1、1,第4章 根轨迹法,4.1 根轨迹的基本概念 4.2 （常义）根轨迹的绘制 4.3 广义根轨迹的绘制 4.4 控制系统的根轨迹分析法 4.5 用MATLAB绘制根轨迹,2,一 根轨迹的概念,根轨迹法:系统某一参数变化时,绘制特征方程的根在S平面的位置变化轨迹的图解方法。,根轨迹: 系统某一参数从零变到无穷时,特征方程的根在S平面的变化轨迹。,4.1 根轨迹的基本概念,1948年,美国学者W.R.Evans首先提出了求解系统特征方程式的根的图解方法-根轨迹法。其后就在控制工程实践中得到了迅速的发展和广泛的应用。,3,根轨迹法的优点：,1、从已知的开环零、极点的位置及某一变化参数来求取闭环极点的
2、分布，即解决闭环特征式的求根问题。,2、根轨迹图不仅可以直接给出闭环系统时间响应的全部信息，而且可以指明系统参数应该怎样变化才能满足给定闭环系统的性能指标要求。,控制系统的性能与闭环极点密切相关 高阶特征方程式通常难以求解 当某一参量发生变化(灵敏度)时,需要反复进行特征 根计算, 十分烦琐,难以在实际中应用,为什么要研究根轨迹？,4,闭环传递函数,特征方程式,解析法,全部闭环极点，标注在S平面上，连成光滑的曲线,根轨迹,0,-1,例：,5,二 根轨迹与系统性能,(1)稳定性：,根轨迹不会进入S平面的右半平面,该系统对于所有的K都是稳定的,(2)稳态性能：,型系统,原点处有一个极点,根轨迹上的
3、K值就是速度误差系数,(3)动态性能：,6,三 闭环零极点与开环零极点的关系,7,：,8,闭环系统根轨迹增益开环系统根轨迹增益,闭环零点前向通路传递函数的零点,闭环极点与开环零点、开环极点和根轨迹增益都有关。,根轨迹法的基本任务：如何由已知的开环零极点分布和根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点。,反馈通路传递函数的极点,9,四：根轨迹方程,相角条件,模值条件,10,相角条件,确定S平面根轨迹的充分必要条件,只有在需要确定根轨迹上各点增益时，才使用模值条件。,11,4.2 根轨迹绘制的基本法则,系统特征方程为： 1+G(S)H(S)=0 将乘积因子G(S)H(S)化为零极点（开环零极点）的形式
4、，即,12,证明,法则1 根轨迹起于开环极点，终于开环零点,大部分开环传递函数的极点多于零点，即nm，可以认为在s平面的无限远处有（n-m）个零点。若m n，必有（ m - n ）个极点在s平面的无限远处。,13,法则2,根轨迹的分支数等于MAX(m,n)；它们是连续的且对称于实轴。,根轨迹起于开环极点，终于开环零点,根轨迹的分支数等于MAX(m,n),由于闭环特征根的某些参数是根轨迹增益,所以,连续变化时，特征方程的某些参数也随着,连续变化，所以特征根也是连续变化的。,的函数，,特征方程系数为实数，只有实数和共轭复数根，所以根轨迹（根的集合）对称于实轴。,14,根轨迹将沿一组渐近线趋向与无穷
5、远处的开环零点。,法则3,这组渐近线与实轴的交角为a, 中心点a （交点为实轴上的点）。,当零点的个数m小于极点的个数n时,系统将有N=n-m条根轨迹的分支趋向于无穷远处的零点。当K趋向于无穷大时，这些根轨迹的分支将沿一组渐近线趋向与无穷远处的开环零点。,：,15,这组渐近线在实轴上的中心点为：,渐近线与实轴的交角分别为,16,证明：,17,18,19,20,令实部和虚部分别相等,有,21,22,法则4,确定实轴上的根轨迹段。若实轴上某一右边的开环零点和极点个数之和为奇数，则该实轴段为根轨迹段。,由图可见, s0点左边开环实数零极点到s0点的向量相角为0, s0点右边开环实数零极点到s0点的向
6、量相角均为, s0位于根轨迹上的充要条件是下列相角条件成立:,j是各开环零点到s0点向量相角，,设s0为实轴上的某一测试点，, i是各开环极点到s0向量的相角。,因为复数共轭零、极点到实轴上的任一点的向量相角之和为2 ，因此在确定实轴上的根轨迹时，可以不考虑他们的影响。,23,因为这些相角中每一个相角都等于,而与- 代表相同角度,于是上式条件可写成:,式中(2k+1) 为奇数.本法得证。,j：s0点之右所有的开环实数零点到s0点的向量相角和, i ：s0点之右所有的开环实数极点s0点的向量相角和.,24,25,例1 给定单位反馈系统的特征方程为,解:,渐近线有2条(3-1),其交点为,绘制根轨
