1、利用基本插值多项式容易得出满足插值条件,的n次插值多项式,插值多项式称为拉格朗日插值多项式，记作,拉格朗日（Lagrange）插值多项式,当n=2时,由式可得三点插值公式,这是一个二次函数。用二次函数,代替函数,，在几何上就是用通过三点,的抛物线,曲线y=f(x)，故三点插值又称为抛物线插值。,近似,近似代替,如图,通过n+1个节点的n次插值多项式，在节点处有,在其它点上均是f(x)的近似值。记,称,为插值多项式的余项。,就是用,近似替代,的截断误差。,1 插值余项,定理1 若 f (x)在区间a,b上有直到n+1阶导数，,为 f (x) 在n+1个节点,上的n次插值多项式，则对任何,有,其中
2、,且依赖于x。,证明 当给定的x恰是某个节点 时，,两边都为0，定理的结论显然成立。,今设给定的节点x异于所有的节点，,构造辅助函数,因,都在a,b上n+1次可微，,故函数g(t)也如此。,显然，函数g(t)有n+2个互异的零点,由Rolle(罗尔)定理可知,在区间a,b内至少有n+1个互异的零点。,再对函数,使用Rolle(罗尔)定理，,可知在a,b内至少有n个互异的点使,如此反复使用Rolle(罗尔)定理，最后可知至少,存在一点,，使得,显然与所给的x有关。,由于,因而有,其中,且依赖于x。,证毕。,因而,特别当,时，,几点说明,10 当 f (x)本身是一个次数不超过n次的多项式时，,有
3、,20 余项,的表达式只有在 f (x)的n+1,阶导数存在时才能使用，由于不能具体求出，,即有,因此一般常利用,求出误差限，,例1 已知特殊角,的正弦函数值,用一次插值多项式，二次,插值多项式近似,解：若取,和,为节点作一次插值，得,，并用此求出,则,为节点插值，得,则,若取,为节点，作二次插值，得,则,取,现在应用式来估计误差。,并把度化为弧度，得,所以,先求线性插值的误差,同理，由,得,由,有,可以看出用,和,两点作线性插值要比用,和,作线性插值精确。这是因为点,一般来说，内插比外推精度要高。,的内部，这种插值称为内插。,其次，二次插值要比一次插值精度要高。,事实上，,在区间,否则，称为外推。,例2 给定函数表如下,试用线性插值与抛物线插值求,题目中,介于0.2和0.3之间，,解：为了减少插值计的截断误差，应用内插法,的近似值，并估计截断误差。,相应地,因此做线性内插时取,由线性插值公式，得,所得近似值为,由线性插值余项公式,这里,，所以,将,代入，得,类似地，在抛物线插值时，取,所得,的近似值和截断误差为,实际上，,的准确值为1.329762。,练习 已知下列对数函数表,分别用线性插值和抛物线插值计算ln0.54的近似值。,
