形。我们得到结论：（）已知初始投资额为 M，求 T 个周期内，限定损失额为 L 的置信度 1- 为 ；（）已知初始投资源为 M，求 T 个周期内，)T(1L置信度为 1- 时的限定损失额 L 为 ；（）已知限定损失额 L，求 T 个 Z-周期内，置信度为 1- 时的初始投资额 为T-L关键词：金融投资 正态分布 离散型模型 1一、问题重述某公司在金融投资中，需要考虑如下两个问题：1）准备用数额为 1000 万
4、元的资金投资某种金融资产（如股票，外汇等）。它必须根据历史数据估计在下一个周期（如 1 天）内的损失的数额超过 10 万元的可能性有多大，以及能以 95%的置信度保证损失的数额不会超过多少。2）如果要求在一个周期内的损失超过 10 万元的可能性不大于 5%，那么初始投资额最多应为多少。下面是该公司在过去一年 255 个交易日的日收益额（单位为万元）的统计数据, 假定每天结算一次，保持每天在市场上的投资额为 1000 万元：收益额 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18天数 1 1 1 1 1 2 1 2 1 4 0 2 6 3 4 7收益
5、额 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2天数 5 8 5 7 10 14 8 19 9 11 11 14 10 6 6 8收益额 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10-11-12-13-14天数 9 5 9 3 7 4 1 6 2 5 5 3 2 2 1 0收益额 -15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30天数 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0要求：1） 参考以上数据，建立两种模型来解决前述的两个问题，并对这两个模型加以比较；2） 讨论二
6、周期情形（如今后两天内）上述两个问题的答案。3） 陈述上述两个问题的一般形式（即初始投资额为 M, 限定损失额为 L, 置信度为 1-, T 个周期）及其解决方案。二、问题分析该公司 255 个交易日的日收益额（单位为万元）的统计数据,可视作总体数据中的样本。我们可以通过对样本数据作频数直方图的方法，得到样本数据的分布情况。由后面的分析可知，样本数据是近似服从正态分布的。在这个初步判断的基础上，我们又尝试进行了参数估计，假设检验等步骤，保证数据是服从正态分布这一结论具有一定的可信度。另外根据题中样本数据均是整数这一特点，我们又尝试建立了离散型随机变量模型，旨在从不同的角度解决金融投资中的收益额
7、问题。在已知初始投资额的条件下，要根据历史数据估计在下一个周期或者更多个周期内的损失的数额超过 10 万元的可能性有多大，以及能以 95%的置信度保证损失的数额不会超过多少这两个问题完全可以转化为一个概率问题，根据建立的正态分布函数模型和离散型随机变量模型，应用概率统计的理论方法，可以将建立的概率模型一步步化简，得到问题的近似解。对于要求在一个周期内的损失超过 10 万元的可能性不大于 5%，确定初始投资额最多应为多少这一问题，我们查阅资料得到：投资效益额与投资额是成正比关系的，即初始投资额越大，投资效益额也越大。在这一结论的背景下，我们可以对要求的初始投资额进行一次合理的估计，进而可以得出问
8、题解的估计值。当然这一问题的求解是建立在求解出以 95%的置信度保证损失的数额不会超过的数值的基础上。2对于将问题推广到一般形式及解决方案的确立，我们可以将所建立的正态分布函数模型应用到问题的求解上来，考虑到正态分布具有可加性，此问题的实质也就是 N 个服从相同的正态分布的变量的概率问题的求解，由特殊性推广到一般情形，利用正态分布的性质这一问题可以得到有效的解决。三、模型假设1.T 个周期内的收益额相互之间无影响，且相互独立；2.假设影响每天收益额的外界因素基本稳定；3.题中所选取的 255 天的日投资收益额为随机抽样，具有一定的代表性，能反映T 个周期内日投资收益额的水平；4.题中的日投资收
9、益额为处理方便均进行了取整处理，实际情况允许有小数；四、符号系统X：日投资效益额（万元）；W:初始投资额（万元）；m:以 95%的置信度保证损失的最大数额；T：周期的个数；五、模型建立模型一：正态分布概率模型5.1.1 总体分布的检验：由 255 个交易日收益额的数据通过 matlab 数据输入，作频数直方图，参数估计，假设检验等一系列步骤，得出该数据的总体分布。1.数据输入x=33 32 31 30 29 28 28 27 26 26 25 24 24 24 24 22 22 21 21 21 21 21 21 20 20 20x=x,19 19 19 19 18 18 18 18 18 1
