1、第二章 晶格振动,原子无时无刻不在其平衡位置作微小振动。原子间存在相互作用，它们的振动相互关联，在晶体中形成了格波。在简谐近似下，格波是由简正振动模式所构成，各简正振动是独立的。简正振动可用简谐振子来描述，谐振子的能量量子称为声子，晶格振动可用声子系统来概括。晶格振动决定了晶体的宏观热学性质。晶格振动理论也是研究晶体的电学性质、光学性质、超导等的重要理论基础。,I、简谐晶体的经典运动,II、简谐晶体的量子理论,III、声子比热容,IV、非简谐效应,V、晶格振动谱的实验测定,VI、长波近似（离子晶体的红外光学性质）,第二章（I）简谐晶体的经典运动,2.2 弹性波,2.3 简谐近似,2.4 一维单
2、原子链声学支,2.1 历史简述,2.5 一维双原子链光学支,2.6 三维晶格振动,2.1 历史简述,晶格振动的研究始于固体热容研究。,19世纪初人们就通过Dulong-Petit定律 ，认识到热容量是原子热运动在宏观上的最直接的表现。,1907年Einstein利用Plank量子假说解释了固体热容随温度降低而下降的现象，推动了固体原子振动的研究。,1912年玻恩（Born，1954年Nobel物理学奖获得者）和冯卡门（Von-Karman）发表了论晶体点阵振动的论文，首次使用了周期性边界条件。但他们的研究当时被忽视了，因为同年发表的更为简单的Debye热容理论已经可以很好地说明当时的实验结果了
3、。但后来更为精确的测量却表明了Debye模型的不足。,1935年Blakman重新利用Born和Von-Karman近似讨论晶格振动，发展成现在的晶格动力学理论。,1954年黄昆和玻恩共同出版了晶格动力学一书，成为该领域公认的权威著作。,Born,我国科学家黄昆先生在晶格振动理论上做出了重要贡献,1945-1947：在英国布列斯托（Bristol）大学物理系学习，获哲学博士学位。发表稀固溶体的X光漫反射论文，理论上预言“黄散射”。,1948-1951：任英国利物浦大学理论物理系博士后研究员，这期间建立了“黄方程”，提出了声子极化激元的概念，并与李爱扶（A. Rhys）建立了多声子跃迁理论。,1
4、947-1952：与玻恩教授合著晶格动力学一书（英国牛津出版社（1954），2006年中文版）。,黄先生对晶格动力学和声子物理学的发展做出了卓越的贡献。他的名字与多声子跃迁理论、X光漫反射理论、晶格振动长波唯象方程、二维体系光学声子模联系在一起，他还是“极化激元”概念的最早阐述者。,2.2 弹性波,固体是由分立的原子构成的，这种不连续性在晶格振动的讨论中必须要考虑。,但是当波长非常长时，可以不考虑原子的性质而把固体当作连续介质。这种振动的传播称为弹性波。,应变（e）：每单位长度的长度改变,研究弹性波在棒状样品中的传播，假设弹性波为纵波。定义如下物理量：,应力（S）：每单位面积上所受的力，它是x
5、的函数，由胡克定律，应力与应变成正比，即：,杨氏模量（Y）：上式中的弹性常数,(1),(2),波动方程,由（2）式得到,把（4）式代入（3）后简化得到，,方程的解,其中，q=2/称为波数；为 波的频率；A为波的振幅,(3),(4),(5),(6),色散关系（Dispersion Relation）,将（6）式代入（5）式得到,(7),（7）式称为色散关系,色散关系描述波在传播过程中波长、频率、速度等的关系（Dispersion relations describe the interrelations of wave properties like wavelength, frequency,
6、 velocities et. Al）,利用色散关系计算弹性模量：固体中的典型值s = 5 105 cm/s， = 5 g/cm3，Y = 1.25 1012 g/cms2,按照波动理论，波速等于/q，故s等于波速；,是用描述介质性质的量来表示的波速；,在真空中传播的光波具有色散关系=cq，c为光速；液体和气体中的声波也满足类似的关系；,真空中的电磁波,真空中的电子,水波,驻波,Dispersion may be caused either by geometric boundary conditions (waveguides, shallow water) or by interactio
