1、西安交通大学 线性代数与空间解析几何112 第二章 矩阵3 矩阵及其运算逆矩阵分块矩阵及其运算初等变换与初等矩阵43 矩阵的秩5西安交通大学 线性代数与空间解析几何2第一节 矩阵及其运算作业习题2.1(A) 1，2(3),7(2),10(1),11 西安交通大学 线性代数与空间解析几何3一、矩阵的概念定义2.1.1 (矩阵)由mXn个数排成m行n列的数表称为一个mXn矩阵，记作 行标列标jia西安交通大学 线性代数与空间解析几何4同型矩阵：两个矩阵的行数和列数分别相等 实矩阵，复矩阵n阶方阵:m=n, 主对角线，副(次)对角线1阶方阵a=a西安交通大学 线性代数与空间解析几何5特殊矩阵1 零矩
2、阵m n 个元素全为零的矩阵.记作 或 ，即Om nO 注意 不同的零矩阵未必相等. 主对角线元素都是1,其余元素全为0的n阶方阵。记为I或E,或In,En.2 单位矩阵西安交通大学 线性代数与空间解析几何63.行矩阵 仅有一行的1Xn矩阵. 12mbbb 4.列矩阵 仅有一列的mX1矩阵. 也称为行向量。也称为列向量。西安交通大学 线性代数与空间解析几何75.上(下)三角矩阵主对角线下(上)边的元素全为0的n阶方阵. 6.对角矩阵 主对角线以外的元素全为0的n阶方阵. 西安交通大学 线性代数与空间解析几何8定义2.1.2 (矩阵相等)设矩阵1, ,j n ），则称A与B相等，记为A=B. 例
3、如西安交通大学 线性代数与空间解析几何9二、矩阵的代数运算定义2.1.3 (矩阵加法)( )ij ij m nA B a b ( ) , ( )ij m n ij m nA a B b ，若规定注:只有同型矩阵才能进行加法运算.例如 2 10= 5 10 ( )ij m nB b ( )ij m nB b ，对于 称为负矩阵 ( ) ( )ij ij m nA B A B a b 西安交通大学 线性代数与空间解析几何10加法的运算规律:(2)( ) ( )A B C A B C (3)A O A (4) ( )A A O 定义2.1.4 (数乘矩阵)( ) , ,ij m nA a R ( )
4、ij m nA A a 若 规定 例如西安交通大学 线性代数与空间解析几何11数乘的运算规律:(2) ( ) ( )k lA kl A(3)( )k l A kA lA (4) ( )k A B kA kB 注:矩阵的加法和数乘运算合称线性运算.例1西安交通大学 线性代数与空间解析几何12( ) ,ij m nAB C c ( ) ( ) ,ij m ns sijA a B b ，若规定 1 1 2 2 1ij i j i j is sj ik kjc a b a b a b a b 其中 1 2 1 2i m j n （ ，； ，）注：1）条件左列=右行2）方法 ijc第i行与右矩阵B的第j
5、列对应元素乘积的和左行右列法3）结果 左行右列的行数=A的行数，定义2.1.5 (矩阵乘法) 等于左矩阵A的的列数=B的列数西安交通大学 线性代数与空间解析几何13特别情形： 112111 12 1 1s sbba a a b 11 11 12 21 1 1s sa b a b a b 1 1k ka b 1121 11 12 11 ssbb a a ab 1 s 1s与 矩阵的乘积1 s1s 与 矩阵的乘积为 11 11 11 12 11 121 11 21 12 21 11 11 1 12 1 1sss s s sb a b a b ab a b a b ab a b a b a 为一阶方
6、阵，即一个数一个阶方阵西安交通大学 线性代数与空间解析几何14例2西安交通大学 线性代数与空间解析几何15矩阵乘法的运算规律:(2)( ) ( )AB C A BC(3)( ) ( ) ( )kA B A kB k AB (4) ( )A B C AB AC (5)( )A B C AC BC 问题： 2 0AB 0 0A B 或例如，1 AB BA? ?西安交通大学 线性代数与空间解析几何16之间的关系式 .,2211 22221212 12121111 nmnmmm nn nn xaxaxay xaxaxay xaxaxay 一个线性变换.例3 矩阵与线性变换的关系1 2 1 2, , ,
7、 , , ,n mn x x x m y y y 个变量 与 个变量1 2 1 2, , , , , ,n mx x x y y y 表示一个从变量 到变量ija其中 为常数.西安交通大学 线性代数与空间解析几何17 .,2211 22221212 12121111 nmnmmm nn nn xaxaxay xaxaxay xaxaxay 11 12 121 22 21 1 nnm m mna a aa a aA a a a 线性变换的系数构成的矩阵称为线性变换的矩阵12myyy y 12nxxx x y Ax线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.西安交通大学 线性代数与空间解析几何18若线性