10、8 18 17 17 17 17 17 16 16 16 16 16 16 16 16 15 15 15 15 15 14x=x,14 14 14 14 14 14 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 11 11x=x,11 11 11 11 11 11 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 9 9 9 9 9 9 9 9 9x=x,8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 7 7 7 7 7 7 7 7 7
11、7 7 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 x=x,4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 x=x, -2 -2 -2 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -4 -4 -4 -4 -5 -6 -6 -6 -6 -6 -6 -7 -7 -8 -8 -8 -8 -8 -9 -9 -9 x=x, -9 -9 -10 -10 -10 -11 -11 -12 -12 -13 -15 -22
12、-25;hist(x,10)2.作频数直方图利用 matlap 中的直方图命令 hist(x),作出 255 个交易日的日投资效益额频率直方图见图 1。3图 1从图 1 可以看出，该日投资效益额近似服从正态分布。3.分布的正态性检验normplot(x)从图 2 可以看出，数据基本上在一条直线上，故初步可以断定日投资效益额分布近似为正态分布。4.参数估计4在基本确定所给数据 x 的分布后，就可以估计该数据的参数。muhat ,sigmahat,muci,sigmaci=normfit(x)结果：muhat=7.4863,sigmahat=9.8520,muci=6.2713,8.7013,si
13、gmaci=9.0647,10.7902。从而由该结果可以估计出日投资效益额的均值为 7.4863，标准差为 9.8520，均值的0.95 置信区间为6.2713,8.7013,标准差的 0.95 置信区间为9.0647,10.79025.假设检验已知日投资效益额服从正态分布，现在方差未知的情况下，检验其均值是否为7.4863h,sig,ci=ttest(x,7.4863)结果：h=0,sig=1,ci=6.2713,8.7013.检验结果：（1）布尔变量 h=0,表示不拒绝零假设，说明提出的日投资效益额均值为7.4863 是合理的；（2）95% 的置信区间为6.2713,8.7013，它完全
14、包括 7.4863，且精度很高；（3）Sig 的值为 1，远超过 0.5，不能拒绝零假设。终上所述，通过 matlab 的正态拟合以及参数估计和假设检验可知该日投资效益额的分布近似服从正态分布，其中正态分布的参数分别用样本的均值与标准方差来进行估计，=7.4863，=9.8520 ，因此该分布的密度函数为： 30x-,e21)(f1236.94)87( 其 中 ： xx5.1.2 密度函数为正态分布的日投资效益额概率函数模型的求解（1）要根据历史数据估计在下一个周期（如 1 天）内的损失的数额超过 10 万元的可能性有多大，此问题完全可以简化为一个概率求解的问题。 ）（）（） ， 于 是（令
15、， 令（的 函 数 值 。 事 实 上 ， 由（然 后 查 表 ， 求 得（ 标 准 正 态 分 布 函 数可 通 过 变 量 代 换 ， 化 成（的 分 布 函 数） ， 则 ，一 般 的 若 ） 12122X1o-2u o-(2 (-(d1)XF ud)F)xF, )X(N 2 xxFxPe ttex xt所以原问题可以用概率表达式表述为： ）（）（）（ 749.1-749.1-0-10-10p xx查标准正态分布表可知 ）（ 749.=0.9616，从而原概率值为 3.84%。所以下一个周期内的损失的数额超过 10 万元的可能性为 3.84%。（2）以 95%的置信度保证损失的数额不会超
16、过的值设为万元，为日投资效益额，由该分布服从正态分布可知： ） （ 这 里 取 %51pXx由概率统计知识可以将上述式子化为：95.0)()(11p XXxpXx将 .，=9.8520，以及查标准正态分布表 ，从而可以64.1求出.，所以以 95%的置信度保证损失的数额不会超过的值为.万元。5（）针对要求在一个周期内的损失超过 10 万元的可能性不大于 5%，求初始投资额最多应为多少这一问题，由（）（）的求解过程中可知，投资万元，下一个周期内的损失的数额超过万元的可能性为.，以及以 95%的置信度保证损失的数额不会超过的值为.万元，这里可以取相同的比例来对初始投资额进行一次合理的估计，设初始投
