1、 题目 1证明题 一般 。使，内至少存在一点上正值，连续，则在在设 bb dxxfdxxfdxxfbabaxfa a )(21)()(),( , )(解答 _ 从而原式成立。又即使在一点由根的存在性定理，存时，由于证：令a a a a a a a xa )(2)()()()()()()(0) F(b)( a , 0)()(0)()(0)( ,)()()(dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdttfdttfdttfdttfbFdttfaFxfbaxdttfdttfxFbbbbbbbxQ题目 2证明题 一般 。证明且上可导在设2)(2)(:,0)(,)(,)(abMdxxfafMxfbaxfb
2、a 解答 _ 。有由定积分的比较定理又则微分中值定理上满足在由假设可知证明2)(2)()( , )()( ),( M,( x )f x)( a , )( )()()( , ,)(),(,:abMdxaxMdxxfaxMxfbaxaxfafxfxfxaxfbaxbaba题目 16证明题 。证明：上连续，在设 aa dxxafxfdxxfaaxf0 2 0 )2()()()0( 2,0 )( 解答 _ 。，则令由于aaaaaaaadxxafxfdttafdxxfdxxfdtdxtaxdxxfdxxfdxxf0 0 0 2 0 2 0 2 0 )2()( )2( )( )(2)()()(题目 5证明
3、题 。；为正整数，证明：设s in)2(c o s)1(22k x d xk x d xk解答 _ 。)02()02(2s in412122c o s1s in)2()02()02(2s in412122c o s1c o s)1(22kxkxdxkxk x d xkxkxdxkxk x d x题目 18证明题 一般 。试证且上有一阶连续导数在设1)(:.1)0()1(.1,0)(210 dxxfffxf解答 _ 。证明1 1)0()1(2 101)(2 )(2)( 1)(2)( 01)(2)(1)(:1010102222ffxfdxdxxfdxxfxfxfxfxfxf题目 3证明题 。则上连
4、续，在区间若函数)()()(, )( baba dxxabafabdxxfbaxf解答 _ 。时时且则作代换10 1 0 1 0 )(1)(1)()()(01)(,)(dxxabafabdttabafabdtabtabafdxxftaxtbxdtabdxtabaxba题目 21证明题 一般 。证明：上连续在设函数 2 0 2 0 )c o s(41)c o s(, 1,0 )( dxxfdxxfxf解答 _ 。得证则令在后一积分中为周期的函数是以显然证2 0 20 20 20 20 2 0 20 20 0 22220 0 2 0 )c o s(41)c o s()c o s(4)c o s()
5、c o s(2)c o s()c o s()c o s()c o s ()c o s(,)c o s()c o s(2)c o s(2)c o s()c o s(:dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdttftdtfdxxftxdxxfdxxfdxxfdxxfxf题目 22证明题 一般 。，则连续，且在若函数 0)()()()( xfdttfxfRxf xa 解答 _ 。已知常数考虑函数有且可导在连续在RxxfcceafdttfafceexfccxpexfxfexfexfxpRxexfxpxfxfxfdttfxfRxRxfRxfxaaxxxxxxxa0)(00)(0)()(
6、f ( x ) )()()(0)()()()()(.)()(0)()()()()()()(1题目 23证明题 一般 。证明：为周期的连续函数，是以设)()2()()( s i n)( 0 2 0 dxxfxdxxfxxxf解答 _ 。，则令证明：由于0 0 0 2 0 0 0 2 2 0 2 0 )()2( )()s i n()()(s i n )()(s i n )()s i n( )()(s i n( )()(s i n )()(s i n)()(s i n )()(s i n dxxfxdxxfxxdxxfxxdxxfxxdxxfxxdxxfxxdttfttxtdttfttdxxfxxd
