1、高三复习专题学案系列函数的概念及性质考点：1映射：注意 第一个集合中的元素必须有象；一对一，或多对一。2函数值域的求法：分析法 ；配方法 ；判别式法 ；利用函数单调性 ；换元法 ；利用均值不等式 ； 利用数形结合或几何意义2baab（斜率、距离、绝对值的意义等）；利用函数有界性（ 、 、 等）；导数法xsinxco3复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法： 若 f(x)的定义域为a，b, 则复合函数 fg(x)的定义域由不等式 ag(x)b解出 若 fg(x)的定义域为a,b,求 f(x)的定义域，相当于 xa,b时，求 g(x)的值域。（2）复合函数单调性的判定：首先将原函数 分解为基本
2、函数：内函数 与外函数 ；)(xgfy)(gu)(ufy分别 研究内、外函数在各自定义域内的单调性；根据 “同性则增，异性则减 ”来判断原函数在其定义域内的单调性。注意：外函数 的定义域是内函数 的值域。)(ufy)(x4分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。5函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件； 是奇函数 ；)(xf1)(0)()()( xfxffxff 是偶函数 ；奇函数 在原点有定义，则 ；)(xf 0)(f在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；（6）若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断
3、其奇偶性；6函数的单调性单调性的定义： 在区间 上是增函数 当 时有)(xfM,21Mx21x0)(21xff；0)(2121 xff 0)(21ff 在区间 上是减函数 当 时有)(xf ,2x2x0)(21xff；0)(2121 xff 0)(21ff单调性的判定 定义法：注意：一般要将式子 化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；)(21xff导数法（ 见导 数部分）；复合函数法（见 2 （2）；图像法。注：证明单调性主要用定义法和导数法。7函数的周期性(1)周期性的定义：对定义域内的任意 ，若有 （其中 为 非零常数）， 则称函数 为x)(xfTfT)(xf周期函数， 为它的一个
4、周期。T所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说 明，遇到的周期都指最小正周期。（2）三角函数的周期 ； ； ；2:sinxy 2:cosTxy Txy:tan ； ；|:)(),i( AA |:t函数周期的判定定义 法（试值 ） 图像法 公式法（利用（2）中结论）与周期有关的结论 或 的周期为 ；)()(axff)0()(axff )(xfa2 的 图象关于点 中心对称 周期为 2 ；y0,bb 的 图象关于直线 轴对称 周期为 2 ；)(xf x)(xf 的 图象关于点 中心对称，直 线 轴对称 周期为 4 ； y),(ab)(fa真题再现：1.（2009 全国卷理）函数 ()
5、fx的定义域为 R，若 (1)fx与 ()f都是奇函数，则( ) A. ()fx是偶函数 B. ()f是奇函数 C. 2) D. 3x是奇函数答案 D解析 (1)fx与 ()f都是奇函数，,1()xf，函数 ()fx关于点 (1,0)，及点 (1,0)对称，函数 ()fx是周期 21()4T的周期函数. 44fx， 3f，即 3fx是奇函数。故选 D2.(2009 浙江理）对于正实数 ，记 M为满足下述条件的函数 ()f构成的集合：12,xR且 21x，有 212121()()xfxfx下列结论中正确的是 ( )A若 1()f， 2g，则 12()fgB若 1()fxM， 2()x，且 ()0
6、x，则12()fxMC若 ， g，则 1fg D若 1()fx， 2()x，且 12，则 12()fx答案 C 解析 对于 212121()()()xfxfx，即有21()fxf，令21()fxfk，有 k，不妨设 1()fM， 2()gx，即有11,f22g，因此有 12fk，因此有()xgM3.（2009 浙江文）若函数2()()afxR，则下列结论正确的是（ ）A. aR， ()fx在 0,上是增函数 B. ， 在 )上是减函数C.， ()fx是偶函数D. aR， 是奇函数答案 C【命题意图】此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识，通过对量词的考查结合函数的性质进行了交汇设问解
