1、第三章 空间向量与立体几何,3.1.2 空间向量的数乘运算,复习回顾：平面向量,1、定义：,既有大小又有方向的量叫做向量。,几何表示法:用有向线段表示,字母表示法：用小写字母表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。,2、平面向量的加法、减法与数乘运算,向量加法的三角形法则,向量加法的平行四边形法则,向量减法的三角形法则,向量的数乘,3、平面向量的加法、减法与数乘运算律,加法交换律：,加法结合律：,数乘分配律：,新课讲授,阅读教材P26 ，研究空间向量与平面向量的关系,回答下面的问题：,（1） 试说出：空间向量与平面向量有何共同之处？,（2） 如何理解空间的一个“平移”就是一个向量？
2、,（3） 空间任意两个向量是否都可以转化为平面 向量？为什么？,（4）把平面向量的运算推广到空间向量， 怎么定义空间向量的加法，减法及数乘向量运算？,（5）空间向量的运算律有哪些？,（7） 什么是平行六面体？,（6）从平面和空间两个角度验证向量加法结合律?,在空间，具有大小和方向的量叫做向量；用有向线段表示；并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量；空间向量可以平行移动；运算和运算律相同。,（1） 试说出：空间向量与平面向量有何共同 之处？,（2） 如何理解空间的一个“平移”就是一个向量？,因为空间的一个“平移”有大小和方向，所以是一个向量。,例如：“平行四边形ABCD自西向东平移4个
3、单位长度”到达A1B1C1D1的位置。,这个“平移”就 是一个向量。,=“自西向东平移4个单位长度”,（3） 空间任意两个向量是否都可以转化为 平面向量？为什么？,由O、A、B、三点确定一个平面或共线可知，,已知空间两个任意向量、,作,空间任意两个向量都 可用同 一平面内的有向线段表示。,（4）与平面向量运算一样，我们定义 空间 向量的加法、减法与数乘向量运算如下：,加法交换律：,加法结合律：,数乘分配律：,（5）同样，空间向量的加法与数乘向量运 算满 足如下运算律：,O,B,C,O,B,C,(平面向量),（6）平面向量加法结合律：,A,A,O,A,B,C,O,A,B,C,（6）空间向量加法结
4、合律：,(空间向量),记作ABCDA1B1C1D1,它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。,（7）平行六面体,例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。(如图),(4)设M是线段CC1的中点,则,(3)设G是线段AC1的三等分点,则,A,B,M,C,G,D,练习1,在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简,平面向量,概念,加法减法数乘运算,运算律,定义,表示法,相等向量,减法:三角形法则,加法:三角形法则或平行四边形法则,空间向量,具有大小和方向的量,数乘:ka,k为正数,负数,零,加法交换律,加法结合律,数乘分配律,小结,类比思想 数形结合思想,数乘:ka,k为正数,负数,零,