7、xxfxx题目 24证明题 一般 成立。都有不等式对于任何试证明上连续且单调递减在设 1 00 )()(,1,0:, 1,0 )(dxxfqdxxfqxfq解答 _ 。故单调递减又即由于从而则令1 01 0 0 1 0 1 0 10 1 0 0 )()()()()()()(,)(,1)()()(,dttfqdtqtfqdxxfdttfdtqtftfqtfxftqtqdtqtfqqdtqtfdxxfqdtdxqtxqq题目 25证明题 一般 。证明且上单调增加在设2)()()()()()(:.0)(.,)(bfafabdxxfafabxfbaxfba 解答 _ 。有并相加分别代入上式将故又因之间
8、与在点处的展式为在时由假设证明)(2)()()( )(4)()(2 )(2)()()(2)()( )(2)()()(2)()( , )()()( .0) ( )xt ( )( (!21)()()( )(., )()()( )()( .,:2abbfafdxxfdxxfabafbfdxxfxdxxfbadxxfdxafbfxfxxfbaxfafbfatbtxtxfxftffxtfxtxfxftfxtfbatafabdxxfafxfaxbaxbababababababa题目 26证明题 一般 。上单调增在证明：，上连续且单调递增。，在设函数.,)()()( )( )(1)( )(baxFafaFb
9、xadttfaxxFbaxfxa 解答 _ 上单调增。在，从而，故满足且单调增上连续，则在从而连续在点时，当，由积分中值定理内的每个证明：对,)( b)x(a 0(x )F f(x ) f(x a .f(x ) bxa ) ()()( ()(1)()()(1)()( ,)(.)( )()() (lim)(lim a ax x) (a ) (a)-)(x (1)(1)( ,22axaxbaxFaxfxfaxfaxaxxfdttfaxaxxfxFbaxFaxFaFaffxFffaxdttfaxxFxbaxaxaQ题目 27证明题 一般 。证明上二阶可导且在设)2()()( :,0)(,)(bafa
10、bdxxfxfbaxfba 解答 _ 。由题设知之间与介于有处展开在将)2()()2)(2(21)2()()()2)(2()2()(0) (.)2bax ()2)( (!21)2)(2()2()(,2)( ),(212bafababbaxbafbafabdxxfbaxbafbafxffbaxfbaxbafbafxfbaxfbaxba题目 28证明题 一般 。内满足在，证明函数可导，且上连续，在在设0)( ),( )()(0)( , , )(xFbadtax tfxFxfbabaxfxa解答 _ 。又内递减在，故时，由已知b)( a , 0)(F0a-x) f()f(b)( a , x, ),(
11、 )(0)(),(.)() ()( a , )() ()()()()()()()()(22xxxxabaxfxfbaxaxfxfxaxfaxxfaxaxdttfxfaxxFxa题目 29证明题 一般 。，则，使同时至少存在一点，上连续，且对于一切在试证：如果0)(0) f(ba , 0)(,)(b a dxxfxfbaxbaxf 解答 _ 。于是时，有，当则存在，点连续，且在由证明0)( 0) ( 2 ) ()( 0f ( x ) ) , - (x0 b a , 0) ( )( :ba- badxxffdxfdxxffxf题目 30证明题 一般 。试证 )()( ac bcba dxxfdxx
12、cf 解答 _ 。时时且则令acbcbcacbcacbadxxfdttfdttfdxxcfbctbxactaxdtdxtcxxct)()()()(,题目 31证明题 一般 。，使内至少存在一点试证在上可微，且满足等式：在设函数) f(-) (f )1,0(0)(2)1( 1,0)(210 dxxxffxf解答 _ 。即有上用罗尔定理在对函数则令即成立使有则由积分中值定理由于)1,0( ) f(-) (f)1,0( 0, ) ()( ( 0 , 1 ), 1 ) ( ,0) (,1, )();1() ( ),()(0) ( )1(,0) ( 212)1(,21,0 ,0)(2)1( 111111
13、11210 ffFxFFFxxfxFffffdxxxff题目 32证明题 一般 。证明都有上的连续函数并且对于每一个在上连续在设b)x(a 0)( :0)()().(,)(xfdxxfxgxgbabaxfba解答 _ 。这与题设矛盾故且其中如下构造连续函数从而有内即在区间时当存在故对连续处在由于不妨设使设有若不然证明bxa 0)( 0)(2)()()( )()( 0)(lim)(lim ) .x -(xx.0)( ) .x -(x x )(b, (x -x, x 0)( :)( 02)()( .2)()f (x-f (x ) ,) x, -(x, x-x 0. .2)(, )(.0)( .0)
