1、构 造 “三 垂 直 ”模 型 ， 求 解 “构 成 已 知 角 度 的 直 线 ”解 析 式【 例 1】 如 图 1， 在 坐 标 系 中 ， A（ 0， 4） ， B（ -2， 0） ， OC AB 于 点 C， 求 OC的 表 达 式 。【 解 析 】 （ 方 法 一 ） 直 线 AB 的 斜 率 为 2， 故 直 线 OC 的 斜 率 为 -1/2， 所 以 OC 解 析式 为 ： y=-x/2；（ 方 法 二 ） 过 点 C 作 CD y 轴 于 点 D， 过 点 B 作 BE CD， 交 DC 延 长 线 于 点E（ 如 图 1-1） 。则 BCE DCO ACO ABO BCO，
2、BC CO=BE CD=BO AO=1 2，设 C（ m， 2m+4） ， 则 ：2(m+2) (0-m)=1 2， 解 得 ：m= -8/5， C（ -8/5， 4/5） ， OC 解 析 式 ：y=(4/5)/(-8/5)x=-x/2。方 法 二 构 建 了 “三 垂 直 ”模 型 ， 利 用 比 例 关 系 解 得 点 C 坐 标 ， 再 用 “两 点 式 ”求 解 直 线解 析 式 ， 在 此 题 中 显 得 繁 杂 ， 但 是 揭 开 了 解 决 此 类 问 题 的 “通 用 方 法 ”。【 例 2】 如 图 2， 在 坐 标 系 中 ， A（ -1， 0） ， B（ 0， -3）
3、， 直 线 BC 交 x 轴 于 点C， ABC=45 ， 求 BC 的 函 数 表 达 式 。【 思 路 】 利 用 ABC=45 构 建 等 腰 直 角 三 角 形 ， 再 构 建 “三 垂 直 模 型 ”求 出 直 角 顶 点坐 标 。【 解 析 】 过 点 A 作 AD BC 于 点 D； 过 点 D 作 DE x 轴 于 点 E， 过 点 B 作BF ED， 交 ED 延 长 线 于 点 F（ 如 图 2-1） 。则 ABD 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， AED BDF， DE=BF， AE=DF；设 D（ x， y） ， 则 ：0-y=x， x+1=y+3，解 此 方 程 组
4、 ， 得 ：x=1， y=-1， D（ 1， -1） ，直 线 BC 解 析 式 ：y=(-1+3)/(1-0)x-3，化 简 得 ：y=2x-3.【 练 习 1】 如 图 L1， 在 坐 标 系 中 ， A（ -1， 2） ， B（ 5， -1） ， 直 线 AC AB 与 x 轴交 于 点 C， 求 直 线 AC 的 解 析 式 。【 提 示 】 用 “斜 率 法 ”。【 练 习 2】 如 图 L2， A（ 0， 1） ， B（ 3， 0） ， 直 线 BC 交 y 轴 于 点C， ABC=45 ， 求 BC 的 函 数 表 达 式 。【 提 示 】 如 图 L2-1， 构 建 “三 垂
5、直 模 型 ”， 求 出 点 D 坐 标 。【 例 3】 如 图 3， A（ -2， -4） ， B（ 4， 0） ， 直 线 BC 交 y 轴 于 点 C， ABC=60，求 BC 的 函 数 表 达 式 。【 思 路 】 利 用 特 殊 角 构 建 直 角 三 角 形 ， 再 利 用 三 边 关 系 构 建 “三 垂 直 模 型 ”。【 解 析 】 过 点 A 作 AD BC 于 点 D， 过 点 D 作 DE x 轴 ， 过 点 A 作 AE DE 于 点E， 过 点 B 作 BF ED， 交 ED 延 长 线 于 点 F（ 如 图 3-1） 。 ABC=60， AD DB=3 1，易
6、知 ADE BDF， ED FB=AE DF=3 1；设 D（ x， y） ， 则 ：（ x+2） y=3 1， （ y+4） (4-x)=3 1，解 得 ： x=5/2-3， y=33/2-1； D（ 5/2-3， 33/2-1） ， BC 解 析 式 ： y=(33/2-1)/( 5/2-3-4)(x-4)， 化 简 得 ：【 练 习 3】 如 图 L3， A（ 0， 1） ， B（ 3， 0） ， 直 线 BC 交 y 轴 于 点C， ABC=30， 求 BC 的 函 数 表 达 式 。【 提 示 】 如 图 L3-1， 构 建 “三 垂 直 模 型 ”， 求 出 点 D 坐 标 。【
7、例 4】 如 图 4， A（ 0， -4） ， B（ 4， 0） ， 直 线 y=-3x 和 直 线 AB 交 于 点 C， 点 P是 y 轴 上 一 点 ， 且 OCP=3 OAB， （ 1） 求 点 C 的 坐 标 ； （ 2） 求 直 线 BP 的 函 数表 达 式 。【 思 路 】 易 知 OAB=45， 所 以 OCP=135， OCP 的 邻 补 角 为 45。 构 建 “三 垂 直模 型 ”求 解 点 P 坐 标 。【 解 析 】 （ 1） 略 。 C（ 1， -3） ；（ 2） 过 点 P 作 PE CP， 交 OC 于 点 E， 过 点 E 作 EF y 轴 于 点 F， 过
