1、第3篇 工程动力学基础,理论力学,第9章 动量矩定理及其应用,第3篇 工程动力学基础,第9章 动量矩定理及其应用,动量定理和动量矩定理在数学上同属于一类方程，即矢量形式的微分方程。而质点系的动量和动量矩，可以理解为动量组成的系统（即动量系）的基本特征量动量系的主矢和主矩。二者对时间的变化率分别等于外力系的两个基本特征量力系的主矢和主矩。,本章主要研究质点系的动量矩定理和刚体平面运动微分方程。, 动量矩定理及其守恒形式, 相对质心的动量矩定理, 刚体定轴转动微分方程与 平面运动微分方程, 结论与讨论, 动量和动量矩定理在碰撞中的应用, 参考性例题,第9章 动量矩定理及其应用, 质点与刚体的动量矩
2、,？,谁最先到达顶点,第9章 动量矩定理及其应用,？,没有尾桨的直升飞机是怎么飞起来的,第9章 动量矩定理及其应用, 质点与刚体的动量矩, 质点系的动量矩, 刚体的动量矩, 刚体对轴的转动惯量, 质点与刚体的动量矩, 质点系的动量矩,称为质点的动量矩，也就是物理学中的角动量。,质点的动量矩是定位矢，其作用点在所选定的矩心O上。, 质点与刚体的动量矩,考察由n个质点组成的质点系，如图所示。其中第i个质点的质量、位矢和速度分别为mi 、ri 、 vi 。质点的动量对点O之矩为, 质点系的动量矩, 质点系的动量矩,质点系的动量矩即是动量系的主矩，它是质点系中各质点的动量对点O之矩的矢量和：,质点系的
3、动量矩是定位矢，其作用点在所选矩心O上。它是度量质点系整体运动的又一基本特征量。, 质点与刚体的动量矩,质点系对坐标轴的动量矩，其方向采用右手定则：右手握拳，四指与动量矩的转向一致，拇指指向与坐标轴正向一致者为正，反之为负。, 质点与刚体的动量矩, 刚体的动量矩,作为特殊质点系的刚体，其动量矩与刚体的运动形式有关。, 刚体的动量矩, 质点与刚体的动量矩, 刚体的动量矩,平移刚体对O点的动量矩,设平移刚体的总质量为m，由于其运动特征是刚体上每一质点的速度均相等，即vi=v，则有,这一结果表明，平移刚体可以看成是一质量集中在质心处的质点，只要确定刚体质心的矢径rC，即可应用上式确定平移刚体对O点的
4、动量矩。,设刚体绕定轴z转动，如图所示，其角速度与角加速度分别为和 。刚体上第i个质点的质量为mi，到轴z的距离为ri ，则刚体对定轴的动量矩为, 质点与刚体的动量矩, 刚体的动量矩,定轴转动刚体对转动轴的动量矩,Jz称为刚体对轴z的转动惯量。, 质点与刚体的动量矩, 刚体的动量矩,这表明：定轴转动刚体对于转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。,定轴转动刚体对转动轴的动量矩,P.233、235, 质点与刚体的动量矩, 刚体对轴的转动惯量,对于简单形状均质物体的转动惯量，有表可查。在计算时还要特别说明以下两点：,若已知刚体对某轴z的回转半径z和刚体的质量m，则其转动惯量可按下式计算
5、,刚体对任一轴z的回转半径或惯性半径为,1. 回转半径（或称惯性半径）, 刚体对轴的转动惯量, 质点与刚体的动量矩, 刚体对轴的转动惯量,1. 回转半径（或称惯性半径）,即物体的转动惯量等于该物体的质量与回转A半径平 方的乘积。,上式表明，若将物体的质量全部集中于一点，并令该质点对于z轴的转动惯量等于物体的转动惯量，则质点到z轴垂直距离即为回转半径。, 质点与刚体的动量矩, 刚体对轴的转动惯量,2平行移轴定理,已知物体过质心轴的转动惯量，可通过下列公式计算出对其他平行轴的转动惯量：,式中Jz表示刚体对任一轴z的转动惯量；JzC 为刚体对通过质心C且与z轴平行的轴zC的转动惯量；m为刚体的质量；
