1、第5章 图的基本概念,教学要求1. 掌握图的基本概念2. 掌握图的矩阵表示3. 理解图的最短路径及关键路径概念和 求解,引言 图论起源于一些智力游戏与难题的研究。如著名的哥尼斯堡七桥问题：既不重复又不遗漏地一次相继走遍这七座桥？,大数学家欧拉将原来的七桥问题抽象概括成了如下的关系图：,人们将类似这样的抽象图形应用于更加广泛的领域，点可以泛化为某个客观对象，边泛化为两个客观对象之间的关系，这样，图就为某种二元关系提供了数学模型,预备知识,卡氏积：AB=x,y|xAyB有序对: x,y y, x ,无序积：AB=(x,y)|xAyB无序对: (x,y)= ( y, x ),多重集: a,a,a,b
2、,b,c a,b,c,5.1 无向图和有向图,1.无向图的定义: P118 定义5.1,例: G= V=v1,v2,v3,v4,v5 E=(v1,v2),(v2,v2),(v2 ),(v1,v3),(v1,v3 ), (v1,v4) ,2.有向图的定义: P118 定义5.2,例: G= V=v1,v2,v3,v4,v5 E=, , ,几个相关概念:设G=为一无向图或有向图有限图：若V,E都是有穷集合n阶图：若V=n零图：若E=平凡图：若E=，且V=1,3.无向图的关联和相邻定义: P119 定义5.3,4.有向图的关联和相邻定义: P119 定义5.4,5.度数(端点的度数)定义: P119
3、 定义5.5 注意： 对于无向图,每个端点只有一种度数，对于有向 图,每个端点的度数分为出度和入度度数两种,最大度:(G)=max d(v)|vV最小度:(G)=min d(v)|vV最大出度:+(D)=max d+(v)|vV最大入度:-(D)=max d-(v)|vV最小出度: +(D)=min d+(v)|vV最小入度: -(D)=m in d-(v)|vV,推论:任何图中,度为奇数的顶点个数为偶数,相关概念:度数序列(一般并不按大小排列，以点集中顶点顺序排列),例:P120 例5.1,7.平行边和重数: P121定义5.6 注意:有向图中的平行边是始点相同,终点相同的边,几个相关概念:
4、多重图,简单图,8.完全图: P120定义5.7 注意:对有向图， 存在既有有向边,又有有向边 ,例:P121 图5-2,9. 子图与母图 P121定义5.8,几个相关概念:真子图,生成子图,导出子图,例:P121 图5-3,10.补图: P121-122 定义5.9 说明:补图相对与完全图而言,11.同构: P122 定义5.10,说明:同构本质上是一种映射,通过这种映射一个图的结构可用另一个图表现出来,也就是说,对一个图的顶点与边的长度,位置,大小.形状等可不作任何限制,两个图同构的必要条件:顶点数相同边数相等每个顶点的度数相同但是必要条件满足,两图不一定同构 例下图,由条件能推出结论，但
5、由结论推不出这个条件，这个条件就是充分条件 由结论能推出 条件，但由条件推不出结论。此条件为必要条件既能由结论推出条件，又能有条件 推出结论。此条件为充要条件,5.2 通路 回路 图的连通性,1.通路 与 回路的定义 P123定义5.11,说明:在序列中可以允许出现相同的顶点与边对于有向图,其中间每条边的终点是下一条边的起点,相关概念:简单通路 简单回路 初级通路 初级回路 复杂通路 复杂回路,例:P124 图5-7,通路与回路的性质:定理5.3 及推论 P123定理5.4 及推论 P124,2. 顶点与顶点的连通性和可达性: P124定义5.12,3.图的连通性对于无向图:P124定义5.1
6、3相关概念:连通分支和连通分支数P（G）对于有向图:P124定义5.14,几个相关概念:弱连通图,单向连通图,强连通图,两个重要概念:,1.点割集: P125定义5.15,删除v3,v5后得到的子图V,v1,v6,v7,v2,v4,可见:p(V) p(G),若删除V中的v5,得到下图V”,v1,v6,v7,v2,v4,v3,很显然:p(V”)=p(G)则称V为点割集若点割集中只有一个顶点v,则称v为割点,2.边割集 P124定义4.15,请同学们分析,5.3 图的矩阵表示,1.无向图的关联矩阵M（G）矩阵中的元素为顶点与边的关联次数mij,记为（mij）nxm。 Mij的值只可能为0（表示不关
7、联），1（表示关联），2 （表示环），矩阵的行数为顶点数，列数为边数例：图5-11,2.无环有向图的关联矩阵M（D）矩阵中的元素为顶点与边的关联次数mij,记为（mij）nxm。 Mij的值只可能为0（表示不关联），-1（表示终点），1 （表示始点），矩阵的行数为顶点数，列数为边数例：图5-12,3.有向图的邻接矩阵A（D）矩阵中的元素为顶点与顶点邻接的边的条数aij,记为（ aij ）nxn。 矩阵的行数为顶点数，列数也为顶点数例：图5-13,4.有向图的可达矩阵P（D）矩阵中的元素为顶点与顶点的可达状态pij,记为（pij）nxn。 pij的值只可能为0（表示不可达），1（表示可达），矩阵
8、的行数为顶点数，列数也为顶点数例：图5-13,作业：请画出P119图5-1的无向图的关联矩阵和有向图的关联矩阵、邻接矩阵及可达矩阵,5.4 最短路径及关键路径,一 权的概念权指权重。 权重是一个相对的概念，是针对某一指标而言。某一指标的权重是指该指标在整体评价中的相对重要程度。 权重表示在评价过程中，对被评价对象的不同侧面的重要程度的定量分配，对各评价因子在总体评价中的作用进行区别对待。求权重就是求出每项指标在某事件中的重要性/比重/贡献度 二 边帯权图对于有向图或无向图的每条边附加一个实数，通常用w(e)表示，则称w(e) 为边上的权。有向图或无向图连同各边上的权称为边帯权图,三 最短路径问题 1. 什么是最短路径？一个顶点到另一个顶点所有通路中带权最小的通路 2. 标号算法（步骤见P129） 例： P129-130【例题5.3】四 关键路径问题 1.什么是关键路径？关键路径是占用时间最长的关键活动组成的序列，在你按照事件的先后顺序画出网络图之后，计算出各个路径上所花费的时间，其中占用时间最长的即是关键路径。 2. 算法（步骤见P131）,例： P130【例题5.4】,作业：P138 5.19 5.20,小 结,握手定理的应用图的矩阵表示求解最短路径问题和关键路径问题,
