1、专题 11：圆一、选择题1.(2017 福建第 8 题)如图， AB是 Oe的直径， ,CD是 Oe上位于 AB异侧的两点下列四个角中，一定与 ACD互余的角是（ ）A DC B AD C BA D BA【答案】D【解析】AB 是直径，ADB=90，BAD+B=90，ACD=B，BAD+ACD=90，故选 D.2. (2017 河南第 10 题)如图，将半径为 2，圆心角为 的扇形 绕点 逆时针旋转 ，点 ，120O60O的对应点分别为 ， ，连接 ，则图中阴影部分的面积是（ ）BOBA B C. D232323243【答案】C.【解析】试题分析：连接 O 、 B，根据旋转的性质及已知条件易证
2、四边形 AOB 为菱形，且 O OB=O B=60，又因A =A B=120，所以B =120，因O B+B OBOB=120+60=180，即可得 O、 、 三点共线，又因 = B，可得 B= B ，再由 O B= B+ B =60，可得 B= B =30，所以OB 为 Rt 三角形，由 锐角三角函数即可求得 B = ,所以 ，23 2 160S233OBO:阴 影 扇 形故选 C.考点：扇形的面积计算.3. （2017 广东广州第 9 题）如图 5，在 中，在 中， 是直径， 是弦， ，垂足为O:ABCDAB，连接 ，则下列说法中正确的是（ ）E0,2COADBA B C. D 2DOCE
3、O04CE2BOCAD【答案】D考点： 垂径定理的应用4. （2017 广东广州第 6 题）如图 3， 是 的内切圆，则点 是 的（ ）O:ABCOABC图 3A 三条边的垂直平分线的交点 B三角形平分线的交点 C. 三条中线的交点 D三条高的交点【答案】B【解析】试题分析：内心到三角形三边距离相等，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，故选 B。考点： 内心的定义5. （2017 山东临沂第 10 题）如图， 是 的直径， 是 的切线，若 ，ABOeBTOe45ATB，则阴影部分的面积是（ ）2ABA2 B C1 D324124【答案】C考点：1、圆的切线，2、圆周角定理，3、等腰直角
4、三角形6. （2017 山东青岛第 6 题）如图，AB 是O 的直径，C，D，E 在O 上，若AED20，则BCD 的度数为（ ）A、100 B、110 C、115 D、120【答案】B【解析】试题分析：如下图，连接 AD，AD，根据同弧所对的圆周角相等，可知ABD=AED20，然后根据直径所对的圆周角为直角得到ADB90，从而由三角形的内角和求得BAD70，因此可求得BCD=110.故选：B考点：圆的性质与计算7. (2017 四川泸州第 6 题)如图， AB是 O:的直径，弦 CDAB于点 E，若 8,1AE，则弦CD的长是（ ）A 7 B 2 C D 8 【答案】B.【解析】试题分析：已
5、知 AB=8，AE=1，可得 OA=4，OE=3,连结 OC，在 RtOCE 中，根据勾股定理可得 CE= ，又7因 CDAB，根据垂径定理可得 CD=2CE=2 ，故选 B.78. (2017 山东滨州第 5 题)若正方形的外接圆半径为 2，则其内切圆半径为（ ）A 2 B2 C D1【答案】A.【解析】如图，由题意得，OA=2，AOM 是等腰直角三角形，根据勾股定理可得 OM= ，故选 A.29. (2017 山东日照第 9 题)如图，AB 是O 的直径，PA 切O 于点 A，连结 PO 并延长交O 于点 C，连结AC，AB=10，P=30，则 AC 的长度是（ ）A B C5 D【答案】
6、A.试题分析：过点 D 作 ODAC 于点 D，AB 是O 的直径，PA 切O 于点 A，ABAP，BAP=90，P=30，AOP=60，AOC=120，OA=OC，OAD=30，AB=10，OA=5，OD= AO=2.5，12AD= = ，253AODAC=2AD=5 ，故选 A考点：切线的性质10. (2017 辽宁沈阳第 10 题)正方形 内接与 ，正六边形的周长是 12，则 的半径是（ ABCDEFO:O:）A. B.2 C. D.3223【答案】B.【解析】试题分析：已知正六边形的周长是 12，可得 BC=2，连接 OB、OC，可得BOC= ，所以BOC 为036等边三角形，所以 O
7、B=BC=2，即 的半径是 2，故选 B.O:考点：正多边形和圆.11. (2017 江苏宿迁第 6 题)若将半径为 的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半1cm径是A B C. D2cm3c46c【答案】D.【解析】试题分析：这个圆锥的底面圆半径为 r，根据圆锥的底面圆的周长等于圆锥侧面展开扇形的弧长，可得，解得 r=6cm，故选 D.90128r12. (2017 山东日照第 15 题)如图，四边形 ABCD 中，AB=CD，ADBC，以点 B 为圆心，BA 为半径的圆弧与BC 交于点 E，四边形 AECD 是平行四边形，AB=6，则扇形（图中阴影部分）的面积是 【答案】6试