7、n of the waves with the transmitting medium. Elementary particles, considered as matter waves, have a nontrivial dispersion relation even in the absence of geometric constraints and other media.,色散关系可能是由几何边界条件引起的，也可能是波与传播介质相互作用引起的。即使在没有边界条件限制或者传播介质时，基本粒子（物质波）的色散关系也不一定是线性的,以一维单原子链为例。把势能U(r)在平衡位置r=a作泰
8、勒级数展开：,2.3 简谐近似,平衡位置时的相互作用能，为常数。在讨论动力学问题时可略去,位移线性项，由于原子处在平衡位置对应于相互作用能的极值而消失,简谐近似：在晶体原子间相互作用势能的展开式中，忽略三次方和三次方以上项的近似,(8),其中， 称为力常数,相邻原子之间的相互作用力为,(9),这是一个线性回复力。,非简谐项：在晶体原子间相互作用势能的展开式中三次方和三次方以上的项（主要是位移的3次项、4次项），与非简谐项有关的物理效应称为非简谐效应，对于热传导、热膨胀等物理现象的了解，非简谐项至关重要。,在完全简谐振动中，原子间平均的作用力正好抵消，非谐作用部分使势能对r=a并不完全对称，在0
9、处，比简谐近似更平缓，表示吸引力减弱了。因此，非谐作用，使得原子在振动时引起一定的相互斥力，从而引起热膨胀等非简谐效应。,2.4 一维单原子链（简单格子） 声学支,对于晶格振动的基本假设,1、假定晶体中的离子实可用布喇菲各自的格矢Rn表示，但将Rn理解为离子实平均的平衡位置。原因是，尽管离子实不再静止，但对晶体结构的实验观察表明，布喇菲格子依然存在。 2、离子实围绕其平衡位置做小的振动，其瞬时位置对平衡位置的偏离小于离子 间距。,当晶格处于平衡时，每个原子严格处在格点位置上。晶格开始振动时，每个原子都偏离它们的平衡位置一个小量。由于原子之间的相互作用，各个原子同时运动，即要考虑整个晶格的运动。
10、,由N个原子构成的、原子质量为m、原子平衡间距为a的一维单原子链，原子之间的力通常是短程的，只需考虑最近邻原子之间的相互作用（最近邻近似）。在最近邻近似下，第n个原子的简谐近似下的牛顿运动方程为,一、简谐近似和最近邻近似下的运动方程,(10),fn,n+1是第n个原子受到第n+1个原子的作用力：,(11),fn,n-1是第n个原子受到第n-1个原子的作用力：,(12),把（11）式和（12）式代入（10）式，得到，,(13),二、运动方程的解,第n个原子的运动是和第n+1个、第n-1个原子相耦合的，类似地，第n+1个原子的运动也与它的两个相邻原子相关联，以此类推。从数学上看，对于晶格中的每个原
11、子必须写出类似的运动方程，最终对N个耦合的微分方程联立求解，同时必须考虑到加载晶格两端原子上的边界条件。解的形式：,解代表一行波，其中所有的原子均以相同的频率和振幅A振动。原子位相是连锁的，以致从一个原子到下一个原子位相规则地增加qa（qna是第n个原子在t=0时刻的振动位相）。 解存在的前提条件是晶格平移对称性，即在相同的间隔内存在相等的质量。反之方程的解可望是强的衰减波。 系统的所有基元以相同的频率振动，称之为简正模。晶格振动的情形，简正模是行波。,(14),解的特点,从形式上看，格波与连续介质弹性波完全类似，但连续介质弹性波中的X是可以连续取值的，而格波中只能取na格点位置这样的孤立值。
12、,若 ，l为整数，,解的物理意义,，两原子有相同的位移；,若 ，,，两原子有相反的位移。,格波：在任一时刻，原子的位移有一定的周期分布，也即原子的位移构成了波，这种波称为格波；或晶体中所有原子共同参与的振动，以波的形式在整个晶体中传播，称为格波。 从上面的关系式看出，q实际上是格波的波矢。（习惯上将晶格振动的波矢取成q，以和电子的波矢k相区别，两者均为同一倒格子空间中的矢量）,原子振动以波的方式在晶体中传播。序号为n和n的原子的简谐振动方程分别为：,三、色散关系,将方程的解（14）代入运动方程（13），得到色散关系：,色散关系可看成是q空间中周期等于2/a的正弦曲线； 最大频率等于m：,(15