17、资额为（万元），则 ，求解可以得到1072.8w万元。因此在一个周期内的损失超过 10 万元的可能性不大于 5%，初始的投资额最多应为.万元。. 下面讨论两个周期上述问题的求解 3.67% 10 %67.310P907.( 79.1(-0P8529463.7 ),2)2(2P1NZ85.9463.7NZYXZ (Y(X一1 2221 2121 2万 元 的 可 能 性 为损 失 的 数 额 超 过 ， 所 以 两 个 周 期 内， 所 以）查 标 准 正 态 分 布 表 知 ）， 化 简 得， 带 入 上 述 概 率 表 达 式，将 概 率 表 达 式 ： 以 将 问 题 转 化 为万 元 的
18、 可 能 性 ， 仍 然 可失 的 数 额 超 过那 么 要 求 两 个 周 期 内 损 ） 。 ，（， 所 以，回 到 题 目 中 来 ， 有 可 加 性 。 ） ， 这 说 明 正 态 分 布 具（ 有仍 然 服 从 正 态 分 布 ， 且 ） ， 经 过 计 算 知） ，设）（ ， ， ZZ 万 元 。额 应 为 ， 最 大 初 始 投 资万 元 的 可 能 性 不 大 于个 周 期 内 的 损 失 超 过万 元 。 所 以 要 保 证 在 两 可 以 解 得等 式（ 万 元 ） ， 那 么 可 建 立最 大 的 初 始 投 资 额 为 理 的 估 计 。 设相 同 的 比 例 进 行
19、一 次 合万 元 ， 这 里 我 们 可 以 取超 过 的 值 大 约 为 额 不 会的 置 信 度 保 证 损 失 的 数万 元 的 情 况 下 ， 以资少 ， 我 们 已 经 知 道 在 投 ， 最 大 初 始 投 资 额 为 多万 元 的 可 能 性 不 大 于损 失 超 过） 要 求 在 两 个 周 期 内 的（ 万 元 。的 数 额 大 约 为额 不 会损 失 从 而，信 区 间 为 （， 代 入 化 简 可 以 得 到 置 ， 将， 那 么 查 表 得置 信 区 间 为 （ ， 求 解 可 得识 表 述 为不 会 超 过 多 少 用 概 率 知损 失 ，置 信 度 为） ， 那 么
20、 ，（） 已 知（ ， 35.128 %510 35.128W,10946.7W946.75103 .一一 95%),o946.7-9.8520= 1Z),o- -2-p一95),(2-2NZ2 ZN模型二：离散型模型. 分析表中数据，我们发现收益额均为整数（，），考虑将做离散型随机变量处理。由表中的数据可以得到每个离散型随机变量的所发生的频率为：天 ）总 天 数 （ 时 的 天 数收 益 为的 频 率日 投 资 收 益 额 为 2XX. 离散型随机变量模型的求解6（）在一个周期内损失的数额超过万元，那么随机变量的范围为那么这一事件的概率可表示为，从而可以知道在一个周期内的损失%14.3258
21、251251 的数额超过 10 万元的可能性近似为.。和 求 解 结 果 如 下 ：来 进 行 插 值 运 算 。 代 码的 。 下 面 我 们 用 的 取 值 是 合 理性 插 值 的 方 法 来 估 计随 机 性 ， 因 此 这 里 用 线虑 到 实 际 问 题 的 数 据 的 为 整 数 ， 但 考散 型 随 机 变 量 的 样 本 均的 近 似 值 。 虽 然 这 个 离考 虑 进 行 插 值 ， 求 出 下 面 我 们断） ， 我 们 可 以 合 理 的 推，（， 由 于的 计 算 公 式。 根 据 离 散 型 随 机 变 量 ， 即为可 以 用 概 率 论 知 识 表 述 万 元
22、， 那 么 该 概 率 事 件超 过保 证 损 失 的 数 额 最 大 不） 假 设（ matlb ).8,9(m-%27.631.45%27.6 2516PX31.4259PX51P一9 p=0.0431 0.0627; X=-9 -8; =interp1(p,X,0.05)求解结果： =-8.6480所以近似认为8.648 万元，即能以的置信度保证损失的数额最大为.648 万元。（）针对要求在一个周期内的损失超过 10 万元的可能性不大于 5%，求初始投资额最多应为多少这一问题，由（）（）的求解过程中可知，投资万元，下一个周期内的损失的数额超过万元的可能性为.，以及以 95%的置信度保证损
23、失的数额不会超过的值为.6480 万元，这里可以取相同的比例来对初始投资额进行一次合理的估计，设初始投资额为（万元），则 ，求解可以得到10648.w1156.34 万元。因此在一个周期内的损失超过 10 万元的可能性不大于 5%，初始的投资额最多应为 1156.34 万元。. 下面讨论两个周期上述问题的求解（）设第一周期损失的数额为，第二周期损失的数额为，那么这两个周期损失的总数额为，那么在两个周期内损失的数额超过万元，那么随机变量的范围为，那么这一事件的概率可表示为利用 VB 编写程序代码可以得出结果：3.67%程序代码见附录，程序运行结果见图 37图 3（2）根据（1）的代码，只需要将条件改为 Z= -60 And i + j = -Thenp = A(i) * A(j)sum = sum + pEnd IfNext jNext iText1 = sumEnd SubPrivate Sub Command3_Click()EndEnd Sub