8、题分析：四边形 AECD 是平行四边形，AE=CD，AB=BE=CD=6，AB=BE=AE，ABE 是等边三角形，B=60，S 扇形 BAE= 6，2603考点：扇形面积的计算；平行四边形的性质13. （2017 江苏苏州第 9 题）如图，在 中， ， 以 为直径的 交RtCA9056AC:于点 ， 是 上一点，且 ，连接 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，AD:DFF则 的度数为FA B C. D9210812124【答案】C.【解析】试题分析： ， ， C90A5634B:1D82BOE，12F故答案选 C.考点：圆心角与圆周角的关系.14. (2017 浙江金华第 7 题)如图，在半径为
9、 的圆形铁片上切下一块高为 的弓形铁片，则弓形弦13cm8cm的长为（ ）ABA B C. D10cm16c24cm26cm【答案】C.【解析】试题分析：作 OCAB 交点为 D，交圆于点 C，OB=13cm，CD=8cm，OD=5cm；在 RTBOD 中，根据勾股定理可求得 BD=12cm，再由垂径定理可得 AB=2BD=24cm，故选 C.15. (2017 湖南湘潭第 7 题)如图，在半径为 4 的 O:中， D是直径， AB是弦，且 CDAB，垂足为点 E， 90AOB，则阴影部分的面积是（ ）A.4 B 2-4 C. D.2 【答案】D.【解析】试题分析：已知 CDAB，所以 45B
10、OC，即可得 2360452rnSAOC扇 形阴 ，故选 D.二、填空题1.(2017 北京第 14 题)如图， 为 的直径， 为 上的点， .若 ，则AB:D、 :AD04ABCAD【答案】25.考点：圆周角定理2.（2017 广东广州第 15 题）如图 8，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 120的扇形，若圆锥的底面圆半径是 ，则圆锥的母线 5l【答案】 35【解析】试题分析：扇形的弧长和圆锥的底面周长相等，即： ，解得： 12058ll35考点： 圆锥的底面周长与侧面展开图的弧长关系.3. （2017 湖南长沙第 15 题）如图， 为 的直径，弦 于点 ，已知 ，则ABOABCDE1,6E
11、BCD 的半径为 O【答案】5【解析】试题分析：设圆的半径为 r，根据垂径定理可知 CE=3，OE=r-1，然后勾股定理可知 ，解得223+(r-1)r=5.故答案为：5.考点：1、垂径定理，2、勾股定理4. （2017山东青岛第12题）如图，直线AB与CD分别与O 相切于B、D两点，且ABCD，垂足为P，连接BD.若BD4，则阴影部分的面积为_。【答案】2-4【解析】试题分析：如下图连接 OB，OD，根据切线的性质，由直线 AB 与 CD 分别与O 相切于 B、D 两点，可知 ABOB，PCOD，再结合 ABCD，可得到四边形 BOPD 是正方形，从而求得 2r，然后可求阴影部分的面积为42
12、21r2ODBSS扇 形阴考点:弓形面积5.（2017 山东青岛第 13 题）如图，在四边形 ABCD 中，ABCADC90，E 为对角线 AC 的中点，连接 BE、ED、BD，若BAD58，则EBD 的度数为_度【答案】32【解析】试题分析：如下图由ABCADC90，E 为对角线 AC 的中点，可知 A，B，C，D 四点共圆，圆心是 E，直径 AC 然后根据圆周角定理由BAD58，得到BED116，然后根据等腰三角形的性质可求得EBD=32.故答案为：32.考点:1、圆周角性质定理，2、等腰三角形性质6.（2017 江苏苏州第 16 题）如图， 是 的直径， 是弦， ， 若用A:CA3C2A
13、扇形 （图中阴影部分）围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是 CA【答案】 12【解析】试题分析： C260AOC， 3r60318lr1.考点：圆锥的侧面展开图的弧长等于地面圆的周长.7. (2017 山东菏泽第 12 题)一个扇形的圆心角为 10，面积为 215cm，则此扇形的半径长为_.【答案】 63.【解析】试题分析：根据扇形的面积公式可得 ，解得 .210536r36r8. （2017 浙江湖州第 14 题）如图，已知在 CA中， 以 A为直径作半圆 ，交 C于点D若 C40A，则 :D的度数是 度【答案】140考点：圆周角定理9. （2017 浙江湖州第 15 题）如图，已知