6、d为z与zC轴之间的距离。,P.236, 质点与刚体的动量矩, 刚体对轴的转动惯量,2平行移轴定理,上述关系称为平行移轴定理，它表明，刚体对任一轴z的转动惯量，等于刚体对通过质心并与轴z平行的轴zC的转动惯量，加上刚体质量与两轴间距离平方的乘积。, 动量矩定理与动量矩守恒, 质点系相对固定点的动量矩定理, 动量矩定理积分形式, 动量矩定理的投影形式, 动量矩定理的守恒形式, 动量矩定理及其守恒形式, 动量矩定理及其守恒形式, 质点系相对固定点的动量矩定理,质点的动量矩定理：,对于质点系中的所有质点：, 质点系相对固定点的动量矩定理,质点系相对固定点的动量矩对时间的一阶导数等于作用在该质点系上的
7、外力系对同一点的主矩。这就是质点系相对定点的动量矩定理。,将上述二式积分，得到, 动量矩定理积分形式, 动量矩定理及其守恒形式, 动量矩定理积分形式,以上二式均为质点系动量矩定理的积分形式，与上一章介绍的冲量定理一起，构成了用于解决碰撞问题的基本定理。, 动量矩定理积分形式, 动量矩定理及其守恒形式,这就是质点系动量矩定理的投影形式，也就是质点系相对定轴的动量矩定理, 动量矩定理与动量矩守恒, 动量矩定理的投影形式, 动量矩定理的投影形式,若外力矩,则质点系对该点的动量矩为常矢量,这表明质点系对该点的动量矩守恒, 动量矩定理与动量矩守恒, 动量矩定理的守恒形式, 动量矩定理的守恒形式,当外力对
8、某定轴的主矩等于零时，质点系对该轴的动量矩守恒。,例如,其中C1 为常数。, 动量矩定理与动量矩守恒, 动量矩定理的守恒形式,P.239,？,谁最先到达顶点, 动量矩定理与动量矩守恒, 动量矩定理的守恒形式, 相对质心的动量矩定理,在质点系相对惯性参考系中固定点（或固定轴）的动量矩定理中，动量矩由系统的绝对运动所确定。,工程实际中往往需要研究质点系在任意状态下的动力学问题，这时需要建立相对任意动点和任意动系的动量矩定理。,这里只讨论质点系相对质心的动量矩定理，一方面是因为它有广泛的应用价值，另一方面相对于质点系的质心或通过质心的动轴，动量矩定理仍保持了简单的形式。, 相对质心的动量矩定理, 相
9、对质心的动量矩定理, 质点系相对质心的动量矩, 质点系相对质心的动量矩定理, 相对质心的动量矩定理, 质点系相对质心的动量矩,Oxyz为固定坐标系，建立在质心C上随质心平移的动坐标系为Cxyz 。质点系内第i个质点的质量为mi ，相对质心的位矢为ri ，相对质心的速度为vir 。, 质点系相对质心的动量矩, 相对质心的动量矩定理, 质点系相对质心的动量矩,质点系相对质心的动量矩,根据动量矩定义，质点系相对质心的动量矩应为,其中vi为第i个质点的绝对速度。,则有, 相对质心的动量矩定理, 质点系相对质心的动量矩,可见，计算质点系相对质心的动量矩，用绝对速度和相对速度结果都是一样的。对于一般运动的
10、质点系，通常可分解为随质心的平移和绕质心的转动，因此，用上式中的第二项计算质点系相对质心的动量矩更方便些。,质点系相对质心的动量矩, 相对质心的动量矩定理, 质点系相对质心的动量矩,质点系相对固定点的动量矩与 相对质心的动量矩之间的关系,这就是质点系相对固定点的动量矩与质点系相对质心的动量矩之间的关系。, 相对质心的动量矩定理, 质点系相对质心的动量矩定理,这就是质点系相对质心的动量矩定理。它表明：质点系相对质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩。该定理在形式上与质点系相对固定点的动量矩定理完全相同。, 质点系相对质心的动量矩定理, 相对质心的动量矩定理, 质点系相对质心
11、的动量矩定理,需要注意的是，这里所涉及的随质心运动的动坐标系，一定是平移坐标系。定理只适用于质心这一特殊的动点，对其它动点，定理将出现附加项。,对于刚体，质心运动定理建立了外力与质心运动的关系；质点系相对质心的动量矩定理建立了外力与刚体在平移参考系内绕质心转动的关系；二者完全确定了刚体一般运动的动力学方程，为研究刚体系的动力学问题奠定了基础。, 刚体定轴转动微分方程与平面运动微分方程,返回,第9章 动量矩定理及其应用, 刚体定轴转动微分方程与平面运动微分方程, 刚体定轴转动微分方程, 刚体平面运动微分方程, 刚体定轴转动微分方程与平面运动微分方程, 刚体定轴转动微分方程,可以直接得到刚体定轴转