13、),(16),晶体的弹性力常数 =15N/m 原子质量 m=610-27kg m=1014rad/s（m=1013Hz （10THz）,THz波段在微波与红外光之间。二十世纪九十年代初，超快激光技术的发展，THz波段的辐射产生和探测技术得到很快发展。不同材料的晶格振动频谱具有各自的特征，可以作为这个材料的“指纹”。THz谱技术作为一种有效的无损探测方法，通过晶格振动频谱可以鉴别和探测材料。,且有,当q0时，即对于长波极限，sin(qa/2)qa/2，此时波速为常数，,即某一原子周围若干原子都以相同的振幅和位相作振动。,当q增加时，色散曲线开始偏离直线向下弯曲，最后在q=/a处达到最大，最大频率
14、为m,此时,即相邻原子以相同的振幅作相对运动。,定性讨论,当波长减小、q增加时，晶格的不连续性变得更为重要。原子开始对波产生散射，散射的结果是减小了波速而阻碍波的传播。因为在波长减小时，散射强度增加。因此q越大，散射变得越强，波速减小得越大，这对于色散曲线向下弯曲。当q=/a时，=2a，近邻原子的位相相反，恢复力和频率取最大值。,对应于q0的长波极限情形：由于原子间隔比波长小得多， a，以致可以把介质作为一个连续体来处理，线性关系成立。即对于小的q，原子实际上彼此同位相运动，由于近邻的作用对原子产生的恢复力很小，也就小。当q=0，=时，整个晶格象一个刚体一样运动，因而恢复力为零，这就解释了为什
15、么在q=0处=0。,1、位相和群速度,对于任意的色散关系，相速度表示为：,p是精确指定频率和波矢q的一个纯波动的传播速度。对于格波：,(17),格波的传播速度是波长的函数，波长不同的格波传播速度不同。这与可见光通过三角棱镜的情况相似。不同波长的光，在棱镜中传播的速度不同，折射角就不同，从而导致色散。所以，这就是为什么通常称与q的关系为色散关系的原因。色散关系也称振动谱或振动频谱。,群速度表示为：,q描述的是平均频率为和平均波矢为q的波脉冲的速度。实际上因为能量和动量是通过脉冲而不是用纯波来传送的，物理上群速度更有意义。对于格波：,(18),在长波极限的情形，=sq，p=q=声速，即在这种极限，
16、点阵的行为象一个连续体，没有色散发生。,当q增加时，q，即色散曲线的斜率，稳定地减小，且在q=/a点减小到q=0。,当q=/a时，=2a，因而被近邻原子散射的子波位相相差。但是当被B反射的子波到达被A反射的子波时，它们的位相相同，这点也适用于其它的子波。所有散射的子波相长地干涉，结果反射取极大。,这种情况相对于X射线的布拉格反射：上述得到的临界值q=/a满足布拉格条件2dsin=n，于是有=(1/2)，d=a，q=2/，n=1，从而=2a。对于X射线而言，n可以具有除1以外的其它整数值，因为在两个原子之间的空间内电磁波振幅是有意义的，而弹性波的位移振幅只是在原子本身处才有意义。,在q=/a处，
17、反射波如此之强，以致当它和入射波合成时形成驻波，导致群速度q=0，这个波既不向右运动也不向左运动。,Bragg条件的再现是晶格色散关系曲线的重要特征，是入射场的波动性和晶格周期性的结果，与场的特殊性质，电磁的还是声学的，并无关系。,驻波形成与Bragg反射,（19）式、（20）式称为格波的平移对称性,2、原子链的分立性与第一布里渊区,上述两式表明波矢q=q+2/a状态与波矢q状态描述的是同一个晶格振动状态。例如，q=5/2a与q=/2a振动状态中，晶格原子的位移un是完全一样的，即相差一个倒格矢的两个状态中，所有的原子振动完全相同。,格波解（14）是波矢q的周期函数,(19),色散关系（15）
18、也是波矢q的周期函数,(20),这是原子链的分立性的结果。由于原子链中的原子是分立的，同一个振动状态un可以用不同的波矢或波长来描述。 布里渊区的大小与原子间距成反比，若原子间距减小，布里渊区随之增大。 对于连续的弦的振动，一个振动状态只能用唯一确定的波矢或波长来描述，不可能用不同的波矢或波长来描述，波矢空间的任一个波矢都与一个运动状态一一对应。,由于格波解和色散关系对于q的周期性，我们可以限制波矢q在一个周期的独立取值范围内。通常选取以原点为对称心得一个周期：,这就是一维单原子链的布里渊区。晶格振动的所有可能的状态都包含在该布里渊区中，这个区域之外的波矢q不提供任何新的振动状态。,(21),