14、 30A，在射线 A上取点 1，以 为圆心的圆与相切；在射线 1A上取点 2，以 为圆心， 21为半径的圆与 相切；在射线 2A上取点 3，以 3为圆心， 32为半径的圆与 相切； ；在射线 9上取点 10，以 10为圆心， 109为半径的圆与 相切若 1:的半径为 ，则 10:的半径长是 【答案】512（或 29）【解析】试题分析：根据切线的性质，和 30角所对直角边等于斜边的一半，可知 OO1=2，然后同样可知O1O2=2=21，OO 3=22=22，OO n=2n-1，因此可得第 10 个为 210-1=29=512.故答案为：512.考点：1、圆的切线，2、30角的直角三角形10. (
15、2017 湖南湘潭第 13 题)如图，在 O:中，已知 120AB，则 ACB 【答案】60【解析】试题分析：根据圆周角定理，同一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，即可得 ACB60.11. （2017 浙江台州第 13 题）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 ,B的夹角为 120,长为 30厘米，则 :BC的长为 厘米 （结果保留 ）【答案】20【解析】试题分析：根据弧长公式 可得：弧 BC 的长= = =20.180nrl180nr230故答案为：20.考点：弧长的计算12. （2017 浙江台州第 16 题）如图，有一个边长不定的正方形 ABCD，它的两个相对的顶点 ,AC分别在边
16、长为 1 的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点 ,在正六边形内部（包括边界） ，则正方形边长a的取值范围是 【答案】 （ ）632a23+1a【解析】试题分析：因为 AC 为对角线，故当 AC 最小时，正方形边长此时最小.当 A、C 都在对边中点时（如下图所示位置时） ，显然 AC 取得最小值，正六边形的边长为 1，AC= ,3a 2+a2=AC2= .(3)a= = .6当正方形四个顶点都在正六边形的边上时，a 最大（如下图所示）.设 A（t, ）时，正方形边长最大.32OBOA.B（- ，t）32设直线 MN 解析式为：y=kx+b,M（-1，0） ，N（- ， - ） （如下图）12
17、3 .132kb .3kb直线 MN 的解析式为：y= （x+1）,3将 B（- ， t）代入得：t= - .22此时正方形边长为 AB 取最大.a= =3- .2233()+()3故答案为： .6a考点：1、勾股定理，2、正多边形和圆，3、计算器三角函数，4、解直角三角形13. (2017 浙江舟山第 13 题)如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径 的 ， ，弓形cm8O09AB（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为 ACB【答案】 （32+48）cm【解析】试题分析：连接 OA，OB，因为弧 AB 的度数是 90，所以圆心角AOB=90，则 S 空白 =S 扇形 AOB-SAOB =（cm
18、2）,S 阴影 =S 圆 -S 空白 =64-（16-32）=32+48（cm 2）.2290816336考点：扇形面积的计算.三、解答题1. (2017 北京第 24 题)如图， 是 的一条弦， 是 的中点，过点 作 于点 ，过点ABO:EABECOA作 的切线交 的延长线于点 .BO:CED（1）求证： ； DBE（2）若 ，求 的半径.12,5AO:【答案】 （1）见解析；（2） 12【解析】试题分析:(1)由切线性质及等量代换推出4=5，再利用等角对等边可得出结论；（2）由已知条件得出sinDEF 和 sinAOE 的值，利用对应角的三角函数值相等推出结论.本题解析：（1）证明：DCO
19、A, 1+3=90, BD 为切线，OBBD, 2+5=90, OA=OB, 1=2，3=4，4=5，在DEB 中, 4=5，DE=DB.(2)作 DFAB 于 F,连接 OE,DB=DE, EF= BE=3，在 RTDEF 中，EF=3，DE=BD=5，EF=3 , DF=12sinDEF= = , AOE=DEF, 在 RTAOE 中，sinAOE= , 2534DFE45 45AEOAE=6, AO= .15考点：圆的性质，切线定理，三角形相似，三角函数 2. (2017 天津第 21 题)已知 是 的直径， 是 的切线， ， 交 于点 ，ABOATO05ABTC是 上一点，延长 交 于