12、动微分方程。, 刚体定轴转动微分方程,设刚体绕定轴z转动，如图所示，其角速度与角加速度分别为和 。刚体上第i个质点的质量为mi，到轴z的距离为ri ，则刚体对定轴的动量矩为,其中，Jz为刚体对轴z的转动惯量(moment of inertial)。, 刚体定轴转动微分方程与平面运动微分方程, 刚体定轴转动微分方程,该式为刚体定轴转动微分方程。即刚体对定轴转动的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用在刚体上的主动力系对该轴之矩。由于工程上作定轴转动的刚体很普遍，所以上式具有重要意义。, 刚体定轴转动微分方程与平面运动微分方程, 刚体定轴转动微分方程,例 题 1, 刚体定轴转动微分方程与平面运动微分方
13、程, 刚体定轴转动微分方程,图示钟摆简化模型中，已知均质细杆和均质圆盘的质量分别为m1、m2 ，杆长为l，圆盘直径为d。,试求：钟摆作小摆动时的周期。, 刚体定轴转动微分方程与平面运动微分方程,分析受力，建立钟摆的运动微分方程, 刚体定轴转动微分方程例 题 1,解：摆绕O轴作定轴转动。设j 为任意时刻转过的角度，规定逆时针为正。根据定轴转动的微分方程, 刚体定轴转动微分方程与平面运动微分方程, 刚体定轴转动微分方程例 题 1,微小摆动时，有,化为标准形式，,摆的周期为,摆的周期为,根据物理学中关于转动惯量的定义,其中JO1和JO2分别为杆和圆盘对于转动轴的转动惯量。, 刚体定轴转动微分方程与平
14、面运动微分方程, 刚体定轴转动微分方程例 题 1,均质圆轮半径为R、质量为m。圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动，已知重物重量为W。,求：重物下落的加速度, 刚体定轴转动微分方程与平面运动微分方程, 刚体定轴转动微分方程,例 题 2,解：设圆轮的角速度和角加速度分别为 和 ，重物的加速度为aP。,圆轮对O轴的动量矩,重物对O的轴动量矩,系统对O的轴总动量矩, 刚体定轴转动微分方程与平面运动微分方程, 刚体定轴转动微分方程例 题 2,解：,系统对O的轴总动量矩,应用动量矩定理, 刚体定轴转动微分方程与平面运动微分方程, 刚体定轴转动微分方程例 题 2,解：,应用动量矩定理,aP=R, 刚体定轴转动
15、微分方程与平面运动微分方程, 刚体定轴转动微分方程例 题 2, 刚体定轴转动微分方程与平面运动微分方程, 刚体平面运动微分方程,本节将质心动量定理和相对质心动量矩定理应用于刚体平面运动动力学分析。所用方法与所得的结果不仅对刚体平面运动动力学，而且对现代多刚体系统动力学都有重要意义。, 刚体平面运动微分方程,刚体平面运动微分方程,运动学中，确定作平面运动刚体的位置，可由基点的位置与刚体绕基点转动的转角确定。,取质心C为基点，其坐标为xC、yC，设D为刚体上任意一点，CD与x轴的夹角为j , 则刚体的位置可由xC、yC和j 确定。, 刚体定轴转动微分方程与平面运动微分方程, 刚体平面运动微分方程,
16、刚体平面运动微分方程,将刚体的运动分解为随质心的平移和绕质心的转动两部分。当刚体具有质量对称面、且质量对称面平行于运动平面时，则在固连于质心的平移参考系中，刚体对质心的动量矩为,其中JC为刚体对通过质心C且与运动平面垂直的轴的转动惯量，为角速度。, 刚体定轴转动微分方程与平面运动微分方程, 刚体平面运动微分方程,刚体平面运动微分方程,当作用于刚体上的力系等价于质量对称面内的一个平面力系时，对刚体平面运动，应用质心运动定理和相对质心动量矩定理 ，有, 刚体定轴转动微分方程与平面运动微分方程, 刚体平面运动微分方程,这两个方程都是刚体平面运动的微分方程。,或者,需要指出的是，如果上述投影方程中各式