14、(),(,:x-x0x-x)()(000000000000000000000000xfdxxhxfdxxfxhdxxfxgxhxhxhxhaxgxgxfxfxfxfxxfxfxfbaxbaxxxx题目 33证明题 难 。则，且上有连续导数在设函数dxxfabdxxfxfafxfbaxfbaba2 )(2 )()(0)( ( ,)( 解答 _ 。由柯西不等式，有则令dxxfabdxxfxfdxxfabdxxFdxdxxFbFbFdxxFxFdxxfxfxfafxfaxtfdttfxxdttfxFbabababababababaxaxa222222)(2)()()()( )( )()()( )()
15、(2 )()(2)( )()( )( )()F(ba )()(题目 34证明题 难 。，使存在一个，则在该区间上必上二阶连续可微，其中在设) ()(!31 )()(!21)()()(0,)(03322bafabafabfbaafbbfdxxfbabaxf解答 _ 。于是使连续，于是存在在由于令其中代入上式，并相减，有，分别将令公式，有处展成二阶在将，则令) ()(!31)()(!21)()()() ()() () ( ) () () (,)x()() () ()() (), (m a x) (), (m i nm) () (!31)()(!21)()()(b)( 0 , ( a , 0 ) )
16、 () (!31)()(!21)()()()(00xt)( x , ) ()(!31)( (31)(!21)()()()( )()()().()()()(0)()()(03322ba033132303313230231323332121132322ba2113232203332fabafabfbaafbbfdxxffabfafbfabfafbbafabMfafbabmffMfffafbafabfbaafbbfdxxffafbbfbafaaafbbfbFaFbtatfabtxFtxtFtxtFtFxFT a y l o rbtatxxFxfxFxfxFxfxFaFdttfxFxa题目 35证明题
17、 难 。则，对称，且关于若)()(2)()(2 bTabTba dxxfdxxfdxxfbTaTxxf解答 _ 。，则，注意到令证明：因为babTTabTbTabTbTbTbTbTTbTTTabTadxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdttfdttTfdxxftftTftTxdxxfdxxfdxxf2 2 2 2 )( )()()(2 )()(2 )( )()2()( )()2(2 )()()(题目 36证明题 难 。试证 2211 1 0 42 0 4 dxxxdxxI 解答 _ 。时，时，则令时，时，当，则令22)2(2(2212/2212121012)1()1(211
18、112111211112111)1()1(1111001120 20 2220 420 420 40 420 420 240 42a r c t g uduuIuxuxxxuxxxxddxxxxdxxxdxxxdxxIdxxxdtttdtttdxxtxtxdttdxtx题目 37证明题 难 为奇函数。偶函数的原函数中有一数皆为偶函数，证明奇函数的一切原函解答 _ 偶函数。即它的一切原函数都是，均有切为奇函数时，显然对一，即当函数，则其它原函数都不是奇时，但当是奇函数即为偶函数时即当为任意常数的全部原函数可表示为上有定义，则在设证明：)()()()()()()()()(2)(2)()()()(0
19、)()()()(0)()(f ( x )f ( x ) .f ( - x )lxl- c )()()(,)(0000000000000xFcdttfcdttfcdttfxFcxfxfxfxFcxFccxFcxFcxFxFcxFxFdttfdttfdttfxFcdttfxFxfllxfcxxxccccxxxxc题目 38证明题 难 内有且仅有一个实根。在证明：，又上连续，且在设, 0)()(1 )()(0)(,)( baxFdttfdttfxFxfbaxf xbxa 解答 _ 内有且仅有一个实根。，在性定理知由连续函数的根的存在上严格单调增加。在，从而,0)(0)()(1)()(0)()(1)(
20、)(, )(02)(1)()(21)(01)(2)()1)(0)()(1)()(1)( )(1 )()(2222211baxFtfdtdttfdttfbFtfdtdttfdttfaFbaxFxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfdttfdttfxFbabbbabaabaaxbxa题目 39证明题 难 。有时当证明 1)(1)(, 1 :1 2 1 222 aa dxxxaxfdxxxaxfa解答 _ 右式。左式即得将它与第一个积分相加有令在第二个积分中左式，则令证明aaaaaaaaaaaaauduuauftdttatfuduuaufduuuuafduuaauuuaftdttatfua