20、点 .EABCED（1）如图，求 和 的大小；TCDB（2）如图，当 时，求 的大小.EO【答案】(1) T=40，CDB=40；（2）CDO =15.【解析】试题分析：(1)如图，连接 AC,根据切线的性质定理可得TAB=90，即可求得T 的度数；根据直径所对的圆周角为直角可得ACB=90，即可求得CDO 的度数. （2）如图，连接 AD,在BCE 中，求得BCE=BEC=65,根据圆周角定理的推论可得BAD=BCD=65，因 OA=OD，根据等腰三角形的性质可得ODA=OAD=65，即可得CDO=ODA-ADC=15. 试题解析：(1)如图，连接 AC, 是 的直径， 是 的切线，ABOA
21、TOATAB,即TAB=90. ，05TT=90-ABT=40由 是 的直径，得ACB=90，ABOCAB=90-ABC=40CDB=CAB=40;（2）如图，连接 AD,在BCE 中，BE=BC，EBC=50，BCE=BEC=65,BAD=BCD=65OA=ODODA=OAD=65ADC=ABC=50CDO=ODA-ADC=15.3. (2017 福建第 21 题)如图，四边形 ABCD内接于 Oe， AB是 的直径，点 P在 CA的延长线上，45CADo（）若 4AB，求弧 CD的长；（）若弧 弧 ， AP，求证： D是 Oe的切线【答案】 （） CD的长 =；（）证明见解析.【解析】试题
22、分析：（）连接 OC，OD，由圆周角定理可得COD=90，然后利用弧长公式即可得；（）由 BC=AD，可得BOC=AOD ，从而可得AOD=45 ，再由三角形内角和从而可得ODA=67.5，由 AD=AP 可得ADP=APD，由CAD=ADP+APD，CAD=45可得ADP=22.5，继而可得ODP=90，从而得 PD 是O 的切线.试题解析：（）连接 OC，OD，COD=2CAD，CAD=45，COD=90，AB=4，OC= 12 AB=2， CD的长 =90218 =；（） BC=AD，BOC=AOD ，COD=90，AOD= 1802COD =45，OA=OD，ODA=OAD，AOD+O
23、DA+OAD=180，ODA= A=67.5，AD=AP，ADP=APD，CAD=ADP+APD，CAD=45，ADP= CAD=22.5，ODP=ODA+ADP=90，又OD 是半径，PD 是O 的切线.4. (2017 河南第 18 题)如图，在 中， ，以 为直径的 交 边于点 ，过点ABCABOACD作 ，与过点 的切线交于点 ，连接 .C/FABFD（1）求证： ；BDF（2）若 ， ，求 的长.10A4CB【答案】 （1）详见解析；（2） .5【解析】试题分析：(1)根据已知条件已知 CB 平分DCF，再证得 、 ，根据角平分线的性质定BDACF理即可证得结论；（2）已知 =10，
24、 ，可求得 AD =6,在 RtABD 中，根据勾股定理求得ABC4的值,在 RtBDC 中，根据勾股定理即可求得 BC 的长.BD试题解析：(1) ACABC=ACB /FBABC=FCBACB=FCB，即 CB 平分DCF 为 直径ABOADB=90，即 DACBF 为 的切线 F /CB BD=BF考点：圆的综合题.5. （2017 广东广州第 25 题）如图 14， 是 的直径， ，连接 ABO:,2ACBAC（1）求证： ；045CAB（2）若直线 为 的切线， 是切点，在直线 上取一点 ，使 所在的直线与 所在lO:lD,BAAC的直线相交于点 ，连接 ED试探究 与 之间的数量关
25、系，并证明你的结论；A 是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由BCD【答案】 （1）详见解析；（2） AE2BCD【解析】试题分析：（1）直径所对的圆周角是圆心角的一半，等弧所对的圆周角是圆心角的一半；（2）等角对等边；试题解析：（1）证明：如图，连接 BC.是 的直径， 2BEIAEO:90ACBACCB1809452（2）如图所示，作 于 Fl由（1）可得， 为等腰直角三角形.AB是 的中点. 为等腰直角三角形.OCOABAC又 是 的切线， l:ll四边形 为矩形 BE22FDBF303075DFABA，159157CE，,AEE当 为钝角时，如图所示，同样， ABD1,3
26、02BFDC8151509052ECEA， ，E（3）当 D 在 C 左侧时，由（2）知, AB:,30AEDCBA1,22,5AECBABA,30I在 中， Rt22EIECD2BECD当 D 在 C 右侧时，过 E 作 于 IABI由（2）得， 15ABCD:2ACEBEACD,15BAD30I在 中， RtIBE22IAECD2CD考点：圆的相关知识的综合运用6. （2017 湖南长沙第 23 题）如图， 与 相切于 ， 分别交 于点 ， ABOCBA,OED,:C（1）求证： ；OBA（2）已知 ， ，求阴影部分的面积34【答案】 （1）证明见解析（2） 2=3S阴 影试题解析：（1）