19、反射对称性：,q0，模式q代表晶格中右行波，模式-q代表相同波长的左 行波。因为晶格在这两个方向上是等价的，它们以相同的形式对两列波作出反应，相应的频率必须相同。,不论原子之间的相互作用是何种类型，一般来说对称性应当确实成立，因为这些性质来自实际晶格的对称性。例如，如果除了最近邻的相互作用还包括其它相互作用，色散关系将更为复杂，但q空间的平移和反射的对称性仍保持有效。,由于实际晶体的长度是有限的，记为L=Na，根据Born-Karman周期性边界条件，有,3、晶体的线度的有限性与波矢的分立性,(22),代入格波解（14）式，得到，,(23),(24),（l为整数）,将（24）式代入（21）式，
20、得到，,该式表明，允许的波矢数目等于N，振动谱是分立谱。N是晶格的原胞数目。即晶格振动的波矢数目等于晶体的原胞数。,(25),一维单原子链晶格振动的波矢是分立的，相邻两个波矢的差为：,(26),q与原子链的线度L成反比，随着L的增大， q逐渐减小。当原子链无限长时， q为零，这时波矢连续取值，即无限长的原子链中波矢是连续取值的。,波矢的分立性，与系统线度的有限性有关。这在量子力学中的一维无限深势阱中电子能量本征态的求解中已经学习过。 对于0xL的一维无限深势阱，电子能量的本征波函数为,无限深势阱中的电子波函数满足驻波边界条件，即,由此得到电子波矢的取值为,（l为整数）,相邻两个波矢的差为,与一
21、维单原子链类似，k与势阱的线度L成反比，随着L的增大，k逐渐减小。当势阱无限宽时，k为零，这对应于自由空间中的电子，波矢是连续取值的。另外，长为L的连续弦中的驻波，波矢（波长）也是分立的，波长分别为L/2、L/3、L/4等。,四、小结,在布里渊区边界处，格波的群速度为零，相当于受到布拉格反射，形成驻波。 在长波极限下，qa1，色散关系表示为：,此时链中分立的原子结构可以忽略，色散关系与一维连续弹性波介质中的声波或弹性波相同，系数a(/m)1/2为声速。,常把q0，0的色散关系称为声学支（acoustic Branch）。每一组(,q)所对应的振动模式也相应地称为声学模（acoustic mod
22、e）。,一维双原子晶格，单胞长度2a,2.5 一维双原子链（复式格子） 光学支,一维双原子链是由两种不同的原子构成的一维原子链，由N个质量为m和N个质量为M的两种原子相间排列而成，原子平衡间距为a，晶格周期为2a。,在简谐近似和最近邻近似下，第n个原胞原子的运动方程为，,上述两个方程是耦合的，对于晶体中的每一个单胞可以写出类似的一组方程，总共有2N个耦合的微分方程，必须联立求解。,(27),类似于单原子晶格，以行波试探解：,(28),把试探解（28）代入（27）式，得到，,(29),一、简谐近似和最近邻近似下的运动方程,(29)式是齐次方程，只有矩阵行列式为零才有非零解，于是久期方程：,这是一
23、个关于2的二次方程，两个根是：,(30),(31),(32),(33),（31）（33）是等价的。与解的正负号相应，有两个色散关系，因而与双原子晶格相关的有两条或两支色散曲线。,二、色散关系,一维双原子链得到两个解，两种色散关系，它们都是q的周期函数。和一维单原子相同的讨论可知，q取值范围也是在第一布里渊区（/a）内。此时点阵基矢是2a，倒易点阵基矢是/a，得到波矢去的取值范围：,(34),u为约化质量,这就是一维双原子链的布里渊区。晶格振动的所有可能状态都包含在该布里渊区内，这个区域之外的波矢q不提供任何新的振动状态。,一维双原子链可作带通滤波器。,q=0时：,1、零点和布里渊区边界数值的确
24、定,q=/2a时：,2、周期性边界条件,由于实际晶体的长度是有限的，为L=N2a，根据Born-Karman周期性边界条件，有,(35),代入格波解（28）式，得到，,(36),（l为整数）,q的分布密度：,(37),第一布里渊区内波数q的总数就是晶体链原胞的数目N：,每个q值对应着两个频率，所以， 晶格振动格波的总数=2N=晶体链的自由度数。,(38),三、声学波和光学波,一维双原子链晶格振动的色散关系有两支，取正号的一支频率较大，称为光频支，取负号的一支称为声频支。+对应的格波称为光学波，-对应的格波称为声学波。,由色散关系可以看出：,由（29）式第二式得到：,由于波数被限制在第一布里渊区