17、等号的左侧各项均恒等于零，则得到静力学中平面力系的平衡方程，即外力系的主矢、主矩均等于零。因此，质点系动量定理与动量矩定理，不但完全确定了刚体一般运动的动力学方程，而且还完成了对刚体平面运动的特例 平衡情形的静力学描述。, 刚体定轴转动微分方程与平面运动微分方程, 刚体平面运动微分方程,刚体平面运动微分方程,例 题 3,半径为r的匀质圆盘从静止开始，沿倾角为的斜面无滑动的滚下。,试求：1圆轮滚至任意位置时的质心加速度aC；2圆轮在斜面上不打滑的最小静摩擦因数。, 刚体定轴转动微分方程与平面运动微分方程, 刚体平面运动微分方程,解：分析圆轮受力,圆轮作平面运动。根据刚体平面运动微分方程，有, 刚
18、体定轴转动微分方程与平面运动微分方程, 刚体平面运动微分方程例 题 3,1确定圆轮质心的加速度, 刚体定轴转动微分方程与平面运动微分方程, 刚体平面运动微分方程例 题 3,运动学补充关系, 刚体定轴转动微分方程与平面运动微分方程, 刚体平面运动微分方程例 题 3,解：2确定圆轮在斜面上不滑动的最小静摩擦因数,此即圆轮在斜面上不滑动的最小静摩擦因数。, 刚体定轴转动微分方程与平面运动微分方程, 刚体平面运动微分方程例 题 3,3. 本例讨论如果圆轮可以在斜面上滑动，本例将如何求解？补充方程将如何建立？, 刚体定轴转动微分方程与平面运动微分方程, 刚体平面运动微分方程,例 题 4,均质杆AB长为l
19、，放放置于铅垂平面内，杆一端A靠在光滑的铅垂墙上，另一端B放在光滑的水平面上，与水平面的夹角为0。令杆由静止状态滑下。,求：杆在任意位置时的角加速度。,解：分析受力,杆作平面运动，按平面运动微分方程可列出, 刚体定轴转动微分方程与平面运动微分方程, 刚体平面运动微分方程例 题 4, 刚体定轴转动微分方程与平面运动微分方程, 刚体平面运动微分方程例 题 4,解：杆作平面运动，受力如图。按平面运动微分方程可列出,式中有五个未知量，如果要求得全部未知量，还需两个运动学补充方程。显然，这一方法比较麻烦。如果应用相对特殊瞬心的动量矩定理，求解就比较方便。,相对特殊瞬心的动量矩定理：平面运动过程中，如果刚
20、体的质心C到速度瞬心C*的距离保持不变时，则质点系相对速度瞬心的动量矩对时间的导数等于质点系外力对同一点的主矩，即,注意到杆的质心到速度瞬心的距离恒等于l/2，故可应用相对特殊瞬心的动量矩定理。这时，, 刚体定轴转动微分方程与平面运动微分方程, 刚体平面运动微分方程例 题 4,对上式积分可以得到杆的角速度，进而可以比较方便地求出其余未知量。, 刚体定轴转动微分方程与平面运动微分方程, 刚体平面运动微分方程例 题 4, 动量和动量矩定理在碰撞问题中的应用,返回,第9章 动量矩定理及其应用, 动量和动量矩定理在碰撞问题中的应用,物理学中已经涉及过一些碰撞(collision)问题，这里着重介绍动量
21、和动量矩定理在碰撞中的应用。, 动量和动量矩定理在碰撞问题中的应用, 碰撞的恢复因数, 碰撞的基本定理, 动量和动量矩定理在碰撞问题中的应用, 碰撞的恢复因数, 动量和动量矩定理在碰撞问题中的应用, 碰撞的恢复因数,解决工程问题时，由于很难确定碰撞力的变化规律，通常只分析碰撞前后物体运动的变化，并根据碰撞的特点，作适当简化，主要简化有：,1碰撞过程中，由于碰撞力极大，重力等非碰撞力可以忽略不计。,2由于碰撞时间极短，物体的位置基本没有改变，故物体的位移可忽略不计。,物理学中关于碰撞的论述：若碰撞前后两球的质心速度矢与两球接触面的公法线共线，则称为正碰撞。,碰撞中，两球碰撞后相对分离的速度与碰撞