7、析 对于 0a时有 2fx是一个偶函数4. (2009 山东卷理)函数xey的图像大致为 ( ).答案 A解析 函数有意义 ,需使 0xe,其定义域为 0|x,排除 C,D,又因为221xxxey,所以当 时函数为减函数,故选 A. 【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.5.(2009 山东卷理)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= 0),2()1(,log2xfxf，则 f（2009）的值为 ( ) A.-1 B. 0 C.1 D. 2答案 C解析 由已知得 2(
8、1)logf, (0)f, (1)0(1)ff,(2)0f, (3f,43()f, 5)(43)ff, (6)5(4)0ff,所以函数 f(x)的值以 6 为周期重复性出现 .,所以 f（2009）= f（5）=1,故选 C.【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算.6.(2009 山东卷文)函数xey的图像大致为( ). 1x y 1O A xyO11B xyO1 1 C x y 1 1 D O答案 A.解析 函数有意义 ,需使 0xe,其定义域为 0|x,排除 C,D,又因为221xxxey,所以当 时函数为减函数,故选 A. 【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的
9、定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.7. (2009 山东卷文)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= 0),2()1(,4log2xfxf，则 f（3）的值为 ( )A.-1 B. -2 C.1 D. 2答案 B解析 由已知得 2(1)log5f, 2(0)log4f, 2(1)0(1)log5ff,(2)0f, 223log5l,故选 B. 【命题立意】:本题考查对数函数的运算以及推理过程 .8.(2009 山东卷文)已知定义在 R 上的奇函数 )(xf，满足 (4)(fxfx,且在区间0,2上是增函数,
10、则 ( ). A. (25(1)80fff B. (80)1(25)fffC. )25 D. 25答案 D解析 因为 )(xf满足 (4)(ffx,所以 (8)(ffx,所以函数是以 8 为周期的周期函数, 则 125, )08, 31,又因为 )f在 R 上是奇函数，(0)f,得 )0(8ff, )(25(fff,而由 (4(xfx得)431,又因为 在区间0,2 上是增函数,所以1x y 1O A xyO11B xyO1 1 C x y 1 1 D O0)(1f,所以 0)1(f,即 (25)(801)fff,故选 D. 【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用
11、化归的数学思想和数形结合的思想解答问题. 9.（2009 全国卷文）函数 y= x(x0)的反函数是 （ ）（A）2yx（x 0） （B）2yx（x 0）（B） （x 0） （D） （x 0） 答案 B解析 本题考查反函数概念及求法，由原函数 x 0 可知 AC 错,原函数 y 0 可知 D 错.10.（2009 全国卷文）函数 y= 2logy的图像 （ ）（A） 关于原点对称 （B）关于主线 yx对称（C） 关于 y轴对称 （D）关于直线 对称答案 A解析 本题考查对数函数及对称知识，由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又 f(-x)=-f(x)，故函数为奇函数，图像关于原点对称，选 A
12、。11.（2009 全国卷文）设2lg,(l),lg,aebce则 （ ）（A） abc （B） c （C） ab （D） cba答案 B解析 本题考查对数函数的增减性，由 1lge0,知 ab,又 c= 21lge, 作商比较知 cb,选 B。12.（2009 广东卷理）若函数 ()yfx是函数 (0,)xya且的反函数，其图像经过点 (,)a，则 ()fx （ ）A. 2logx B. 12logC. 12xD. 2x答案 B解析 xfal)(，代入 (,)a，解得，所以 ()fx12log，选 B.13.（2009 广东卷理）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行