21、ttdttatftdttatfdtttatfdttttatfdxxxaxfdttdxx d xdttx1 21 21 21 21 22222221 21 21 21 2222)(21)(21)(21)1)(21)1()(21)(21, )(21)(2121)( 21)( 1)( 212:2222题目 40证明题 难 。则：，连续，且在若函数AdttfxAxfxfxxx0 )(1l i m)(l i m,0)(解答 _ 。即其中，有从而，对，有，使AdtAxdtAtfxdttfxdttfxAxBAdtAxdtAtfxdtAtfxdtAtfxdttfxdtAxdtAtfxdttfxdttfdttf
22、xdttfxAxfxBxxBxBxxxxxBxxBxxBxBBxxBxBBxBBxx1lim)(1lim)(1lim)(1lim)1(lim1lim0)(1lim)xB-(1 )(1)(10)(1lim1)(1)(1)()(1)(1BxA-f ( x )Bx0B0. )(lim000000题目 41证明题 难 。则若证明 ba ,x 0)(0)(: 2 xfdxxfba 解答 _ 。上知在上的连续性在再根据已知条件故使内不能有点即说明在这与假设条件矛盾于是且使的一个小区间存在含有点的连续性可知由则有使若有证明0)(,)( .).,(0)(,0) ( ,),(! 0 22)( )()()( )(
23、 , - x 2)( , , - , , - ,f (x ) 0 ) (f 0,) f(b) ,.( a , :2b22- 2222xfbabaxfbaxxffbadxxfdxxfdxxfdxxfdxxfxfbaaba题目 42证明题 难 。证明：上连续，在设函数b)x(a )()()()(1lim, )( 0 afxfdttfhtfhbaxfxan 解答 _ 。之间在之间，在其中故则设证明。则设证明)()( ) () (1lim )()(1lim , , ) () ( )()( )()()()( )()( )()()( u,ht:2f( a )-f( x )(a ) -(x ) (a ) h
24、)(a -(x ) -h)(x 1lim (a ) (x ) -h)(a -h)(x 1lim )()(1lim f( x )(x ) )(x ) :121002121ha a h xxxh xh xha ha a h xha xa h xha h xha xa 000afxfffhdttfhtfhhaahxxhfhfdttfdttfdttfdttfdttfdttfdttfhtfdttfduufdthtfhhhdttfhtfhdttfnxannnxanxa题目 43证明题 难 。证明为任一连续函数又且处处二阶可导设0)(a )(1)(1:,)(0)(,)(00 dttuafdttufatuxf
25、xfaa解答 _ 。有积分到从则令有公式由证明)(1)(10)(a )(1( )()()(1()(1()( ,a0 )(a1- ( u ( t )(a1f)(a1f(f ( u ( t ) ) u ( t ) x )(1)()(f ( x ) 0( x )f x),(x .)( (!21)()()( ,:00000000000000020000dttuafdttufadttuaafdttudttudttuafdttuaafdttudttudttudttudttuaxxxxfxfxxfxxxfxfxfT a y l o rbabaaaaaaaaaaa题目 44证明题 难 。收敛，则且无穷积分一致
26、连续，在证明：若函数0)(lim)(),0)(0 xfdxxfxfx 解答 _ 。这与已知条件矛盾发散，定叙述根据柯西收敛准则的否有，于是存在正常数或从而，有，则若从而，式，有，由，则若，矛盾异号，则有与必同号，否则若与，有，从而，有，、使，上一致连续，即对在已知，有，且从而，存在数列，有，则设0)(lim!)(,2)(,022)(22)(2)(0)(0)(22)(2)()1(0)(0)(!)()()()()()()()(,( 1 ) 22)()(|)(|)(|2)()(,2)()(,),0,02),0)()f(xlim)f(xn Nn0 0)(lim0 00000000000000000n0