25、，cosaq0,所以，,即相邻原子的振动方向相同。,声学波,在长波极限下(q0)：,表明：在长波极限下，原胞内两种原子的运动完全一致，振幅和位相均相同。,声学（质心运动）,LA,TA,原子以相同振幅平行振动,在长波近似下，-格波与声学波有着相同的色散关系。所以我们将这种晶格振动称为声学波或声学支。原胞内两种原子的运动完全一致，振幅和位相均相同，因此，长声学波代表原胞的质心运动。事实上，在长波极限下，晶格可以看成连续的弹性介质，格波类似于声波（弹性波）。,表明：波节在小原子处的驻波。,在短波极限（布里渊区边界，q=/2a）：,LA,=4a,TA,=4a,光学波,由色散关系可以看出：,由（29）式
26、第一式得到：,由于波数被限制在第一布里渊区，cosaq0,所以，,即相邻原子的振动方向相反。,光学（原子相对运动）,在长波极限下（q0）：,表明：在长波极限下，原胞内两种原子振动相位相反，质心固定不变。,LO,TO,原子相对振动,+为什么被称作光学支振动？,如果原胞内两个带相反电荷的离子（如离子晶体），那么正负离子的相对振动必然会产生电偶极矩，而这一电偶极矩可以和电磁波发生相互作用。在某种光波的照射下，光波的电场可以激发这种晶格振动。因此，我们称这种振动为光学波或光学支。,实际晶体的长光学波的+(0)10131014/s，对应远红外的光波，因此离子晶体的长光学波的共振能够引起远红外光在=+附近
27、的强烈吸收，正是基于此性质，+支被称作光学支。,光波,电磁波和光学波的共振,表明：波节在大原子处的驻波。,在短波极限（布里渊区边界，q=/2a）：,LA,=4a,TA,=4a,光学波和声学波的区别,光学支模式是描写原胞中两个原子相对运动的振动模式。若这两个原子组成一个分子，光学支模式实际上是分子振动模式，描写的是同一个分子中的原子的相对运动情况。 声学支模式代表同一原胞中原子的整体运动。若初基晶胞中的两个原子组成一个分子的话，声学支模式则代表分子的整体运动模式，这种振动模式的色散关系类似于声波。,长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动，振动频率较高，它包含了晶格振动频率最高的振动模
28、式。长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移，原胞做整体运动，振动频率较低，它包含了晶格振动频率最低的振动模式，波速是一常数。任何晶体都存在声学支格波，但简单晶格（非复式格子）晶体不存在光学支格波。,纵振动,横振动,2.6 三维晶格振动,一、动力学矩阵,设晶体原胞的基矢为a1、a2、a3，沿基矢方向晶体各有N1、N2、N3个原胞，即晶体一共有N=N1N2N3个原胞。每个原胞中有n个原子，质量分别为m1、m2、mn，平衡位置的相对坐标为r1、r2、 、rn。设顶点的位置矢量为,(39),的原胞中n个原子在t时刻偏离其平衡位置的位移为,(40),第p个原子在（若直角坐标，=x，y，z）方向
29、的运动方程则为,(41),在简谐近似下，（41）右端是位移的线性代数式，其解的形式设为，,(42),因为q一定，qrp相位是定值，相位因子eiqrp已归并到振幅Ap中。,(43),（42）式分量表示为,(44),因为振幅Ap一共有3n个，将（43）式代入（41）式得到3n个线性齐次联立方程，,(45),由Ap有非零解得条件，即其系数行列式等于零，可解出3n个的实根。在3n个实根中，其中有三个当波矢趋于零时有，,其中 是q方向传播的弹性波的速度，是一常数。此时A1 = A2 = = An，即原胞作刚性运动，原胞中原子的相对位置不变，这三支格波称为声学波，其余的（3n-3）支格波的频率比声学波的最
30、高频率还高，称为光学波。,二、格波的模式数,根据周期性边界条件的限制，,(46),得到,(47),由（47）式可知，当,(48),h1、h2、h3为整数时，（47）式才能成立，因此波矢q具有倒格矢的量纲，容易得出,(49),其中b1、b2、b3是倒格矢。,三维格波的波矢是分离的，其中b1/N1、b2/N2、b3/N3是波矢的基矢，波矢的点阵具有周期性，最小的重复单元的体积为,其中*、和Vc分别为倒格原胞体积、正格原胞体积和晶体体积。,一个重复单元对应一个波矢，单位波矢空间内的波矢数目，即波矢密度为，,(50),在简约布里渊区，波矢可取得数目为；,(51),对于每一个波矢q，对应3个声学波，（3