13、驶甲车、乙车的速度曲线分别为 v乙甲 和 （如图 2 所示） 那么对于图中给定的 01t和 ，下列判断中一定正确的是 （ ）A. 在 1t时刻，甲车在乙车前面 B. 1t时刻后，甲车在乙车后面C. 在 0时刻，两车的位置相同D. t时刻后，乙车在甲车前面答案 A解析 由图像可知，曲线 甲v比 乙 在 0 t、0 1t与 x轴所围成图形面积大，则在 0t、1t时刻，甲车均在乙车前面，选 A. 14.（2009 安徽卷理）设 ab,函数2()yxab的图像可能是 （ ） 答案 C解析 /()32)yxab，由/0y得2,3abx，当 xa时， y取极大值 0，当时 y取极小值且极小值为负。故选 C
14、。或当 xb时 ，当 xb时， 0选 C15.（2009 安徽卷文）设 ，函数 的图像可能是 （ ）答案 C解析 可得2,()0xabyxab为的两个零解.当 xa时,则 ()0bfx当 时,则 ,当 b时,则 ()0.fx选 C。16.（2009 江西卷文）函数234y的定义域为 （ ）A 4,1 B 4,0) C (0,1 D 4,0)(,1答案 D解析 由23x得 40x或 1,故选 D. 17.（2009 江西卷文）已知函数 ()f是 ,)上的偶函数，若对于 0x，都有(2()fxf），且当 ,2x时， 2log(x） ，则 (28)(9)ff的值为 （ ）A B 1 C 1 D答案
15、C解析 2(208)(9)(0)log1fff,故选 C.18.（2009 江西卷文）如图所示，一质点 ,Pxy在 O平面上沿曲线运动，速度大小不 变，其在 轴上的投影点 (,0)Q的运动速度 ()Vt的图象大致为 ( )A B C D答案 B解析 由图可知，当质点 (,)Pxy在两个封闭曲线上运动时，投影点 (,0)Qx的速度先由正到 0、到负数，再到 0，到正，故 A错误；质点 (,)Pxy在终点的速度是由大到小接近 0，故 D错误；质点 (,)xy在开始时沿直线运动，故投影点 (,)的速度为常数，因此 C是错误的，故选 B.19.（2009 江西卷理）函数 2ln(1)34x的定义域为
16、( )yxO(,)Pxy(,0)QO()VttO()ttO()VttO()Vtt yxO(,)Pxy(,0)QA (4,1) B (4,1) C (1,) D (1,答案 C解析 由2034xxx.故选 C20.（2009 江西卷理）设函数2()(0)fabc的定义域为 D，若所有点(,),)sftD构成一个正方形区域，则 的值为 ( )A 2 B 4 C 8 D不能确定 答案 B解析 12max|()xf，224bacb， |a， 4，选 B21.（2009 天津卷文）设函数 0,62xf则不等式 )1(fxf的解集是（ ）A. ),3()1, B. ),2()1,3 C. D. (答案 A
17、解析 由已知，函数先增后减再增当 0x， 2)(f31(f令 ,)(xf解得 ,1。当 x， ,6x故 3)(ff ，解得 31x或【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。22.（2009 天津卷文）设函数 f(x)在 R 上的导函数为 f(x),且 2f(x)+xf(x)x 2,x 下面的不等式在 R 内恒成立的是 ( )A. 0)(xf B. 0)(xf C. xf)( D. xf)(答案 A解析 由已知，首先令 ，排除 B，D。然后结合已知条件排除 C,得到 A【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用。通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解
18、决问题的能力。23.(2009 湖北卷理)设 a 为非零实数，函数11(,)axyRa且 的 反 函 数 是( )A、11(,)xyR且B、(,)x且C、(,)xax且D、1(,1)yRa且答案 D解析 由原函数是1(,)ayxR且，从中解得1(,)xRa且即原函数的反函数是1(,1)yxRya且，故选择 D24(2009 湖北卷理)设球的半径为时间 t 的函数 Rt。若球的体积以均匀速度 c 增长，则球的表面积的增长速度与球半径 ( )A.成正比，比例系数为 C B. 成正比，比例系数为 2C C.成反比，比例系数为 C D. 成反比，比例系数为 2C 答案 D解析 由题意可知球的体积为34
