1、1,第三章 复积分,至此，关于解析函数，我们获得了定义， 充分必要条件及几个具体的解析函数为了 深入研究解析函数，我们选择怎样的研究途 径呢？经讨论，我们从研究数学分析的途径 中选择了从积分这个角度来研究解析函数 实践证明，这种选择是成功的,2,要点,1.理解复积分的概念、性质及其计算公式； 2.掌握解析函数的Cauchy积分定理、 Cauchy积分公式和高阶导数公式(重点) 3.熟练掌握利用积分基本定理、积分基本公式和高阶导数公式计算函数沿闭曲线的积分； 4.理解解析函数和调和函数的关系。,3,解,例 4,(1) 积分路径的参数方程为,y=x,4,(2) 积分路径的参数方程为,5,(3) 积
2、分路径由两段直线段构成,x轴上直线段的参数方程为,1到1+i直线段的参数方程为,6,注意1,注意2,这和数学分析中的曲线积分与路径无关的关系 ？,7,三 积分与其路径的无关性,8,观察前面几个例子我们可以发现：有的函数(如f(z)=z)，其积分只依赖于积分路径的起点与终点，而与积分路径的形状无关；而有的函数(如f(z)=Rez)，其积分不仅与积分路径的起点与终点有关，而且与积分路径的形状还有关进一步观察可以发现，前一类函数是解析函数，以前我们研究过复变函数 f(z)=1，其积分也只依赖于积分路径的起点与终点，而与积分路径的形状无关，而它本身也是解析函数， 由此，我们可提出猜想：解析函数的积分只
3、依赖于积分路径的起点与终点，而与积分路径的形状无关,9,命题1 设 和 在单连域D内连续，积分路径C在D内，且记 ，则该积分与在D内的积分路径无关的充要条件为对D内的任何闭路C其积分值I=0。,命题2 设 和 在单连域D内具有连续的一阶导数和 ，且满足条件则对D内的任何简单闭路C有,10,这是函数 f(z) 在单连通域 D 解析的必要条件 (C-R方程)。,问题 f(z) 在上述单连通域 D 内解析是否能保证它沿D内的任意简单闭路的积分为零？,11,Cauchy 积分定理（P104-105）,定理1 Cauchy积分定理,若函数 在单连通区域D内部解析，C为D内任意闭曲线，则一定有,Cauch
4、y积分定理的等价定理（P114）,若 在闭域 上解析，C为D的边界，则有,证明见P104-111,Cauchy积分定理的推广形式,若 在闭域 上连续，C为D的边界，f(z)在内解析，则有,12,解,例1,根据Cauchy积分定理, 有,13,例2,解,根据Cauchy积分定理得,14,例3,15,定理2 复积分与其积分路径的无关性,若函数f(z)在单连域D内解析，则它在D内从定点z0到动点z 的积分值与在D内所取路径无关，而只与动点z 有关。,由此结论可知:,解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关, 即：,16,17,定理,P112,18,1. 原函数的概念,原函数之间的关系:,四. 解
5、析函数的原函数和在积分计算中的应用,如果 f (z) 在区域D内存在原函数 ，则函数 在区域D内必是解析函数。,19,那末它就有无穷多个原函数,根据以上讨论可知:,证,原函数之间的关系:,20,2. Newton-Leibniz 公式(P113-114),说明: 有了以上定理, 复变函数的积分就可以用与微积分学中类似的方法去计算.,21,证,根据 Cauchy 积分定理,22,例1,解,23,例2,解,利用分部积分法可得,24,复闭路定理和闭路变形原理,问题：如果G是复连通区域，那么，Cauchy定理是否仍然有效？,D,25,所谓复周线是指一种特殊的有界多连区域 的边界曲线 ， 它由几条简单闭
6、曲线组成， 可简单记为 ，其中简单 闭曲线 取正向，而简单闭曲线 取负 向，它们均在 的内部且互不相交，互不包含， 如图：上述 的方向称为区域 的边界曲线 正向。,26,复闭路定理（P116的定理3.10）,27,证明,28,由于 和 在上述割线段上重合且反向， 和 的其余部分组成了D的边界 且与 同向，因此上式可化简为,当 n 为其它值时，可同样证明。,29,特殊情况：闭路变形原理,由复合闭路原理,这就是闭路变形原理,30,解析函数沿闭曲线的积分, 不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.,在变形过程中曲线不经过函数 f(z) 的不解析的点.,说明：,意义,1.揭示了解析函数的一个性质在一定条件下，解析函数沿复连通区域边界的积分等于零； 2.提供了一种计算函数沿围线积分的方法,31,例,解,32,例1,解,圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合原理,典型例题,33,例2,解,依题意知,根据复合闭路原理,34,35,第六周练习P142-144 4，6，7 第七周练习P142-144 9,11,12,