31、n-3）各光学波，所以晶格振动的模式数目为,(52),nN是原子总数，3nN是所有原子的自由度数之和。,晶格振动的波矢数目=晶体的原胞数 格波振动模式数目=晶体中所有原子的自由度数之和,平移对称性：,三、q空间的对称性：第一布里渊区（三维）,反演对称性：,色散关系展现实际晶格所具有的任何转动对称性。例如在立方晶体中，每支的色散关系都展现出立方对称性。,只需在布里渊区的小范围内测定色散曲线，而其余的区域可以应用对称性来完成。如在立方晶体中，色散曲线仅需要在布里渊区1/48范围内确定。,需要注意的是，这些对称性可分别应用于每支色散关系曲线，它们彼此之间互不相关。,相差倒格矢G的波矢是等价的，倒格子
32、空间的每一原胞包含同样的信息。,相反方向传播的波具有相同的色散关系，这源于过程的时间反演对称性。,四、讨论,对于p=1的简单晶格：,与一维单原子链类似，只有声学波。不同之处在于，在一维单原子链中，只有1个自由度，相应于1个声学支，原子振动的方向与波传播的方向一致，称为纵声学支（Longitudinal Acoustic Branch，LA）。现在除去纵波外，还可有两个原子振动方向与波传播方向垂直的横声学支（Transverse Acoustic Branch，TA）存在。对于纵模和横模，原子间相互作用的力常数不同，LA和TA通常并不简并。对于单原子链，或实际晶体在某些对称方向，两支TA是简并的
33、。,对于p1的复式晶格：,与一维双原子链类似，除声学支外还有光学支。在q=0处有非零的振动频率。自然除去纵光学支（Longitudinal Optical Branch，LO）外，还有横光学支（Transverse Optical Branch，TO）。在3p支中，除了3个声学支外，其余3p-3支均为光学支。,在色散关系中，对三维晶体而言，通常要指定波矢q的方向后才能画出对应的色散关系，即-q的关系图。对应于晶体中对称性比较高的方向，振动模式可以是简并的。但这并不是说他们的振动模式数减少了，因为此时尽管两支横光学支或横声学支简并，在同一个q下它们的频率相同，但是它们处于不同的偏振态，各自仍然是
34、独立的。,FCC 铜的色散关系,对声学支，纵向振动相关的恢复力比横向的要大些，通常纵支比横支的位置高些。,金刚石的振动谱 TA、TO为2重简并,NaCl的色散关系,长光学纵波引起离子晶体中正负离子的相对位移，产生宏观极化电场。电场的方向是阻滞离子的位移，使得有效恢复力系数变大，对应的格波的频率变高。长光学横波不引起离子的位移，不产生极化电场，格波的频率不变。,引入Born-Karman条件的理由：,1、方便于求解原子运动方程,除了原子链两端的两个原子外，其它任何一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关。即除了原子链两端的两个原子外，其它原子的运动方程构成了（N-2）个联立方程组。但原子链两端
35、的两个原子只有一个相邻原子，其运动方程仅与一个相邻原子的运动有关，运动方程与其它原子的运动方程迥然不同。与其它原子的运动方程不同的这两个方程，给整个联立方程组的求解带来 了很大的困难。,2、与实验结果吻合得较好,对于原子的自由运动，边界上的原子与其它原子一样，无时无刻不在运动。对于N个原子构成的原子链，硬性假定u1=0，uN=0的边界条件是不符合事实的。其实不论什么边界条件都与事实不符。但为了求近似解，必须选取一个边界条件。晶格振动谱的实验测定时对晶格振动理论的最有力验证。Born-Karman条件是晶格振动理论的前提条件。实验测得的振动谱与理论相符的事实说明，Born-Karman周期性边界条件是目前较好的一个边界条件。,2.7 小节,简谐近似：力与位移成线性关系 独立振动：不同的振动(q)之间无相互作用,3支声学支：q0，与q成线性关系。振幅方向相同，q=0时代表质心的振动 3p-3支光学支：q0，为常数。振幅方向相反，q=0时代表质心不懂的相向振动 频率隙：在声学支和光学支之间存在频率隙。在频隙范围内以及在声学支、光学支频率范围外的振动不能在晶体中传播。,集体振动：由N个原子相位关联的位移来描写，每个振动模式在简谐近似下却是独立的。,