8、变换为 nn xy xy xy ,22 11 称之为恒等变换. nn xy xy xy ,22 11 对应 1 0 00 1 00 0 1 单位阵.西安交通大学 线性代数与空间解析几何19复合变换(乘积)设 n 维向量 x 到 m 维 向量 y 的线性变换为 y=Ax，m 维向量 y 到 p 维 向量 z 的线性变换为 z=By， 则由n 维向量 x 到 p 维 向量 z 的线性变换是一个复合变换 z=By=BAx=(BA)xBA为复合线性变换的矩阵。结论：线性变换的乘积的矩阵等于线性变换的矩阵 的乘积。西安交通大学 线性代数与空间解析几何200 1, , mmA I A A AA A A (
9、 ) ,ij n nA a 定义设 k l k lA A A ( )k l klA A运算规律 m m mAB A B方阵的幂:注： 2 2 22 ,A B A AB B 2 2A B A B A B 西安交通大学 线性代数与空间解析几何2110 1A 设 ，计算 2 3, , .kA A A2 1 10 1 0 1A 解 1 20 1 3 2 1 1 20 1 0 1A AA 1 30 1 例4猜想 10 1k kA 下用数学归纳法证明。西安交通大学 线性代数与空间解析几何22当 时，等式显然成立. 2n 设 时，等式成立，即n k 1 1 ( 1, 2 , )0 1 0 1kk kA k
10、等式成立.所以猜想正确.要证 时成立，此时有1n k 1 1 10 1 0 1k k kA AA 1 10 1k 西安交通大学 线性代数与空间解析几何23定义2.1.6 (矩阵转置)设称为A的转置矩阵。例如 2 0 63 7 5 1 3 8 T 13 ,8 三、矩阵的转置西安交通大学 线性代数与空间解析几何24矩阵转置的运算规律:(2)( )T T TA B A B (3)( )T TkA kA(4)( )T T TAB B A证明(4)设( )T T TAB B A n m和 都是 的，则只需证明其对应元素相等。西安交通大学 线性代数与空间解析几何25( ) ( , )TAB j i的 元素
11、 ( , )AB i j即是 的 元素,即1 1 2 2 .i j i j is sja b a b a b 另一方面， 1 2 ,T j j sjB j b b b 由于 的第行是12 ,iiTisaaA i a 的第列是( , )T TB A j i所以 的 元素是1 1 2 2j i j i sj isb a b a b a ，( ) .T T TAB B A所以 1 2 2 1( ) .TmT T TmA A AA A A 推论西安交通大学 线性代数与空间解析几何26( ) , .T T TAB B A求已知 1 0 2 12 3 , ,4 34 5A B 解 2 16 281 11
12、19TAB （ ） 2 4 1 2 41 3 0 3 5T TB A 1 0 2 12 3 4 34 5AB 所以而且 ( )T T TAB B A显然 2 16 281 11 19 2 116 1128 19 例5西安交通大学 线性代数与空间解析几何27对称矩阵的特点：元素以主对角线为对称轴对应相等.1 0 1 10 1 3 11 3 2 21 1 2 0 设 为 阶方阵，若 ，即 ，A n TA A ij jia a那么 称为对称矩阵.A 两个同阶的对称矩阵的和还是对称矩阵, 对称矩阵的数乘也是对称矩阵.但两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵.注对称矩阵与反对称矩阵:例如定义西安交通大学 线
13、性代数与空间解析几何280 1 2 11 0 5 22 5 0 11 2 1 0 定义 A TA A ij jia a 设 为 阶方阵，若 ，即 ，n那么 称为反对称矩阵.A 反对称矩阵的主要特点:主对角线上的元素为0,其余元素关于主对角线互为相反数. 两个同阶的反对称矩阵的和还是反对称矩阵,反对称矩阵的数乘也是反对称矩阵.但两个反对称矩阵的乘积不一定是反对称矩阵.注例如西安交通大学 线性代数与空间解析几何29四、方阵的行列式定义2.1.7(方阵的行列式)对于称为方阵A的行列式，简记为 det( )A A或西安交通大学 线性代数与空间解析几何30TA A（1） nA A （2） mmA A（5）（3） AB A B BA 问题A B A B?运算规律（4） 1 2 1 2m mA A A A A A
