1、,第九章 动量矩定理,9.1 动量矩与转动惯量,建立质点或质点系的动量对于某固定点（或固定轴）的矩的变化与作用在该质点或质点系上的力系对同一点（或轴）的主矩之间的关系。,9.1.1 质点和质点系的动量矩,一、质点动量矩,方向：,右手螺旋法则,大小：,1、动量对点之矩,9.1.1 质点和质点系的动量矩,2、动量对轴之矩,正负：,右手规则,质点对O点的动量矩矢在通过O点的任意轴上的投影，等于质点对该轴的动量矩。,9.1.1 质点和质点系的动量矩,二、质点系动量矩,各质点动量对某点O的矩的矢量和（即质点系动量对O点的主矩）称为该质点系对点的动量矩。,各质点动量对某轴的矩的代数和称为该质点系对该轴的动
2、量矩。,9.1.2 定轴转动刚体的转动惯量,一、定轴转动刚体对转轴的转动惯量,9.1.2 定轴转动刚体的转动惯量,如果质量为连续分布,回转半径的物理意义：设想刚体质量集中在与z轴相距为 的点上，则此集中质量对z轴的转动惯量与原刚体的转动惯量相同。,9.1.2 定轴转动刚体的转动惯量,二、平行移轴定理,设物体的质量为M，质心取在C点。,9.1.2 定轴转动刚体的转动惯量,转动惯量的平行移轴定理,例 设均质细杆单位长度的密度为 ，求细杆对z轴的转动惯量.,9.1.2 定轴转动刚体的转动惯量,三、转动惯量的计算,1、积分法,9.1.2 定轴转动刚体的转动惯量,利用平行移轴法求通过杆质心轴的转动惯量。
3、,9.1.2 定轴转动刚体的转动惯量,例：均质圆盘的质量为M,半径为R,求圆盘对中心轴oz（垂直于图面）的转动惯量。,9.1.2 定轴转动刚体的转动惯量,2、组合法,均质杆的转动惯量,圆盘对质心的转动惯量,9.1.2 定轴转动刚体的转动惯量,9.2 动量矩定理和动量矩守恒定理,一、质点的动量矩定理和守恒定律,O点为固定点,1、矢量形式,质点的动量对任一固定点的矩对时间的导数等于作用于该质点的力对同一点的矩。,按静力学中计算力对轴之矩的方法计算！,2、投影式,9.2 动量矩定理和动量矩守恒定理,3、质点的动量矩守恒定理,如果质点所受的力对某一固定点（或轴）的矩始终为零，则质点对该点（或轴）的动量
4、矩始终保持不变）。,9.2 动量矩定理和动量矩守恒定理,4、面积定律,作用线始终通过某固定点o的力称有心力,当质点在有心力作用下运动时，点的矢径在任何相等的时间内扫过的面积必然相等。,太阳对太阳系行星的作用力为有心力。,9.2 动量矩定理和动量矩守恒定理,9.2 动量矩定理和动量矩守恒定理,求：剪断绳后， 角时的 。,例： 两小球质量皆为 ，初始角速度 。,时，,时，,由 ，得,解：,二、质点系的动量矩定理和守恒定律,将以上n个方程相加，得,质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数等于质点系所受外力对同一点的矩的矢量和。,质点系的动量矩方程,1、质点系的动量矩定理的微分式,9.2 动量矩定理和动
5、量矩守恒定理,2、质点系对固定轴的动量矩定理（投影方程）,质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数等于质点系所受外力对同一轴的矩的代数和。,9.2 动量矩定理和动量矩守恒定理,3、质点系的动量矩守恒定理,9.2 动量矩定理和动量矩守恒定理,解：以鼓轮、平衡锤和罐笼作为一个质点系。,受力分析如图：,由质点系动量矩定理得：,9.2 动量矩定理和动量矩守恒定理,9.2 动量矩定理和动量矩守恒定理,三、刚体定轴转动微分方程,刚体绕定轴转动的微分方程,利用上式应注意：力矩的正向应与角加速度的正向假设相同。,9.2 动量矩定理和动量矩守恒定理,9.2 动量矩定理和动量矩守恒定理,9.2 动量矩定理和动量矩守
6、恒定理,9.2 动量矩定理和动量矩守恒定理,由运动学公式：,9.2 动量矩定理和动量矩守恒定理,四、刚体平面运动微分方程,投影形式,例 质量为m半径为R的均质圆轮置放于倾角为 的斜面上，在重力作用下由静止开始运动。设轮与斜面间的静、动滑动摩擦系数为f、f，不计滚动摩阻，试分析轮的运动。,解：取轮为研究对象。受力分析如图示。运动分析：根据平面运动微分方程，有, ，两式中含有三个未知数aC 、F、 ，需补充附加条件。,1设接触面绝对光滑。因为轮由静止开始运动，故0，轮沿斜面平动下滑。,2设接触面足够粗糙。轮作纯滚动， 所以可解得,表明：当 时，解答3适用；当 时，解答2适用；f =0 时解答1适用
7、。,9.3 动量定理的应用,1、航天器的反作用轮姿态控制系统,9.3 动量定理的应用,2、猴子爬绳比赛,9.3 动量矩定理的应用,3、卷扬机问题,例：卷扬机鼓轮为均质圆盘，重力为 ，半径为 ，小车总重力为 ，作用于鼓轮上的力矩为 ，轨道的倾角为 ，绳的重力及摩擦均忽略不计，求小车上升的加速度。,解：选鼓轮和小车为质点系，作用与该质点系上的外力有 ， ， ，约束力有 ， 及 。设小车上升速度为 ，则鼓轮的角速度为 。整个质点系对 轴的动量矩为：,所有外力对 轴的矩为：,9.3 动量矩定理的应用,由动量矩定理得：,所以小车上升的加速度：,9.3 动量矩定理的应用,4、水轮机驱动力矩计算,例：水轮机
8、的叶轮如图所示，流经各业片间流道的水流均相同。水流进、出流道的速度分别为 、 ，与切线方向的夹角分别为 和 。若总体积流量为 ，求流体对叶轮的转动力矩。,解：取两叶片间的流体作为研究质点系。经过 时间，该部分的流体由图示aabb位置流动到 位置。动量矩与力矩均以顺时针转向为正。设流体稳定流动，所以在时间 内质点系对轴 的动量矩变化为,9.3 动量矩定理的应用,设流体密度为 ，叶轮的叶片总数为 ，则,由动量矩定理，得叶轮两叶片间得全部流体所受到对点O的力矩为：,当右端取正值时， 为顺时针转向，否则相反。叶轮所受到的转动力矩 与 等值反向。,例： 已知： ，求 。,解：,例： 已知 ，动滑动摩擦系数 ，,求制动所需时间 。,解：,例： 已知 ，求： 。,解：,因 ， ，得,
