1、 范文 范例 指导 参考 word 版 整理 抛物线典型例题 12 例典型例题一例 1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程（1） （2）yx42)0(2ayx分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出 p，再写出焦点坐标和准线方程（2）先把方程化为标准方程形式，再对 a 进行讨论，确定是哪一种后，求 p 及焦点坐标与准线方程解：（1） ，焦点坐标是（0，1） ，准线方程是：2p1y（2）原抛物线方程为： ，xay2ap1当 时， ，抛物线开口向右，0ap41焦点坐标是 ，准线方程是： ),( ax41当 时， ，抛物线开口向左，0aap412焦点坐标是 ，准线方程是： ),( ax
2、41综合上述，当 时，抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程是：0a2y)0,(x41典型例题二例 2 若直线 与抛物线 交于 A、 B 两点，且 AB 中点的横坐标为2kxyxy822，求此直线方程分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出 k 的方程求解另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求 k范文 范例 指导 参考 word 版 整理 解法一：设 、 ，则由： 可得：),(1yxA),(2yBxyk820482kx直线与抛物线相交， 且 ，则 k01k AB 中点横坐标为： ，28421x解得： 或 （舍去） 2k故所求直线方程为： xy解法二：设 、 ，则有 ),(1xA
3、),(2B2128xy两式作差解： ，即 )(8212xyy 2121，421x4)(2121 kkkx故 或 （舍去） 8k则所求直线方程为： 2xy典型例题三例 3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切分析：可设抛物线方程为 如图所示，只须证明 ，)0(2pxy 12MAB则以 AB 为直径的圆，必与抛物线准线相切证明：作 于 于 M 为 AB 中点，作lA1lB1,1于 ，则由抛物线的定义可知：lM1F1,在直角梯形 中：ABABF21)(2)(211 范文 范例 指导 参考 word 版 整理 ，故以 AB 为直径的圆，必与抛物线的准线相切ABM21说明：类似有：以椭圆
4、焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交典型例题四例 4（1）设抛物线 被直线 截得的弦长为 ，求 k 值xy42kxy253（2）以（1）中的弦为底边，以 x 轴上的点 P 为顶点作三角形，当三角形的面积为 9 时，求 P 点坐标分析：（1）题可利用弦长公式求 k， （2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求 P 点坐标解：（1）由 得：kxy240)4(22kxx设直线与抛物线交于 与 两点则有：),(1yA),(2yB4,122kxx)(5)(545)21( 212121 kxxxAB，即3)(5,3kk（2） ，底边长为 ，三角形高9S56392h点
5、 P 在 x 轴上，设 P 点坐标是 )0,(x则点 P 到直线 的距离就等于 h，即42y 561240或 ，即所求 P 点坐标是（1，0）或（5，0） 10x50典型例题五例 5 已知定直线 l 及定点 A（ A 不在 l 上） ， n 为过 A 且垂直于 l 的直线，设 N为 l 上任一点， AN 的垂直平分线交 n 于 B，点 B 关于 AN 的对称点为 P，求证 P的轨迹为抛物线分析：要证 P 的轨迹为抛物线，有两个途径，一个证明 P 点的轨迹符合抛物线范文 范例 指导 参考 word 版 整理 的定义，二是证明 P 的轨迹方程为抛物线的方程，可先用第一种方法，由 A 为定点， l
6、为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明 且PN即可PN证明：如图所示，连结 PA、 PN、 NB由已知条件可知： PB 垂直平分 NA，且 B 关于 AN 的对称点为 P AN 也垂直平分 PB则四边形 PABN 为菱形即有 NAlPNlAB则 P 点符合抛物线上点的条件：到定点 A 的距离与到定直线的距离相等，所以P 点的轨迹为抛物线典型例题六例 6 若线段 为抛物线 的一条21 )0(2:pxyC焦点弦， F 为 C 的焦点，求证： FP12分析：此题证的是距离问题，如果把它们用两点间的距离表示出来，其计算量是很大的我们可以用抛物线的定义，巧妙运用韦达定理，也可以用抛物线的定义与平
7、面几何知识，把结论证明出来证法一： ，若过 F 的直线即线段 所在)0,2(p21P直线斜率不存在时，则有 , pPF21 p12若线段 所在直线斜率存在时，设为 k，则此直线为： ，21 )0(2kpxy且设 ),(),(21yxP由 得：)2(pxky 04)2(22pkxpk范文 范例 指导 参考 word 版 整理 221)(kpx421根据抛物线定义有： pxPpxFPpx 212121,则 FP2121 4)(2)( 21121 xxx请将代入并化简得： pFP21证法二：如图所示，设 、 、 F 点在 C 的准线 l 上的射影分别是 、 、1P2，且不妨设 ，又设 点在 、 上的