19、()()VtRt，则 2()4()cVtRt，由此可4()()cRtt，而球的表面积为2()()Stt，所以 28vStttR表 ，即 228()4()()()ccttttR表 ，故选25.（2009 四川卷文）已知函数 xf是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 x都有)(1)(xff，则)25(f的值是 ( )A. 0 B. 1C. 1 D. 25答案 A解析 若 x0，则有)(1)(xfxf，取 21，则有：)()()2(1)2()1 fffff （ )(xf是偶函数，则)(ff）由此得0)(f于是 0)21(5)(2135)()23(5)(231)()25 ffffff
20、f26.（2009 福建卷理）函数 ()(0)fxabc的图象关于直线bxa对称。据此可推测，对任意的非零实数 a，b，c，m，n，p，关于 x 的方程2()()0mfxnf的解集都不可能是( )A. 1, B 1,4 C 1,234 D 1,46答案 D解析 本题用特例法解决简洁快速，对方程2()()0mfxnfP中 ,mnp分别赋值求出 ()fx代入 ()0f求出检验即得.27.（2009 辽宁卷文）已知偶函数 ()fx在区间 0,)单调增加，则满足 (21)fx1()3f的 x 取值范围是 ( )（A） （ ，2） B.13，2） C.（1，23） D.12， 3）答案 A解析 由于 f
21、(x)是偶函数,故 f(x)f(|x|)得 f(|2x1|)f(13),再根据 f(x)的单调性得|2x1| 解得 x2()24()yfxx28.（2009 宁夏海南卷理）用 mina,b,c表示 a,b,c 三个数中的最小值 ( ) 设 f（x）=min, x+2,10-x (x 0),则 f（x）的最大值为（A）4 （B）5 （C）6 （D）7答案 C29.（2009 陕西卷文）函数 ()24()fx的反函数为 ( )（A） 12()40fx B. 124()fxx （C） 12()()f (D)学科 12()()f答案 D 解析 令原式 则故12()fx故选 D.30.（2009 陕西卷
22、文）定义在 R 上的偶函数 ()fx满足：对任意的 1212,0,)(xx，有21()0fxf.则 ( )(A) (3)()ff B. (1)2(3)ff C. 213f D. 3 答案 A 解析 由 2121()()0xffx等价，于21()0fxf则 ()fx在12,0上单调递增, 又 ()f是偶函数,故 ()f在12()xx单调递减.且满足 *nN时, 2, 0321,得3)(ff,故选 A.31.(2009 陕西卷理)定义在 R 上的偶函数 ()fx满足：对任意的 1212,(,0)xx，有 2121()0f.则当 *nN时,有 ( )(A) ()fffn B. ()(1)fnffn
23、2224,yyx即C. C. (1)(1)fnffn D. (1)()(fnffn 答案 C32.（2009 四川卷文）已知函数 )(xf是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 x都有 )(1)(ff，则)25f的值是 ( )A. 0 B. 2 C. 1 D. 25答案 A解析 若 x0，则有)()1(xfxf，取 2，则有：)1()()2()2()1 fffff （ )(xf是偶函数，则)(ff）由此得021f于是， 0)21(5)(2135)()23(5)(23)()5 fffffff33.（2009 湖北卷文）函数)1,(1xRy且的反函数是 ( )A.)2,(21xRy
24、且B.)21,(2xRy且C.1,)(且D.,)1(且答案 D解析 可反解得1()2()2yxxf故且可得原函数中 yR 、y-1 所以1212121,(,0)()()0)(,0() ()()(1)xxxffxfffffnfnffnf解 析 ： 时 ， 在 为 增 函 数为 偶 函 数 在 ， 为 减 函 数而 n+-,1()2xf且 xR 、x-1 选 D34.(2009 湖南卷理)如图 1，当参数 2时，连续函数(0)1xy的图像分别对应曲线 1C和 2 , 则 ( )A 0 B 10C 12 D 2答案 B解析 解析由条件中的函数是分式无理型函数，先由函 数在 (0,)是连续的，可知参数
25、 120,，即排除C，D 项，又取 1x，知对应函数值212,yy，由图可知 12,y所以12，即选 B 项。35.(2009 湖南卷理)设函数 ()yfx在（ ，+ ）内有定义。对于给定的正数 K，定义函数 ( )(,)kfxKf取函数 (f= 12e。若对任意的 (,)x，恒有 ()kfx= f，则 ( ) AK 的最大值为 2 B. K 的最小值为 2CK 的最大值为 1 D. K 的最小值为 1 答案 D 解析 由 ()10,xfe知 ，所以 (,0)x时， ()0fx，当(0,)x时， 0x，所以 max()1,ff即 f的值域是 ,1，而要使kff在 R上恒成立，结合条件分别取不同