7、迹的草图,确定增益K对闭环根的影响。,S平面上的开环极点和零点以及实轴上的根轨迹段如图所示。,开环零极点在S平面的分布图,实轴上的根轨迹段,26,渐近线与实轴的交角分别为,渐近线有2条(3-1),其交点为,o,j,-4,-1,-2,0,-2.5,27,法则5,根轨迹的分离角和分离点,两条或两条以上的根轨迹分支在S平面相遇又立即分开的点成为根轨迹的分离点.因为根轨迹是对称的,所以分离点在实轴上或以共轭形式出现在复平面中,一般是前者。,根据相角条件,在同一分离点分离的各条根轨迹分支,它们的切线将均分360度。2条根轨迹在分离点相隔180度,4条根轨迹在分离点相隔90度。,分离点的坐标为:,28,闭
8、环特征方程是,根轨迹在S平面相遇说明闭环特征方程有重根出现,设重根为d,则有,29,30,31,与实轴的交角为,例2 某反馈控制系统,其特征方程为,解:极点数为3,零点数为1,根轨迹有两条渐近线,中心点,渐近线与实轴上的根轨迹段如图所示。设分离点为d:,o,j,3,0,2,1,2.45,32,法则6,应用相角条件,确定根轨迹在极点处的出射角(起始角)和到零点处的入射角(终止角),在很靠近待求出射角的复数极点pi的或入射角的复数零点zi的根轨迹上,取一点s1点,除pi(zi)外,所有的开环零极点到s1点的向量相角zjs1和pjs1,都可以用她们到pi(或zi)的相角zjpi(zjzi)和pjpi
9、(pjzi)表示。,设出射角为pj,入射角为zi, 系统有m个零点,n个极点,pi(或zi)到s1点的向量相角为出射角pj(或入射角zi).根据s1点必须满足相角条件,应有,33,34,法则7,根轨迹与虚轴的交点,如果根轨迹通过虚轴,则应用Routh判据,可以很容易确定出根轨迹与虚轴的交点。,也可令闭环特征方程中s=j,然后令其实部和虚部等于零，求出相应的K值和值,求出相应的K值和值,35,例3:4阶系统的特征方程如下,希望绘制K0且不断变化时的根轨迹.,解: (1)系统的特征方程已知,(2) 确定系统开环零极点,有,可见,当K从0到无穷大时,该系统没有有限的开环零点。,36,(7)系统有4条
10、渐近线,渐近线与实轴的交角为:,渐近线中心点为,(3)极点在S平面的位置。,(4)实轴上的根轨迹。,(5)应为极点数为4,故有4条根轨迹。,(6)根轨迹关于实轴对称。,j,0,-4,-4+4j,-4-4j,-3,37,(8)确定根轨迹在实轴上的分离点.,(9)复极点p1=4+j4处的出射角,复极点p2=4-j4处的出射角,38,s4 1 64 K s3 12 128 s2 53.33 K s c1 s0 K,将特征方程改写为,（10）根轨迹与虚轴的交点,确定满足相角条件的根轨迹,将几个点光滑连接,39,0,3,1.5,4,-4-j,4+j,j,40,n=1;d=1,12,64,128,0; r
11、locus(n,d),41,例4 给定单位反馈系统的特征方程为,解:,渐近线有2条(3-1),其交点为,o,绘制根轨迹的草图,确定增益K对闭环根的影响。,S平面上的开环极点和零点以及实轴上的根轨迹段如图所示。,开环零极点在S平面的分布图,实轴上的根轨迹段,j,-4,-1,-2,0,42,渐近线与实轴的交角分别为,渐近线有2条(3-1),其交点为,o,j,-4,-1,-2,0,43,2.9,o,j,-4,-1,-2,0,2.5,44,n=1,1; d=1,6,8,0; rlocus(n,d),45,例5开环传递函数,试绘制该系统的概略根轨迹,46,0,-1.5,-2+j,-2-j,-0.5+j1
12、.5,-0.5-j1.5,-2.5,47,n=1,5.5,11,7.5; d=1,3.5,5,6.25,0; rlocus(n,d),48,法则8,根之和,当n-m2时，特征方程第二项系数与K无关，开环n个极点之和总是等于闭环特征方程n个根之和,说明：当开环增益K增大时，若闭环某些根在S平面向左移动，则另一部分根向右移动。该法则对判断根轨迹的走向是很有用的。,49,应用幅值条件确定与闭环根sx对应的参数Kx的取值。sx处的幅值条件为,50,已知反馈控制系统的开环传递函数为,课堂练习：,试绘制系统的根轨迹,51,selected_point =-0.0474 + 3.1553i K* =251.