27、n0xfdxxfdxxfNndxxfdxdxxfxfxfxfdxdxxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxxxxfxfxfxfxfxfxxxxxxfxfxxaxxxfxxxxfxxxxxxxxxnxxxxnnnnnnnnnnnnnnnnnxnnnnnnnnnnnn2003年 12月 02日 - 4 -3 微积分在积分不等式中的应用不等式是数量之间大小的比较，而通过比较可以显示出变量变化之间相互制约的关系因此，从某种意义上来讲, 积分不等式也不例外.在数学分析中积分比等式的尤为重要许多的积分不等式在数学分析中都起到了至关重要的作用所以对积分不等式的研究无论是实际应用，还是理论分析都有
28、重要的意义3.1 微分证明积分不等式微分在积分不等式中的应用主要是利用微分中值定理、泰勒公式、函数的单调性、极值、最值、凸函数法等来证明积分不等式以下对这些方法分别做详细的介绍.3.1.1 Lagrange中值定理证明积分不等式 引理3.1.1.1 10(Lagrange中值定理) 如果函数 ，满足下列条件: )(xfy (1)在闭区间 上连续； ba,(2)在开区间 内可导， ),( ba则在区间 内至少存在一点 ，使得 ),( ba ab afbff )()()(由于 在 ba, 之间，因此 )(f 将有一个取值范围，即 ab afbff )()()( 有一个取值范围，这样就得到了一个不等
29、式因此，可利用 在区间 ),( ba 内的特点证明积分不等式例3.1.1.1 若函数 )(xf 在 ba, 上具有连续的导数，且 0)()( bfaf .试证明 dxxfabxf babax )()( 4)(max 2, .证 由于 dxxfdxxfdxxf b babaaba 22 )()()( ，记 )(max , xfM bax .由Lagrange中值定理知临沂大学2013本科毕业论文（设计）- 5 -axMff)()(，其中 )2,(bax， ),(a. bxxff)(，其中 ),2(bax， ),(.因此 8)()(222abMdxdxfbaba；8)()(222abdxdxfba
30、ba.从而 4)(8)()(22abMdxfba，即 dxfabMb)()(42.例3.1.1.2 设函数 f在 2,0上具有连续的导数， 1)2(0f，且1)(xf，证明： 1)(2dx.证 由Lagrange中值定理知 xff)(10)(，其中 )01(xx， ；临沂大学2013本科毕业论文（设计）- 6 -)2(1)(xfxf，其中 )21(x， .所以 21)()(0110dxfxf；21)()2()(2121dxfdxf.因此 1)()()(21021dxfxfdf.例3.1.1.3 设 在 上可导，且 ， ，求证：)(xfba, Mf)( 0)(af2)(bdxf.证 由Lagra
31、nge中值定理知 )()(axff.其中 ）（ xa,又 ， ，故 .Mf)( 0)(f )()Mf则 2)(abdxdxfbba.3.1.2 Taylor公式证明积分不等式引理3.1.2.1 10(Taylor中值定理） 如果函数 中含有 的某个开区间)(xf0内具有直到 阶的导数，对意 有),(ba1n),(bax临沂大学2013本科毕业论文（设计）- 7 -)()(!2)()(002000 xRxnffxff n （3.1.2.1）其中 101)()!)(nnnxfx）（， （3.1.2.2） 这里 是 与 之间的某个值0x公式（3.1.2.1）称为 按 的幂展开的带有Lagrange型
32、余项的)(xf)0n阶Taylor公式，而 表达式（3.1.2.2）称为Lagrange型余项nR利用泰勒公式证明积分不等式的一般方法是将函数 在所给区间的端点)(xf或特定点（如区间的中点、零点）展开，通过分析余项在点 的性质，从而得到结果例3.1.2.1 设函数 )(xf在 ba,上具有连续的二阶导数， 0)(bfaf,令 ma,fMbx，证明 3)(12)(aMdxfa.证 对 ，由Taylor公式知 .)(2)()( 2 baxfxfxf ，注意到 ，因此有0)(bfaf dxafdxf dxafdxafdxbaba baaa 2 2 )()( )()()(|，移项，整理得 32)(1
33、4)(abMdxdxfbba.例3.1.2.2 设函数 在 上具有连续的二阶导数，且 ，证明：)(xf2,0 0)1(f临沂大学2013本科毕业论文（设计）- 8 -)(max31)(2,020fdf.证 由Taylor公式知，对 ，将 在 处展开，得2,0)(xf12 !1)(1() fxf ， ),(x.由 ，有0)(f )(max31)1(ax2)(2,0 20,022f dxfddxf.故命题成立.例3.1.2.3 设函数 )(xf在 b,上具有二阶连续的导数，且 0)2(baf，记 )(sup,fMbax，试证明： 24)()(3abMdxfba.证 将 )(xf在 2点Taylor