26、的 K值，可得 D 符合，此时()x。故选 D 项。36.（2009 天津卷理）已知函数 0,4)(2xxf若2()(,faf则实数a的取值范围是 ( )A (,1)(2,) B (1,2) C (,1) D (,2)1,【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。解析：由题知 )(xf在 R上是增函数，由题得 a2，解得 a，故选择 C。37.（2009 四川卷理）已知函数 ()fx是定义在实数集 R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 x都有 (1)()ff，则5()2f的值是 ( )A.0 B. 2 C.1 D.52【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之
27、赋值法，综合题。 （同文 12）答案 A解析 令 21x，则0)21()(21)()21( ffff；令 x，则0)(f由 (1)()xfxf得)(1)xf，所以 0)(25(0)2(135)2(3)(25)( ffffff，故选择 A。38.（2009 福建卷文）下列函数中，与函数1yx有相同定义域的是 ( )A . ()lnfx B.()fxC. ()|f D. ()xfe答案 A解析 解析 由1yx可得定义域是 0.()lnxfx的定义域 0；1()fx的定义域是 x0； ()|f的定义域是 ;Re定义域是 R。故选 A.39.（2009 福建卷文）定义在 R 上的偶函数 fx的部分图像
28、如右图所示，则在 2,0上，下列函数中与 fx的单调性不同的是 ( )A21yB. |xC. 32,01yD,0xeo答案 C解析 解析 根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在 2,0上单调递减，注意到要与 fx的单调性不同，故所求的函数在 2,0上应单调递增。而函数21yx在 ,上递减；函数 1yx在 ,时单调递减；函数0,3在（ ,上单调递减，理由如下 y=3x20(x0)在区间 8,上有四个不同的根 1234,则1234_.xx答案 -8解析 因为定义在 R 上的奇函数，满足 (4)(fxfx,所以 (4)(ffx,所以, 由 )(xf为奇函数,所以函数图象关于直线 2对
29、称且 0,由 知8f,所以函数是以 8 为周期的周期函数,又因为 )(xf在区间0,2上是增函数,所以 )(x在区间-2,0上也是增函数 .如图所示,那么方程 f(x)=m(m0)在区间 8,上有四个不同的根 1234,x,不妨设 1234x由对称性知 12x34x所以1238x-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m0) 【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性 ,单调性,对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题,运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题. 14.（2009 四川卷文）设 V是已知平面 M上所有向量的集合，对于映射 :,fVa，记 a的象为
30、 ()f。若映射 :f满足：对所有 ab、 及任意实数 ,都有()fbab，则 f称为平面 上的线性变换。现有下列命题：设 是平面 M上的线性变换， aV、 ，则 ()()ffb 若 e是平面 上的单位向量，对 ,ae设 ，则 是平面 M上的线性变换；对 ,()aVfa设 ，则 f是平面 M上的线性变换； 设 f是平面 M上的线性变换， V，则对任意实数 k均有 ()(fakf。其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）答案 解析 ：令 1，则 )()(bfabf故是真命题同理，：令 0,k，则 k故是真命题： af)(，则有 f)()()(bfafbabb 是线性变换，故是真命题：由 eaf)
31、(，则有 ef)(ebfafebabf )()( e是单位向量， 0，故是假命题【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖，突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。48.(2009 年广东卷文)（本小题满分 14 分）已知二次函数 )(xgy的导函数的图像与直线 2yx平行,且 )(xgy在 =1 处取得最小值 m1(m 0).设函数 xgf)(1)若曲线 )(xfy上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为 2,求 m 的值(2) (Rk如何取值时,函数 kxfy)(存在零点,并求出零点.解 （1）设 2gxabc，则 gab；又 的图像与直线 yx
