1、2010 年暑假 初二数学 第 7 讲 教师版 page 1 of 18第七讲分式化简的技巧中考要求内容 基本要求 略高要求 较高要求分式的概念 了解分式的概念，能确定分式有意义 的条件 能确定使分式的值为零的条件分式的性质 理解分式的基本性质，并能进行简单 的变型 能用分式的性质进行通分和约分分式的运算 理解分式的加、减、乘、除运算法则 会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题知识点睛比例的性质： 比例的基本性质： ，比例的两外 项之积 等于两内项之积.acdbcb 更比性（交换比例的内项或外项）：() ()abcdbbca交 换 内 项 交 换 外 项同 时
2、 交 换 内 外 项 反比性（把比例的前项、后 项交换）： adb 合比性： ，推广： （ 为任意实数）acbcdbdkbk 等比性：如果 ，那么 （ ）.mn.cman.0dn2010 年暑假 初二数学 第 7 讲 教师版 page 2 of 18基本运算分式的乘法： acbd分式的除法： adbc乘方： ( 为正整数)()nnnab 个个 n个 整数指数幂运算性质： ( 、 为整数)mn ( 、 为整数)()a ( 为整数)b ( ， 、 为整数)mn0amn负整指数幂：一般地，当 是正整数 时， ( )，即 ( )是 的倒数1na0na0na分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变
3、，把分子相加减， bc异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减， acdbacd分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算结果以最简形式存在.重、难点重难点：灵活对分式进行适当变形例题精讲一、基本运算【例 1】 计算： 2266(3)4xx234()()bab 321()mnn3 2241)xxx2010 年暑假 初二数学 第 7 讲 教师版 page 3 of 18 ；2266(3)4xx2(3)1(3)2xxx 4()bab 4452668()abab932231()18mnmn 224()xxx323 24(1)(1)xxx 21)(31分子分母
4、有些可以因式分解，先进行因式分解，再 计算； 如果运算结果不是最简分式，一定要进行约分，使运算结果化成最 简分式；有幂的运算时 ，先算乘方，后算乘除【巩固】 （2008 杭州）化简 的结果是（ ）22xyA B C Dxyxyxy原式 故 选 A2()()xyxy【巩固】 （2008 黄冈）计算 的结果为（ ）abA B C Dababab故 选 A2ab()b【例 2】 计算： 2221353xxx2261xx 53222135xx；63x2 221x261x6x84x【巩固】 (第 9 届希望杯试题)化简：42223164(2)8mm2010 年暑假 初二数学 第 7 讲 教师版 page
5、 4 of 18原式2 222(4)()()4)412mmm 2 222()()()4() 【巩固】 化简：2 22 21()ababab原式222()() 222()()ab.2abab()ab【例 3】 化简：2222()()()abccaba原式 ()()()()()()bcba.1ccaba【例 4】 已知： ，其中221()1aa32 24【巩固】 当 时，求代数式 的值1x22614xx【巩固】 原式24()()43x【巩固】 求代数式 的值，其中 ， ，2222abcabcabc1a2b3c222abcabcabc cab2010 年暑假 初二数学 第 7 讲 教师版 page
6、5 of 18当 ， ， 时，原式 1a2b3c123136【例 5】 计算： ( 为自然数)2482111nxxxx原式 12 22nnnnx 【巩固】 已知 ，求 .248161()1fxxx()fx 2248161xx4481632.1xx故 .3232(2) 1f 二、整体代入运算【例 6】 已知： ，且 试用 表示 23mxy201nxyxy， xy， mn ，由 ，得： 0 23m由 ，得： 2nxy221ynx ， ，1 23mx231xxy3y【巩固】 已知： ，求 的值4y222yyx22()()34x xy【巩固】 已知 ，求 的值.22154780xyy2010 年暑假
7、初二数学 第 7 讲 教师版 page 6 of 18【解析】 ， ， 或 ，22154780xy(37)(54)0xy370xy540xy由题意可知: ， 或 .【例 7】 已知分式 的值是 ，如果用 ， 的相反数代入这个分式，那么所得的值为 ，则 、 是1xymxy nm什么关系？由题可知： .1xyn， 由得： nmxy ， m0所以 的关系为互为相反数，【巩固】 (第 11 届“希望杯”邀请赛试题)已知代数式 ，当 时，值为 1，求该代数式25342()xabcxd当 时的值1x当 时， ；25342()1axbcabcdd当 时，x25342()1xabcd【例 8】 已知 ，求代数