13、8369,52,4.3 广义根轨迹,参数根轨迹,以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹,广义根轨迹,零度根轨迹,如果研究的控制系统为非最小相角系统(S右半平面具有开环零极点的控制系统),此时绘制的根轨迹为零度根轨迹.,常规根轨迹:以系统开环增益K由零变化到无穷大时的根轨迹。,广义根轨迹:除非开环增益K以外其他情形下的根轨迹,53,参数根轨迹,以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹,绘制参数根轨迹的步骤和绘制常规根轨迹的步骤完全相同,只要在绘制参数根轨迹之前引入等效单位反馈系统和等效传递函数概念,则常规根轨迹的所有绘制法则均使用于参数根轨迹的绘制。即,A为除K外的系统任意变化参数,而P(s) 和Q(s)
14、为两个与A无关的首一多项式.则等效的开环传递函数为,绘制根轨迹就是参数A变化时的参数根轨迹.,54,如：某系统的开环传递函数为,试绘制该系统的根轨迹,解：,等效开环传递函数,55,56,系统1,例6：分析Td对系统性能的影响，并比较系统2和系统3在具有想通阻尼比0.5时的有关特点。,57,系统1,系统2,系统3,上页 下页 返回,58,系统2和系统3闭环极点相同，但闭环零点不同。,系统2和系统3的闭环特征方程：,等效开环传递函数,59,-0.5 + 0.87j Td= 0.8,-0.5- 0.87j Td= 0.8,600,60,来源: (1)系统中包含S最高次幂的系数为负,是由于被控对象如飞
15、机,导弹的本身特性所产生,或在系统结构图变换过程中产生。(2)控制系统中本身包含有正反馈内回路,是由于某种性能指标要求使得系统必须包含正反馈内回路。,零度根轨迹,定义:如果研究的控制系统为非最小相角系统(S右半平面具有开环零极点的控制系统), 此时绘制的根轨迹为零度根轨迹。,61,以正反馈系统为例,说明零度根轨迹的绘制方法. 正反馈系统的根轨迹方程为：,相角条件,幅值条件,62,法则3：若实轴上某一右段的开环零极点个数之和为偶数,则该实轴为根轨迹段。,法则4：渐近线与实轴的交角为,法则5：根轨迹的出射角和入射角的计算公式,63,4.4 控制系统的根轨迹分析,1：闭环零极点分布与时间响应（1）主
16、导极点（2）偶极子：闭环零极点相距很近（3）可简化系统，略去比主导极点距虚轴远2-3倍的闭环零极点，略去不十分接近原点的偶极子。,64,2：附加零点的影响,x,x,x,x,-0.5,-0.58,65,2：附加极点的影响,x,x,-0.5,66,67,4.5 用MATLAB绘制根轨迹,MATLAB中专门提供了绘制根轨迹的有关函数。 p,z=pzmap(num,den)的功能是绘制连续系统的零极点图。 r,k= rlocus (num,den) 和r,k= rlocus (num,den,k)的功能是绘制根轨迹图。 r,k= rlocus (num,den)是绘制k=0部分的根轨迹。系统自动确定坐标轴的分度。如果用户需要设置坐标的范围，只要在程序中加上指令：v=-x, x, -y, y; axis(v)。如果要以给定的参数范围绘制根轨迹，则执行命令k,poles= rlofind (num,den,p)。 k,poles= rlofind (num,den) 和k,poles= rlofind (num,den,p)的功能是确定根轨迹上poles处的根轨迹放大系数的值。,68,例7 用MATLAB绘制例4.1的根轨迹图。,键入：,键入回车键，可得如图 所示根轨迹图。,