22、前相对接近的速度之比，称为恢复因数(coefficient of restitution)：,式中u1、u2分别为两球碰撞后的速度； v1、v2分别为两球碰撞前的速度。, 动量和动量矩定理在碰撞问题中的应用, 碰撞的恢复因数,式中v1n、v2n分别为刚体碰撞前两球碰撞点的速度在接触点公法线方向的投影； u1n、u2n为刚体碰撞后两球碰撞点的速度在接触点公法线方向的投影。,对于刚体，恢复因数表达式应改写为 ：, 动量和动量矩定理在碰撞问题中的应用, 碰撞的恢复因数, 动量和动量矩定理在碰撞问题中的应用, 碰撞的基本定理, 动量和动量矩定理在碰撞问题中的应用, 碰撞的基本定理,应用动量定理的积分形
23、式和动量矩定理的积分形式，可以形成质点系碰撞过程的基本定理。,由于碰撞过程中忽略了碰撞物体中各点的位移，即ri 为常量，所以上述二式可以分别表示成, 动量和动量矩定理在碰撞问题中的应用, 碰撞的基本定理,定轴转动的物体发生碰撞时，基本定理为,平面运动的物体发生碰撞时，基本定理为为,具体应用时，根据具体情形，将基本定理的表达式与碰撞因数公式联立，再加上运动学补充方程，即可求得问题的解答。, 动量和动量矩定理在碰撞问题中的应用, 碰撞的基本定理,例 题 5,绕定轴O转动的刚体质量为m，刚体对轴O的转动惯量为JO，该刚体的质量对称面在图示平面内。今有外碰撞冲量I作用在对称平面内。,试分析：轴承的约束
24、碰撞力冲量IO 。,解：因为质量对称面在图示平面内，所以刚体的质心必位于图形平面内。,建立图示之坐标系，y轴通过质心。,应用冲量定理有, 动量和动量矩定理在碰撞问题中的应用, 碰撞的基本定理例 题 5, 动量和动量矩定理在碰撞问题中的应用, 碰撞的基本定理例 题 5,应用冲量定理有,式中uCx、uCy和vCx、vCy分别为两球碰撞后质心速度在x、y轴上的投影。,若图示位置是发生碰撞的位置，则有 uCyvCy = 0 。于是，轴O处的约束碰撞力为,若图示位置是发生碰撞的位置，则有 uCyvCy= 0。于是，轴O处的约束碰撞力为, 动量和动量矩定理在碰撞问题中的应用, 碰撞的基本定理例 题 5,可
25、见，一般情形下，会在轴承处引起碰撞冲量。这种碰撞冲量将使轴承和轴发生损伤，所以实际设计时，应当尽量避免。,为使轴承处碰撞冲量是零，即,必须满足,为了满足,外冲量I必须沿着垂直于OC的方向。, 动量和动量矩定理在碰撞问题中的应用, 碰撞的基本定理例 题 5,为了满足,其中a为O点至质心C点的距离，K点是外碰撞冲量I的作用线与OC线的交点。这一点称为撞击中心(center of percussion)。, 动量和动量矩定理在碰撞问题中的应用, 碰撞的基本定理例 题 5,I作用点与O轴之间的距离不能是任意的。, 结论与讨论,返回,第9章 动量矩定理及其应用, 结论与讨论, 几个需要注意的关系, 与碰
26、撞有关的问题, 结论与讨论, 几个需要注意的关系, 结论与讨论, 几个需要注意的关系,质点系的外力系(F1, F2, , Fn) 和动量系(m1v1, m2v2, , mnvn)是质点系动力学的两个重要矢量系。事实上，二者数学意义上是完全相同的矢量系。因而，它们的基本特征量均是主矢和主矩，其运算法则、投影方式以及对点之矩和对轴之矩的关系都是相同的。,外力系与动量系, 作用在质点系上的外力系 力系及其基本特征量, 结论与讨论, 几个需要注意的关系,外力系与动量系, 作用在质点系上的动量系 动量系及其基本特征量, 结论与讨论, 几个需要注意的关系,外力系与动量系,之一：质点系动量定理与相对定点或定