8、式 的值.210yx24xy.4(2)01716xy【巩固】 已知： ， ，求 的值.1y4x1xy222 2()(1)()()()()3415xyxyxyxy 【巩固】 已知 ，求代数式 的值.3ab()4()3ab.2()4()102【例 9】 已知 ，求 的值.1mn573mn2010 年暑假 初二数学 第 7 讲 教师版 page 7 of 18(法 1)：由 可得， ，即 ，1mn1mnn575()7572232323m(法 2)：根据题意可得 ， ，所以 (分式的分子分母同除以 )0 n1)573232(3nmnm【巩固】 已知： ，求 的值.1xyyx由 可得 ，2()22()1
9、xyxy【巩固】 (新加坡中学生数学竞赛)设 ，求14xy32yx由 ，知 ，则 .()32()12()()28yxyxyx【巩固】 如果 ，求 的值.235xy2241063xy.2241063xyxy102xy2510三、消元计算【例 10】 已知 ， ，求代数式 的值.3ab2acabc（法 1）注意将未知数划归统一， ，2,3123ac（法 2） ， ，3ab2acb2ab【巩固】 (第 届华罗庚金杯总决赛 试)91已知 ，求 的值2(0xy3223axybx2010 年暑假 初二数学 第 7 讲 教师版 page 8 of 18【解析】 由已知可得： ， ，故原式 .2yx3ab72
10、9【巩固】 (清华附中暑假作业)已知： ，求 的值.2ab变形可得： ，所以 或 ，所以 或 .()30ab321ab5【例 11】 已知： ， ，且 ，求 的值.2c260abc0c33227caba由题意可知： ，解得 ，306ab433231579ab【巩固】 已知方程组: ( )，求：230xyzx:xyz把 看作已知数，解关于 、 的方程组，解得 ， ，所以 .z 57:7:51xyz【巩固】 (全国数学竞赛)若 ， ( )，求 的值.4360xyz270xyzxy22310xyz由 ，得 ，代入得原式 .2731四、设比例参数【例 12】 (五羊杯试题)已知 ，则 =_.23232
11、4abcacb32ac设 ，则有234abck，求得 ， ， .故 .234kcab91a8b1ck2341abc【巩固】 (重庆市数学竞赛试题)已知 ，则 =_.345xyzx22yzx由 ，可得 ，可得 ，则 .345kxyzx45kyzxk13kyzk2214yzx2010 年暑假 初二数学 第 7 讲 教师版 page 9 of 18【补充】 （“五羊杯”试题）设 ， ，则1xyzu2:1:2:3(2):4xyzux_73xyzu令 ，则有2234k (1)23 4()kyzux可得， 可得，(1)0 (5)xz32(4)2 (6)zxk由 、 可得， ，5621k8代入 、 可得，
12、，()35y9uk又 ，故xyzu123510kk故 2037【例 13】 (天津市竞赛题)若 ，求 的值.xyzzxyz()()xyzx设 xyzzkx则 ， ， ，三式相加可得 ，(1)k(1)y(1)zy2()(1)xyzkxyz若 ，则 ， ；0xyz8yx若 ，则 .()()1xzy【巩固】 若 ，求 的值.abcdabcd设 ，则 ， ， ，kc2ka3bcka4bka故 ，故 .41k若 ，则 ；若 ，则 .0abcd12dc【巩固】 已知 求 的值xyyzuxzuuyxzxyzuxuyz可得 (13)0kz如果分子 ，则由分母推得 此时， 2010 年暑假 初二数学 第 7 讲
13、 教师版 page 10 of 18xyzuxzuyz14如果分子 ，则 ， 0xyzuyzux此时， z114【例 14】 已知 ，求 的值.xyzbcabac()()()bxcaybz设 ，则有k()2()xkyxabycabzcz故 ()()()()()()()x xcaybz.220cyxabkk 【巩固】 （第 届“希望杯”试题）已知 ，且 ，则1 9pqr222pqrxyzxzy的值等于（ ）pxqyrzA. 9 B.10 C. 8 D. 7设 ，又 ，222rkxyzxzy9pqr故 9k又 333pqrkxzy33kxyzx22xyzyz，故 ，选 A99pxqr【巩固】 已知
14、 ，求证： .2220()xyzzyxzabc222abcacbxyz【解析】设 ，则 ， ， ，所以xk2yk2zk2xk222()()()kcyzzx4 32yz.33x因为 ， ，所以 .0k2332abcxxyk2010 年暑假 初二数学 第 7 讲 教师版 page 11 of 18同理可得 ，从而 .22332bcabxyzxyzk222abcacbxyz五、分式与裂项【例 15】 设 为正整数，求证： .n11.35(2)2n【解析】 ，故1()(2)2n111. ()3522n【巩固】 化简： .1.()()(9)10xxx11. .2 290xxx110xx【例 16】 化简
15、： 22222111356790xxx原式 1()()()3()4()5x 215xx【巩固】 化简： 1112 ()mxxmxnm原式 1()()n【例 17】 (河北省数学竞赛题)已知： ， ， ，求 的值.1xy2z3zxxyz由 ， ， ，1xy2z3zx可知 ， ， ，故 .213yzx5171y22yz12276535xyz2010 年暑假 初二数学 第 7 讲 教师版 page 12 of 18【巩固】 (华罗庚金杯培训试题)解方程组：213()4xyzy原方程可变为： ，即 ，易解得 ，即1()23(1)124xyzyz123124xzy17245124xyz2471952xy