27、连接 OC，则 OCAB:CDEAOC=BOC在AOC 和BOC 中，90AOBCAOCBOC（ASA）AO=BO（2）由（1）可得 AC=BC= AB=123在 RtAOC 中，OC=2AOC=BOC=60 1=23=2BOCS603扇 形 2=3BOCSS阴 影 扇 形考点：1、切线的性质，2、三角形的面积，3、扇形的面积7. （2017 山东临沂第 23 题）如图， 的平分线交 的外接圆于点 ， 的平分线交BACABCVDABC于点 .ADE（1）求证： ；B（2）若 ， ，求 外接圆的半径.90C4DV【答案】【解析】试题分析：（1）由角平分线得出ABE=CBE，BAE=CAD，得出
28、，由圆周角定理得出:BDCDBC=CAD，证出DBC=BAE，再由三角形的外角性质得出DBE=DEB，即可得出 DE=DB；（2）由（1）得： ，得出 CD=BD=4，由圆周角定理得出 BC 是直径，BDC=90，由勾股定理求:BDC出 BC= =4 ，即可得出ABC 外接圆的半径2试题解析：（1） 平分 ， 平分 ， ，又ABEAC,BDCABE， ， , .BEDABDEBCEDBCABED.（2）解：连接 ， ， 是圆的直径. ， .C909090C， ， ， 是等腰直角三角形. ，:4. 的外接圆的半径为 .4BAB2考点：1、三角形的外接圆的性质，2、圆周角定理，3、三角形的外角性质
29、，4、勾股定理8. (2017 四川泸州第 24 题)如图， O 与 ABCRt的直角边 和斜边 AB分别相切于点 ;,DC与边BC相交于点 F,OA与 CD相交于点 E，连接 F并延长交 边于点 G.（1）求证： /（2）若 ,10,6B求 G的长.【答案】 （1）详见解析；（2）2.【解析】试题分析：（1）由弦切角定理和切线长定理证得 CD 垂直于 AO，再证得DAO=BDF，即可证得结论；（2）过点 作 与 ，根据勾股定理求得 BC=8，再求得 BD=4，由切割线定理可求得EOCM再由勾股定理求得 BC=4，利用射影定理求得 OE= ，利用相似三角形的性质即可求得 CG的;2BF 35长
30、.试题解析：（1）证明： 与 O 相切与点ABD（弦切角定理）FCD又 与 O 相切与点由切线长定理得： ;,AOCA,;BDFOC即：DF/AO（2）：过点 作 与ECM8,62ABC4,DD由切割线定理得： ,解得：BCF2 ;2F;31,6OBF52ACO由射影定理得： 53,2 OEAE解 之 得 ：235;536. ;518,;51EMCGFMFOCAE9. (2017 山东滨州第 23 题)（本小题满分 10 分）如图，点 E 是 ABC 的内心， AE 的延长线交 BC 于点 F，交 ABC 的外接圆 O 于点 D；连接 BD，过点 D 作直线 DM，使 BDM DAC（1）求证
31、：直线 DM 是 O 的切线；（2）求证： DE2 DFDA【答案】详见解析.试题解析：证明：（1）如图 1，连接 DO，并延长交 O 于点 G，连接 BG；点 E 是 ABC 的内心， AD 平分 BAC， BAD DAC G BAD， MDB G， DG 为 O 的直径， GBD90， G BDG90 MDB BDG90直线 DM 是 O 的切线；（2）如图 2，连接 BE点 E 是 ABC 的内心， ABE CBE， BAD CAD EBD CBE CBD， BED ABE BAD， CBD CAD EBD BED， DB DE CBD BAD， ADB ADB， DBF DAB， BD
32、2 DFDA DE2 DFDA10. (2017 辽宁沈阳第 22 题)如图，在 中，以 为直径的 交 于点 ，过点 做ABCO:ACE于点 ，延长 交 的延长线于点 ，且 .EFABEFCBG2（1）求证： 是 的切线；EFO:（2）若 ， 的半径是 3，求 的长.3sin5GCAF【答案】 （1）详见解析；（2） .24试题解析：(1)连接 OE，则 ,2EOGC AB /E FAB 09 0GEO又OE 是 的半径: 是 的切线；EF（2） ，2ABGCABGCBA=BC又 的半径为 3，O:OE=OB=OCBA=BC=23=6在 RtOEG 中，sinEGC= ，即 OEG35OG=5在 RtFGB 中，sinEGC= ，即 BF2BF= 65AF=AB-BF=6- = .24考点：圆的综合题.11. (2017 江苏宿迁第 22 题)（本题满分 6 分）