34、展开，并注意到 0)(bf.得2 )(!2)()( axfbaxf ，因此 dxbaxf dxbxfdxfba baba 2 2 )(!21 )(!1)(.故 24)()!)(32abMxxfdxfba.3.1.3 函数的单调性证明积分不等式单调函数是一类很重要的函数，常在积分不等式证明中使用，运用导数可临沂大学2013本科毕业论文（设计）- 9 -以判断出函数的单调性.引理3.1.3.1 10 设函数 在 上连续，在 内可导.)(xfy,ba),(ba（1）如果在 内 ，那么函数 在 上单调递增；),(ba0f xfy（2）如果在 内 ，那么函数 在 上单调递减.,利用函数的增减性证明积分不
35、等式的步骤为：（1）通过恒等变换(形)构造合适的辅助函数 （构造辅助函数一般的方)(xF法是，直接将不等号右端项移至不等号左端，令不等号右端为零，左端即为所求的辅助函数）；（2）求 在所给区间上的一阶导数，然后判别一阶导数在此区间上的符)(xF号；（3）有时需要求 在所给区间端点的函数值或极限，以便作出比较，即)(可得到所要证明的结果例3.1.3.1 设 xf在 1,0上连续，且单调递减， 0)(xf.求证对满足0的任何 ， 有 ddxf)(0.证 令 tdtfxFx)()(0， ，由题意可知 0)()(0dtxftxF.因此 在 上单调递增，从而 .)(xF1,0 )1()F即 dxfdf)
36、(0.例3.1.3.2 设 在 上连续，且单调递增，证明,badxfbaxf)(2)(证 构造辅助函数 ftdftFata)(，显然 ，对任意的 ，有0)(a,bt临沂大学2013本科毕业论文（设计）- 10 -dxftat tfadxffFatat )(21)(2)(21)( ，其中 ),(tax因为 单调递增，则 ，故 单调递增，f 0)(tF)(t因此 .bF故 dxfbadxfba )(2)(例3.1.3.3 设 ， 和它们的平方在区间 上可积，证明不等式)(xfgba,（Schwarz不等式） dxgxfdxf ababa )()()(222.证 构造函数令 222 )()()( f
37、gdxftFtatata，则当 时， 0)()( )()()( 22 dxtgfxtf dxgftftta atat.于是可知 单调不减，又 ，所以 .)(tF0)(aF0)(bF即得证 dxgxfdxgf bbba 222 .3.1.4 函数凹凸性证明积分不等式定义3.1.4.1 10 设 在区间 上有定义,若对 上的任意任意两点 和任意实数 恒)(xfII21,x)1,0(有，)()()1( 212fxfxf 则称 在 上是凸函数.反之，如果总有)(xfI，2121 xfff临沂大学2013本科毕业论文（设计）- 11 -则称 在 上是凹函数)(xfI如果函数 在 内具有二阶导数,那么就能
38、利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性.下面就是曲线凹凸性的判定定理.引理3.1.4.1 10 设 在区间 上二阶可导,那么)(xfI(1)若在 上 ,则 在 上为凸函数；I0f(2)若在 上 ,则 在上 为凹函数.f例3.1.4.1 设 是 上连续的凸函数，即对 , ，)(xfba, bax,2121x及 ，有1,.)()()1212fxff 试证明： ()2( badfabf.证 )2()(21)(21)(bafdxxfdbafxxdfbababa.从而得左不等式，下证右不等式 bax,，有 baxx，从而 )()()(fff.两边积分得 2bfabdxfba.于是得右不等式.故命题成立.3
39、.2 积分证明积分不等式3.2.1 定积分性质证明积分不等式临沂大学2013本科毕业论文（设计）- 12 -运用定积分的性质证明积分不等式是比较简单的做法，在解某些积分不等式时，能得出良好的结果例3.2.1.1 若函数 在 上连续，且 ，求证：)(xfba, 0)(xfdadxfbln1)(1ln.证 将区间 ba,进行n等分，并设 )(ii， ),10(ni.于是， nxi)( .利用 xl在 ,0是凹函数，则 )(1ln)(l1iinii xff.即 )(l()(ln11iiii fabxfab .由假设条件知， 与 在 上都连续，因此可积，在上式中令f)lf,，则由定积分定义及 的连续性可得：(nx)(1l)l1 niiii ii x