27、轴动量矩定理,之二：质点系动量定理与相对质心(平移系)动量矩定理,之三：刚体平面运动微分方程, 结论与讨论, 几个需要注意的关系,外力系与动量系,之一：质点系动量定理与相对定点或定轴动量矩定理,质点系动量定理,质点系相对定点动量矩定理,质点系相对定轴动量矩定理, 结论与讨论, 几个需要注意的关系,定轴转动的特殊情形,外力系与动量系,之二：质点系动量定理与相对质心(平移系)动量矩定理,质点系动量定理,质点系相对质心(平移系)动量矩定理, 描述质点系质心的运动, 描述质点系相对质心的运动, 结论与讨论, 几个需要注意的关系,外力系与动量系,之三：刚体平面运动微分方程 动量定理和相对质心动量矩定理描
28、述平面运动刚体的总体运动。,描述刚体质心的运动,描述刚体相对质心(平移系)的转动, 结论与讨论, 几个需要注意的关系,外力系与动量系,之三：刚体平面运动微分方程 动量定理和相对质心动量矩定理描述平面运动刚体的总体运动。,动力学,静力学,静力学是动力学的特殊情形, 结论与讨论, 几个需要注意的关系,外力系与动量系,外力系与动量系的主矢和主矩分别对应相关, 结论与讨论, 几个需要注意的关系,外力系与动量系, 结论与讨论, 几个需要注意的关系,刚体定轴转动运动微分方程与质点系相对定轴的动量矩定理,请读者仔细分析对比例题1和例题2，前者是刚体定轴转动的问题；后者是质点系的问题。求解这两种问题时，采用了
29、不同的方法。例题2 中，实际上是刚体系的情形，而且这一刚体系以定轴转动的圆盘为主体，因而，用对定轴的动量矩定理求解比较方便。定轴转动的微分方程源于对定轴的动量矩定理，但是因为用到了定轴转动的运动关系，又有其特殊性。正确地认识、理解和区分两类既联系又有区别的定理，对正确地解决工程问题是十分重要的。, 结论与讨论, 几个需要注意的关系,转动惯量与回转半径,刚体的转动惯量,刚体对轴的转动惯量还可用回转半径或惯性半径（inertial radius）表示。回转半径z与转动惯量Jz的关系为,回转半径的含义是，若将刚体的质量m集中在距离z轴为z的圆周上，其转动惯量与原刚体的转动惯量相等。, 结论与讨论,
30、与碰撞有关的问题, 结论与讨论, 与碰撞有关的问题,正确区分碰撞过程与非碰撞过程,在研究碰撞问题时，无论是基本假设还是基本定理，都强调了“碰撞过程”这个概念，因为，只有在碰撞过程中，非碰撞力才可不计；位移才可不计；冲量定理、冲量矩定理才适用。因此必须正确区分碰撞过程与非碰撞过程。当重物从高处下落，掉在另一物体上，碰撞过程是重物刚与另一物体相接触到两物具有同一速度止，此时没有位移发生，重力等常规力不计。而在碰前和碰后则仍用动能定理等常规方法。, 结论与讨论, 与碰撞有关的问题,碰撞问题中的能量问题,碰撞过程中，物体的动能会转变成其他形式的能量，例如转变为声、光、热等能量,动能的损失与恢复因数e有
31、关:当0e1时，物体发生弹性碰撞,物体在弹性碰撞结束时，变形不能完全恢复，动能有损失；当e=1时，物体在碰撞结束时，变形完全恢复，动能没有损失，这种碰撞称为完全弹性碰撞，是一种理想情形；e=0时，为极限情形，碰撞结束时，物体的变形没有任何恢复，称为非弹性碰撞或塑性碰撞。,以两球对心正碰撞为例，可得到塑性碰撞过程中动能损失的数学表达式，发现动能的损失与两物体的质量有关。并依此对工程中金属锻压和打桩的设计进行分析，有兴趣的读者，可参阅范钦珊主编的理论力学(2000年，高等教育出版社出版)。,本章作业,92 94 99 915 918,谢 谢 大 家,返回, 参考性例题,返回,第9章 动量矩定理及其
32、应用,扭摆装置中，圆盘A对通过圆心C 的铅垂轴的转动惯量为JC；弹性杆件 OC 的长度为 l、切变模量为G、横截 面的极惯性矩为 IP，杆件的质量与圆 盘相比可以忽略不计。若不考虑空气 阻力，求：扭摆的扭转振动周期。, 参考性例题, 参考性例题 1,解：假设圆盘扭过一任意角度 ，根据圆轴扭转的变形与扭 矩的关系,将扭摆看作一扭转弹簧，其 刚度系数, 参考性例题, 参考性例题 1,解：将扭摆看作一扭转弹簧，其 刚度系数,应用刚体定轴转动运动微分方程,扭摆的周期为, 参考性例题, 参考性例题 1,用于测量圆盘转动惯量的三线摆中，三根长度相等(l)的弹性线，等间距悬挂被测量的圆盘。已知圆盘半径为 R