8、 点 C 作CG y 轴 于 点 G（ 如 图 4-1） 。 OAB=45， OCP=135， PCE= PEC=45；易 知 PEF PCG，G（ 0， -3） 设 P（ 0， p） ， E（ e， -3e） ，则 p+3e=1，-3-p=e，解 得 ： p= -5， BP 解 析 式 ： y=5x/4-5。【 备 注 】 也 可 以 如 图 4-2 那 样 构 造 “三 垂 直 ”， 求 得 P 坐 标 。【 例 5】 （ 综 合 运 用 ， 2018 天 津 中 考 第 25 题 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 点 O（ 0， 0） ，点 A（ 1， 0） 。 已 知 抛 物
9、 线 y=x+mx-2m(m 是 常 数 )， 顶 点 为 P。（ 1） 当 抛 物 线 经 过 点 A 时 ， 求 顶 点 P 的 坐 标 ；（ 2） 若 点 P 在 x 轴 下 方 ， 当 AOP=45 时 ， 求 抛 物 线 的 解 析 式 ；（ 3） 无 论 m 取 何 值 ， 该 抛 物 线 都 经 过 定 点 H。 当 AHP=45 时 ， 求 抛 物 线 的 解 析 式 。【 解 析 】 （ 1） 略 。 解 析 式 ： y=x+x-2， P（ -1/2， 9/4） ；（ 2） P（ -m/2， -（ m+8m） /4） ， P 在 x 轴 下 方 ， -（ m+8m） /4 0
10、， m 0 或 m -8； AOP=45， OP 解 析 式 ： y= -x， -（ m+8m） /4=m/2，解 得 m= -10， 或 m=0（ 舍 去 ） 。 抛 物 线 解 析 式 ： y=x-10x+20；（ 3） 易 知 H（ 2， 4） 。 当 点 P 在 AH 下 方 时 ， 过 点 A 作 AB HP 于 点 B， 过 点 B 作 BC x 轴 于 点 C， 过点 H 作 HD CB， 交 CB 延 长 线 于 点 D（ 如 图 5-1） 。则 ABH 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， ABC BHD， HD=BC， AC=BD； 设B（ x， y） ， 则 D（ x， 4
11、） ， C（ x， 0） ， 故 ：x-1=4-y，x-2=y，解 得 ： x=7/2， y=3/2， B（ 7/2， 3/2） ， 直 线 BH 解 析 式 为 ：y=(4-3/2)/(2-7/2)(x-2)+4， 化 简 得 ：y= -5x/3+22/3， P 在 直 线 HB 上 ， -（ m+8m） /4=(-m/2)(-5/3)+22/3，化 简 得 ： 3m+34m+88=0， 解 得 ：m=-22/3(m=-4 舍 去 )； 此 时 抛 物 线 解 析 式 为 ：y=x-22x/3+44/3； 当 点 P 在 AH 上 方 时 ， 由 知 ： 斜 率 为 3/5，故 解 析 式
12、为 ： y=(3/5） (x-2)+4， 化 简 得 ：y= 3x/5+14/5， P 在 直 线 HB 上 ， -（ m+8m） /4=(-m/2)(3/5)+14/5，化 简 得 ： 3m+34m+88=0，解 得 ： m= -14/5(m=-4 舍 去 )； 此 时 抛 物 线 解 析 式 为 ：y=x-14x/5+28/5；综 上 所 述 ， 当 AHP=45 时 ， 抛 物 线 的 解 析 式 为 ：y=x-22x/3+44/3； 或 y=x-14x/5+28/5。【 练 习 4】 如 图 L4， A（ 0， 6） ， B（ 6， 0） ， 直 线 y=3x+3 与 坐 标 轴 交 于 点C、 D， 点 P 是 直 线 AB 上 的 一 点 ， 且 APC= CDB。 （ 1） 求 DCP 的 度 数 ；（ 2） 求 点 P 的 坐 标 。【 提 示 】 （ 1） 延 长 DC 交 AB 于 点 M（ 如 图 L4-1） ， 可 求 得 MCP=45 ， DCP=135 ；（ 2） 先 求 得 M 的 坐 标 ， 再 构 建 “三 垂 直 模 型 ”（ 如 图 L4-2） ， 求 得 E 的 坐 标 ， 得 出CE（ CP） 的 解 析 式 ， 最 后 与 AB 解 析 式 联 立 ， 可 求 点 P 的 坐 标 。
