1、1,复积分(一) 教材第三章,2,至此，关于解析函数，我们获得了定义，充分必要条件及几个具体的解析函数本章选择从积分的角度来研究解析函数实践证明，这种选择是成功的,3,要点,1.理解复积分的概念、性质及其计算公式； 2.掌握解析函数的Cauchy积分定理、 Cauchy积分公式和高阶导数公式(重点) 3.熟练掌握利用积分基本定理、积分基本公式和高阶导数公式计算函数沿闭曲线的积分； 4.理解解析函数和调和函数的关系。,4,一. 积分的概念及性质,有向曲线 （光滑或逐段光滑）,如果 A 到 B 作为曲线 C 的正向,那么 B 到 A 就是曲线 C 的负向,简单闭曲线 C 的正向是指当曲线上的点 P
2、 沿此方向前进时, 邻近 P 点的曲线的内部始终位于 P 点的左方.,与之相反的方向就是曲线的负方向.,5,设C为一条起点在a，终点在b的有向光滑曲线（或逐段光滑曲线），其方程为,同数学分析(高等数学)一样，我们也采用“分割”、“作和”、“取极限”的步骤来定义积分,图3-1,函数 在C上处处有定义。,1.C上依次取分点a=z0,z1,zn=b 记该分法为T；取,如图，作积分和式：,2.设上述n段小弧的最大长度为(T)，且令,6,定义 若对曲线 的任意分法T和任意,当 时，上述和式的极限存在且唯一，则称函数 沿曲线 可积，其积分值为I，记为,其中， 称为积分路径， 为被积函数， 为积分变量。,7
3、,有,例 设c是一条起点在A终点在B的逐段光滑曲线，试计算,8,从定义出发，可以证明复变函数的积分与实函数的定积分有类似的性质,估值不等式,9,例 1,解,因此,10,为了寻求复变函数积分存在的条件，现在我们唯一可利用的只有定义于是问题就归结为考察极限 的存在条件为此，我们不妨将 变形后再加以考察,二. 积分存在的条件及计算方法,11,公式,12,从形式上可以看成是,定理,上述讨论:1.给出了复变函数积分存在的一个充分条件；2.研究复变函数的积分问题，可以转化为研究实变量的二元实值函数沿曲线C的线积分问题。,13,于是,这样一来，将f(z)沿曲线C 的积分归结为f(z)关于曲线C 的参数t 的
4、积分,设 为一条光滑曲线， 是C的起点， 是C的终点，再设f(z)在C上连续。,14,由以上讨论可知，用上式计算积分 包含三个步骤： 1.写出曲线C 的方程 2.将z=z(t)与dz=z(t)dt 代入所求积分 3.计算上式右端的关于参数t 的积分,15,例1 求 其中 为整数,16,例1 求 其中 为整数解: C 的参数方程为： ，于是有,17,例 2,解,积分路径的参数方程为,18,例3,解,积分路径的参数方程为,19,重要结论：积分值与路径圆周的中心、半径无关.,此例可作为积分公式，在后面的积分计 算中将经常用到。,20,解,例 4,(1) 积分路径的参数方程为,y=x,21,(2) 积
5、分路径的参数方程为,22,(3) 积分路径由两段直线段构成,x轴上直线段的参数方程为,1到1+i直线段的参数方程为,23,注意1,注意2,这和数学分析中的曲线积分与路径无关的关系 ？,24,三 复积分基本定理,25,观察前面几个例子我们可以发现：有的函数(如f(z)=z)，其积分只依赖于积分路径的起点与终点，而与积分路径的形状无关；而有的函数(如f(z)=Rez)，其积分不仅与积分路径的起点与终点有关，而且与积分路径的形状还有关进一步观察可以发现，前一类函数是解析函数，以前我们研究过复变函数 f(z)=1，其积分也只依赖于积分路径的起点与终点，而与积分路径的形状无关，而它本身也是解析函数， 由
6、此，我们可提出猜想：解析函数的积分只依赖于积分路径的起点与终点，而与积分路径的形状无关,26,命题1 设 和 在单连域D内连续，积分路径C在D内，且记 ，则该积分与在D内的积分路径无关的充要条件为对D内的任何闭路C其积分值I=0。,命题2 设 和 在单连域D内具有连续的一阶导数和 ，且满足条件则对D内的任何简单闭路C有,27,这是函数 f(z) 在单连通域 D 解析的必要条件 (C-R方程)。,问题 f(z) 在上述单连通域 D 内解析是否能保证它沿D内的任意简单闭路的积分为零？,28,Cauchy 积分定理,定理1 Cauchy积分定理,若函数 在单连通区域D内部解析，C为D内任意闭曲线，则
7、一定有,Cauchy积分定理的等价定理,若 在闭域 上解析，C为D的边界，则有,Cauchy积分定理的推广形式,若 在闭域 上连续，C为D的边界，f(z)在内解析，则有,29,解,例1,根据Cauchy积分定理, 有,30,例2,解,根据Cauchy积分定理得,31,复闭路定理和闭路变形原理,问题：如果G是复连通区域，那么，Cauchy定理是否仍然有效？,D,32,所谓复周线是指一种特殊的有界多连区域 的边界曲线 ， 它由几条简单闭曲线组成， 可简单记为 ，其中简单 闭曲线 取正向，而简单闭曲线 取负 向，它们均在 的内部且互不相交，互不包含， 如图：上述 的方向称为区域 的边界曲线 正向。,
8、33,定理2 复闭路定理,34,证明,35,由于 和 在上述割线段上重合且反向， 和 的其余部分组成了D的边界 且与 同向，因此上式可化简为,当 n 为其它值时，可同样证明。,36,特殊情况：闭路变形原理,由复合闭路原理,这就是闭路变形原理,说明：解析函数沿闭曲线的积分, 不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.,在变形过程中曲线不经过函数 f(z) 的不解析的点.,37,解析函数沿闭曲线的积分, 不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.,在变形过程中曲线不经过函数 f(z) 的不解析的点.,说明：,意义,1.揭示了解析函数的一个性质在一定条件下，解析函数沿复连通区域边界的积分等于零； 2
9、.提供了一种计算函数沿围线积分的方法,38,例1,解,圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合原理,典型例题,39,例2,解,依题意知,根据复合闭路原理,40,41,例3,解,42,故,这一结果很重要。,43,定理3 复积分与其积分路径的无关性,若函数f(z)在单连域D内解析，则它在D内从定点z0到动点z 的积分值与在D内所取路径无关，而只与动点z 有关。,由此结论可知:,解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关, 即：,44,45,定理,46,1. 原函数的概念,原函数之间的关系:,四. 解析函数的原函数和在积分计算中的应用,如果 f (z) 在区域D内存在原函数 ，则函数 在区域D内
10、必是解析函数。,47,那末它就有无穷多个原函数,根据以上讨论可知:,证,原函数之间的关系:,48,2. Newton-Leibniz 公式,说明: 有了以上定理, 复变函数的积分就可以用与微积分学中类似的方法去计算.,49,证,根据 Cauchy 积分定理,50,例1,解,51,例2,解,利用分部积分法可得,52,复积分计算的方法,(f(z)在C的内部解析),(F(z)为f(z)的原函数),(Laurent 级数展开式),1. 参数方程法,2. Cauchy 积分定理,3.原函数法,7. 留数定理,（以上方法层层递进，互相影响）,53,10月21号练习 第三章 P99-1022，3,6-1）、5），16,54,练习 第三章 P99-1022，3,6-1）、5），16,