33、 、重力为W。,试确定：怎样才能测量出圆盘转动惯量？, 参考性例题, 参考性例题 2,解：让三线摆作微小扭转振动建立振动周期与转动惯量之间的关系，通过测量振动周期，就可以测量出圆盘转动惯量。设圆盘绕 z 轴转过微小角度, 参考性例题, 参考性例题 2,解：分析圆盘受力,FT 圆盘周边切线方向上的分量, 参考性例题, 参考性例题 2,解：应用刚体绕定轴转动的运动微分方程,FT 圆盘周边切线方向上的分量, 参考性例题, 参考性例题 2,半径为r的均质圆轮，在倾角 的斜面上，从静止开始向下作无 滑动的滚动。,求：1、圆轮滚动到任意位置 时，质心的加速度；2、圆轮在斜面上不发生滑动 所需要的最小摩擦因
34、数。, 参考性例题, 参考性例题 3,解：受力分析,1. 圆轮质心加速度 : 圆轮作平面运动，根据平面运动微分方程,Wmg圆轮所受重力； F 滑动摩擦力； FN 斜面约束力。, 参考性例题, 参考性例题 3,1. 圆轮质心加速度 : 圆轮作平面运动，根据平面运动微分方程,根据圆轮作纯滚动的条件,aC =r, 参考性例题, 参考性例题 3,2. 圆轮在斜面上不发生滑动 所需要的最小摩擦因数:,纯滚动时，滑动摩擦力一般小于最大静摩擦力 FN fs, 参考性例题, 参考性例题 3,半径为r、质量为 m的均质 圆柱体，在半径为 R 的刚性 圆槽内作纯滚动 。在初始位 置0 ，由静止向下滚动。,求： 1
35、. 圆柱体的运动微分方程；,2. 圆槽对圆柱体的约束力；,3. 微振动周期与运动规律。, 参考性例题, 参考性例题 4,解：分析圆柱体受力mg重力；F滑动摩擦力；FN圆槽对圆柱体的约束力。,圆柱体作平面运动，自由度N1，广义坐标q ，弧坐标s与圆柱体质心轨迹重合。, 参考性例题, 参考性例题 4,解： 1. 圆柱体的运动微分方程,根据自然轴系中，质心运动定 理的投影形式，圆柱体的运动微 分方程,C* 为瞬心，, 参考性例题, 参考性例题 4,解： 1. 圆柱体的运动微分方程,这是大小角度都适用的圆柱体非线性运动微分方程。, 参考性例题, 参考性例题 4,解： 2. 圆槽对圆柱体的约束力,由第二
36、个运动微分方程,圆槽对圆柱体的约束力为：, 法向力, 摩擦力, 参考性例题, 参考性例题 4,解： 3. 微振动的周期与运动规律,，非线性微分方程线性化, 参考性例题, 参考性例题 4,解： 3. 微振动的周期与运动规律,线性微分方程的一般解为：,A和为待定常数，由运动的初始条件确定。, 参考性例题, 参考性例题 4,解： 3. 微振动的周期与运动规律,线性微分方程的一般解为：,A和为待定常数，由运动的初始条件确定。, 参考性例题, 参考性例题 4,例 题 5,质量为m、长为l的均质杆AB，自水平位置自由下落一段距离h后，与光滑支座D相碰撞，BD=l/4。假定恢复因数为e=1。,求：碰撞后的角速度和碰撞冲量。, 参考性例题, 参考性例题 5,解：根据题意，杆下落时作平移，与支座碰撞前的速度为,设I为碰撞冲量，uC为碰撞后质心的速度，为杆角速度。碰撞后杆作平面运动。, 参考性例题, 参考性例题 5,设I为碰撞冲量， uC为碰撞后质心的速度，为杆角速度。碰撞后杆作平面运动。,根据平面运动物体的碰撞定理,利用恢复因数表达式和已知条件，有, 参考性例题, 参考性例题 5,运动学补充方程,碰撞后AB杆上D点的速度,将此式在铅垂方向(y)投影，有, 参考性例题, 参考性例题 5,三式联立，解得, 参考性例题, 参考性例题 5,