8、射影分别是F 12mnP 21A、 B 点，由抛物线定义知， pFnP,12又 ，212P12PBA即 nmpp21)(故原命题成立典型例题七例 7 设抛物线方程为 ，过焦点 F 的弦 AB 的倾斜角为 ，求证：)0(2pxy 焦点弦长为 2sinAB分析：此题做法跟上题类似，也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题范文 范例 指导 参考 word 版 整理 证法一：抛物线 的焦点为 ，)0(2pxy)0,2(p过焦点的弦 AB 所在的直线方程为： )(tanxy由方程组 消去 y 得：pxy2)(tan0ta)(ta4ta22 x设 ，则),(),(21yxBA 4)cot21(tan)(21p
9、xp又 )(tan2121y2422221212sin1)cot(tsec4)tan(pppxxAB即 2iAB证法二：如图所示，分别作 、 垂直于准线 l由抛物线定义有：1ABcos1BFpBF于是可得出： Acos1p范文 范例 指导 参考 word 版 整理 2sinco1ssppBFA故原命题成立典型例题八例 8 已知圆锥曲线 C 经过定点 ，它的一个焦点为 F（1，0） ，对应于)32,(P该焦点的准线为 ，过焦点 F 任意作曲线 C 的弦 AB，若弦 AB 的长度不超1x过 8，且直线 AB 与椭圆 相交于不同的两点，求32y（1） AB 的倾斜角 的取值范围（2）设直线 AB 与
10、椭圆相交于 C、 D 两点，求 CD 中点 M 的轨迹方程分析：由已知条件可确定出圆锥曲线 C 为抛物线， AB 为抛物线的焦点弦，设其斜率为 k，弦 AB 与椭圆相交于不同的两点，可求出 k 的取值范围，从而可得的取值范围，求 CD 中点 M 的轨迹方程时，可设出 M 的坐标，利用韦达定理化简即可解：（1）由已知得 故 P 到 的距离 ，从而4F1x4ddPF曲线 C 是抛物线，其方程为 y2设直线 AB 的斜率为 k，若 k 不存在，则直线 AB 与 无交点232yx k 存在设 AB 的方程为 )1(xy由 可得：)1(42xy042kk设 A、 B 坐标分别为 、 ，则：),(1yx)
11、,(2 442121yky范文 范例 指导 参考 word 版 整理 22121221)(44)(kyykAB弦 AB 的长度不超过 8， 即8)1(42k12k由 得：23)1(2yxk 0)()3(22 x AB 与椭圆相交于不同的两点， 2k由 和 可得： 或12k2311故 或3tantan又 ，所求 的取值范围是： 或0 34432（2）设 CD 中点 、 、),(yxM),(3C),(yxD由 得：23)1(2yxk 01242kk9325132)1(,43 2132kxkx则 即 235x范文 范例 指导 参考 word 版 整理 3)1(23122xykxyk化简得： 0所求轨
12、迹方程为： )325(32xyx典型例题九例 9 定长为 3 的线段 的端点 、 在抛物线 上移动，求 的中点ABxy2AB到 轴的距离的最小值，并求出此时 中点的坐标y分析：线段 中点到 轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值这是中点坐y标问题，因此只要研究 、 两点的横坐标之和取什么最小值即可解：如图，设 是 的焦点， 、 两点到准线的垂线分别是 、 ，Fx2ABACBD又 到准线的垂线为 ， 、 和 是垂足，则MNCD231)(21)(21ABFBDACMN设 点的横坐标为 ，纵坐标为 ， ，则 xy4xMN451等式成立的条件是 过点 ABF当 时， ，故45x4121Py，2)( 21
13、2121xy范文 范例 指导 参考 word 版 整理 ， 21yy所以 ，此时 到 轴的距离的最小值为 ),45(My45说明：本题从分析图形性质出发，把三角形的性质应用到解析几何中，解法较简典型例题十例 10 过抛物线 的焦点 作倾斜角为 的直线，交抛物线于 、 两pxy2FAB点，求 的最小值AB分析：本题可分 和 两种情况讨论当 时，先写出 的表达22式，再求范围解：(1)若 ，此时 2pAB(2)若 ，因有两交点，所以 0，即 )2(tanpxyAB： 2tanpyx代入抛物线方程，有 0t故 ，22212 cs4tan4)( ppy22121tant)()(x故 422 cs)t(
14、cs4ppAB所以 因 ，所以这里不能取“=” sin2范文 范例 指导 参考 word 版 整理 综合(1)(2)，当 时， 2pAB2最 小 值说明：(1)此题须对 分 和 两种情况进行讨论；2(2)从解题过程可知，抛物线点弦长公式为 ；2sinpl(3)当 时， 叫做抛物线的通径通径是最短的焦点弦2AB典型例题十一例 11 过抛物线 的焦点 作弦 ， 为准线，过 、 作 的pxy2)0(FABlABl垂线，垂足分别为 、 ，则 为（ ） ， 为（ ） ABFA大于等于 B小于等于 C等于 D 不确定90990分析：本题考查抛物线的定义、直线与圆的位置关系等方面的知识，关键是求角的大小以及
15、判定直线与圆是否相切解：点 在抛物线上，由抛物线定义，则 ，A 21 AF又 轴 x/ 31 ，同理 ，264而 ， ，803906 选 C9FBA范文 范例 指导 参考 word 版 整理 过 中点 作 ，垂中为 ，ABMl M则 ABF21)(21)(21 以 为直径的圆与直线 相切，切点为 l又 在圆的外部， F90BA特别地，当 轴时， 与 重合， xMF90BA即 ，选 B90A典型例题十二例 12 已知点 ， 为抛物线 的焦点，点 在该抛物线上移动，)2,3(Fxy2P当 取最小值时，点 的坐标为_PMP分析：本题若建立目标函数来求 的最小值是困难的，若巧妙地利用FM抛物线定义，结合图形则问题不难解决解：如图，由定义知 ，故 PEF 213MNEPFM取等号时， 、 、 三点共线， 点纵坐标为 2，代入方程，求出其横坐标为 2，所以 点坐标为 P)2,(