16、z【例 18】 化简： ()()()abccacab原式 c1112cabababc【巩固】 化简： .22222cabca本题涉及因式分解的一些技巧：2()bcbaac我们发现， ，故 .21bcb同理， ，1()acabca.2cb故 .22220ccaabcbabca 点评：本题以及下面两道题目的基本模型都是 ，三个题由浅入深，层层深入，对技1巧的考查和要求越来越高.【巩固】 化简： .222()()()abcacabbc2010 年暑假 初二数学 第 7 讲 教师版 page 13 of 1822()()abcacbac同理， ，2()bbac故 .22 0()()abcacabc六、
17、倒数法【例 19】 已知： ，求 的值.17x21x ， ，2 29【巩固】设 ，求 的值.15x1x ， ， ，所以2252211()9xx13x【巩固】 若 ，求 的值.1a1a，分析可得 ， ，22()10a1则 ，则222aa23a，1()355a【例 20】 (05 山东潍坊中考)若 ，求 的值.12x241x由 可知， ， ，故 .12x()2x24213xx【巩固】 本类题有一种典型错题，如：已知 ，求 的值.124事实上：若 ，易得 ， ，故 显然不成立.1x0x21x1x【巩固】(湖北黄冈市初级数学竞赛)设 ，其中 ，则 21ax0241x2010 年暑假 初二数学 第 7
18、讲 教师版 page 14 of 18 ， ，于是 ，即 ，0ax21xa1xa，422222 21()()2241xa【补充】设 ，求 的值.2xm361xm由条件知 ，因而 ，即 ，021xm63333321()()xx632m【例 21】 已知： ，求 ； ； 的值.2710x1x2x41x ， ， ，即22707 ， ，17x249x214x ， ，24410207【巩固】 已知： ，求 的值.250a42a由 ，可知 ，得 ，即1150a15a42222()4aa【巩固】 已知： ，求 的值.2310x21x ， ， ， ，3219x217x【例 22】 (上海市高中理科实验班招生试
19、题)已知： ，且 ，求 的值.210a423931axx由条件知： ，又 ，即 ，解得1a21()39ax()912x50【巩固】 (第 17 届江苏省竞赛题)2010 年暑假 初二数学 第 7 讲 教师版 page 15 of 18已知 ，且 ，求 .2410a42315am由已知可得 ， ，解得2423 14523()am372m【巩固】已知 是 的根，求 的值.a2310x542281aa因为 是 的根，所以30所以25432 3222()8 1()(9)311a aaa利用条件 的各个变形， 对分式进行整体降幂 是解题的关键.0【巩固】 (广西竞赛题)已知： ，求2x4521x4 25
20、2 221()1531()(3)x xx利用条件 的各个变形， 对分式进行整体降幂是解 题的关键.0x家庭作业【习题 1】 计算：2324516aa 23 ()(4)mn原式 2351a231a236(1)a32a原式 ()() 2()()(15239()(464mnmn【习题 2】 先化简，再求值: ，其中22125()()(3)aa 4a原式 24()5()3a 43()25()2010 年暑假 初二数学 第 7 讲 教师版 page 16 of 184(3)2()3aa4()3a当 时，原式 412本题含分式乘方、加、减、乘、除混合运算；与分式四则混合运算类似，分式的四 则混合运算的顺序
21、是:先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算【习题 3】 已知 ， ， ，求证：23ab0ab25ab由已知可得 ，则 ，所以 或2(3)03ab , ， ，则025h【习题 4】 设 ，求 的值.13xy237yx由 ，知 ，则 .3()2174yxyx【习题 5】 （“希望杯”试题）已知 ，则 _234xyz22xyz【解析】令 ， ， ，故原式 ；234xyzkxk 22491698kk【习题 6】 (第 11 届希望杯试题)已知 ， ， 为实数，且 ， ， ，求abc3ab4c15a.abc由已知可知 ，三式相加得， ，13415bca16abc故 .16bbcacabc【习
22、题 7】 已知： ，求 的值.213a1a2010 年暑假 初二数学 第 7 讲 教师版 page 17 of 18 ， ，即 ，213a21a21()a1a月测备选【备选 1】 计算： 22ba2ab22baabab【备选 2】 (第 15 届希望杯试题)化简：代数式 .32411xx原式 .322411xx334478【备选 3】 已知 ，求代数式 的值.1,2xy22()3xy2212() 7()()()3xyxy 【备选 4】 (第 届华罗庚金杯复赛)8已知 ，求 的值12abccab【解析】 ，所以 30220cab集中火力，将关系转化到一个未知数身上 .【备选 5】 若 ，且 ，求 的值21()axby0ab11.()1(207)()xyxy由题意可知， ， ，故 1.()207)3xy8. .20892320892010 年暑假 初二数学 第 7 讲 教师版 page 18 of 18【备选 6】 化简： .222abcbcacab2 11()cab同理， ，abca2 1cabcab故 22 0cab【备选 7】 已知 为实数，且 ，则 =_x1x41x2421()()