32、平行 2 1又 gx在 1取极小值， 1， 2b2abcm， c；gxf， 设 ,oPxy则222000PQy220mx24m 2m； （2）由10yfxkx，得 210*当 k时，方程 *有一解 2mx，函数 yfxk有一零点 2mx；当 1时，方程 有二解 410，若 ，1，函数 yfxk有两个零点21mkkx；若 0m，1km，函数 yfk有两个零点 412kxk；当 时，方程 *有一解 410m, , 函数yfxk有一零点1xk49.（2009 浙江理） （本题满分 14 分）已知函数322()(1)5fxkx，2()1gxkx，其中 R （I）设函数 ()()pfgx若 ()p在区间
33、 (0,3)上不单调，求 k的取值范围；（II）设函数,0().qxf是否存在 k，对任意给定的非零实数 1x，存在惟一的非零实数 2（ 1） ，使得 21()qx成立？若存在，求 k的值；若不存在，请说明理由解 （I ）因32()()(1)(5)1Pfxgxk，23(1)(5)pxkx，因 p在区间 0,上不单调，所以 0p在0,上有实数解，且无重根，由 x得2(21)(35),kxx2()392114xk，令 ,t有 1,7t，记9(),htt则 ht在 ,上单调递减，在 3,7上单调递增，所以有 6,0ht， 于是216,10x，得 5,2k，而当 2k时有 px在 ,3 上有两个相等的
34、实根 ，故舍去，所以 ,； （II）当 0x时有 23(1)5qxfxkx ；当 时有 gk，因为当 0时不合题意，因此 0k，下面讨论 k的情形，记 A (,)，B= ,（）当 1x时， qx在0,上单调递增，所以要使 21qx成立，只能 2且 AB，因此有5k， （）当 10x时， 在 0,上单调递减，所以要使 21x成立，只能 2且 AB，因此 5k，综合（） （） 5k；当 k时 A=B，则 11,xqBA，即 20,x使得 21qx成立，因为qx在 0,上单调递增，所以 2x的值是唯一的；同理， 1，即存在唯一的非零实数 21()x，要使 21qx成立，所以5k满足题意 7.（200
35、9 江苏卷）(本小题满分 16 分) 设 a为实数，函数2(|fxa. (1)若 (0)1f，求 a的取值范围； (2)求 的最小值； (3)设函数 (),()hxf，直接写出( 不需给出演算步骤) 不等式 ()1hx的解集.解 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分 16 分（1）若 (0)1f，则20|11a（2）当 xa时，22()3,fxax2min(),0,()3faaf当 时，22(),f2in(),0()0ffaa综上2min,03afx（3） (,)时， (1hx得 22
36、310ax，22418aa当6或时， 0,(,)x；当 2a时，0,得：2233()0aaxx讨论得：当6(,)2时，解集为 (,)a;当62(,)a时，解集为2233(,)aa;当,时，解集为2,).50.（2009 年上海卷理）已知函数 (yfx的反函数。定义：若对给定的实数 (0)a，函数 ()yfxa与1()yfa互为反函数，则称 ()yfx满足“ 和性质” ；若函数 与 x互为反函数，则称 满足“ a积性质” 。判断函数2()1(0)gx是否满足“1 和性质” ，并说明理由； 求所有满足“2 和性质”的一次函数；设函数 ()yf对任何 a，满足“ a积性质” 。求 ()yfx的表达式
37、。解 （1）函数21(0)gx的反函数是1()1gx()而2(),xx其反函数为 ()yx 故函数 ()10g不满足“1 和性质”（2）设函数 ()fxkbR满足“2 和性质” ， 0.k1 1(),xbf f.6 分而 (2)()(),fxkbxR得反函数2ky.8 分由“2 和性质”定义可知2k=b对 xR恒成立1,kbR即所求一次函数为 ()()f10 分 （3）设 0a， x，且点 0,xy在 fax图像上，则 0(,)yx在函数1()yf图象上，故 0()faxy，可得 00()()afxaf， 12 分10()fy令 ax，则 0x。 0()()ffx，即0()()xff。 14分综上所述，1nbq()kfx，此时()kfax，其反函数就是kyax，而1()kfax，故 ()yfa与1()yf互为反函数 。
