经典题库-乘法原理的应用【附详答】.doc

1、1经典题库-乘法原理的应用知识框架图计数原理 乘法原理 1 简单乘法原理的应用2 较复杂的乘法原理应用教学目标1.使学生掌握乘法原理主要内容，掌握乘法原理运用的方法；2.使学生分清楚什么时候用乘法原理，分清有几个必要的步骤，以及各步之间的关系3.培养学生准确分解步骤的解题能力；乘法原理的数学思想主旨在于分步考虑问题，本讲的目的也是为了培养学生分步考虑问题的习惯知识要点一、乘法原理概念引入老师周六要去给同学们上课，首先得从家出发到长宁上 8 点的课，然后得赶到黄埔去上下午 1 点半的课如果说申老师的家到长宁有 5 种可选择的交通工具（公交、地铁、出租车、自行车、步行），然后再从长宁到黄埔有 2

2、种可选择的交通工具（公交、地铁），同学们，你们说老师从家到黄埔一共有多少条路线？我们看上面这个示意图，老师必须先的到长宁，然后再到黄埔这几个环节是必不可少的，老师是一定要先到长宁上完课，才能去黄埔的在没学乘法原理之前，我们可以通过一条一条的数，把线路找出来，显而易见一共是 10 条路线但是要是老师从家到长宁有 25 种可选择的交通工具，并且从长宁到黄埔也有 30种可选择的交通工具，那一共有多少条线路呢？这样数，恐怕是要耗费很多的时间了这个时候我们的乘法原理就派上上用场了二、乘法原理的定义完成一件事，这个事情可以分成 n 个必不可少的步骤（比如说老师从家到黄埔，必须要先到长宁，那么一共可以分成两

3、个必不可少的步骤，一是从家到长宁，二是从长宁到黄埔），第 1 步有 A 种不同的方法，第二步有 B 种不同的方法，第 n 步有 N 种不同的方法那么完成这件事情一共有 ABN 种不同的方法结合上个例子，老师要完成从家到黄埔的这么一件事，需要 2 个步骤，第 1 步是从家到长宁，一共 5 种选择；第 2 步从长宁到黄埔，一共 2 种选择；那么老师从家到黄埔一共有 52 个可选择的路线了，即 10条三、乘法原理解题三部曲1、完成一件事分 N 个必要步骤；22、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）；3、步步相乘四、乘法原理的考题类型1、路线种类问题比如说老师举的这个例子就是个路线种类问题；2

4、、字的染色问题比如说要 3 个字，然后有 5 种颜色可以给每个字然后，问 3 个字有多少种染色的方法；3、地图的染色问题同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几种颜色，问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法；4、排队问题比如说 6 个同学，排成一个队伍，有多少种排法；5、数码问题就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几为数的偶数，有多少种排法例题精讲1、简单乘法原理的应用【例 1】 邮递员投递邮件由 A 村去 B 村的道路有 3 条，由 B 村去 C 村的道路有 2 条，那么邮递员从 A 村经 B 村去 C 村，共有多少种不同的走法？（2 级）2号 路1号 路南中

5、北CBA【解析】 把可能出现的情况全部考虑进去第一步 第二步A 村 B 村 C 村中2号 路1号 路A 村 B 村 C 村北 2号 路1号 路1号 路2号 路南 C 村B 村A 村由分析知邮递员由 A 村去 B 村是第一步，再由 B 村去 C 村为第二步，完成第一步有 3 种方法，而每种方法的第二步又有 2 种方法根据乘法原理，从 A 村经 B 村去 C 村，共有 32=6 种方法【巩固】 如下图所示，从 A 地去 B 地有 5 种走法，从 B 地去 C 地有 3 种走法，那么李明从 A 地经 B 地去C 地有多少种不同的走法？（2 级）C B A【解析】 从 A 地经 B 地去 C 地分为两

6、步，由 A 地去 B 地是第一步，再由 B 地去 C 地为第二步，完成第一步有 5 种方法，而每种方法的第二步又有 3 种方法根据乘法原理，从 A 地经 B 地去 C 地，共有53=15 种方法【例 2】 如下图中，小虎要从家沿着线段走到学校，要求任何地点不得重复经过问：他最多有几种不同走法？（2 级）3家学 校【解析】 从家到中间结点一共有 2 种走法，从中间结点到学校一共有 3 种走法，根据乘法原理，一共有32=6 种走法【巩固】 在下图中，一只甲虫要从 点沿着线段爬到 点，要求任何点不得重复经过问：这只甲虫最多AB有几种不同走法？（2 级）CBA【解析】 甲虫要从 A 点沿着线段爬到 B

7、 点，需要经过两步，第一步是从 A 点到 C 点，一共有 3 种走法；第二步是从 C 点到 B 点，一共也有 3 种走法，根据乘法原理一共有 33=9 种走法【例 3】 在右图中，一只甲虫要从 点沿着线段爬到 点，要求任何点不得重复经过问：这只甲虫最多A有几种不同走法？（4 级）DCBA【解析】 从 A 点沿着线段爬到 B 点需要分成三步进行，第一步，从 A 点到 C 点，一共有 3 种走法；第二步，从 C 点到 D 点，有 1 种走法；第三步，从 D 点到 B 点，一共也有 3 种走法根据乘法原理，一共有 313=9 种走法【巩固】 在右图中，一只蚂蚁要从 点沿着线段爬到 点，要求任何点不得

8、重复经过问：这只蚂蚁最多A有几种不同走法？（4 级） BDCA【解析】 解这道题时千万不要受铺垫题目的影响，第一步，A 点到 C 点的走法是 3 种；第二步，从 C 点到 D 点，有 1 种走法；但第三步，从 D 点到 B 点的走法并不是 3 种，由 D 出去有 2 条路选择，到下一岔路口又有 2 条路选择，所总共有 22=4（种）走法，根据乘法原理，这只蚂蚁最多有 （种）142不同走法【巩固】 在右图中，一只甲虫要从 A 点沿着线段爬到 B 点，要求任何点不得重复经过问：这只甲虫最多有几种不同走法？（4 级）DCBA【解析】 从 A 点沿着线段爬到 B 点需要分成三步进行，第一步，从 A 点

9、到 C 点，一共有 3 种走法；第二步，从 点到 点，一共也有 3 种走法；第三步，从 点到 点，一共也有 3 种走法根据乘法原理，CDB一共有 种走法3274【巩固】 在右图中，一只甲虫要从 点沿着线段爬到 点，要求任何点不得重复经过问：这只甲虫最多AB有几种不同走法? （6 级）CBA【解析】 解这道题时千万不要受铺垫题目的影响， 点到 点的走法不是 3 种，而是 4 种， 点到 点的CB走法也是 4 种，根据乘法原理，这只甲虫最多有 种走法416【例 4】 按下表给出的词造句，每句必须包括一个人、一个交通工具，以及一个目的地，请问可以造出多少个不同的句子？（4 级）【解析】 1、造一个句

10、子必须包含三个部分，即人、交通工具、目的地2、那么这个句子可以分成三个部分；第一个步选择人物，有三种选择；第二步选择交通工具，有三种选择；第三个步选择目的地，有三种选择3、根据乘法原理：333=27【例 5】 题库中有三种类型的题目，数量分别为 30 道、40 道和 45 道，每次考试要从三种类型的题目中各取一道组成一张试卷问：由该题库共可组成多少种不同的试卷？（4 级）【解析】 从该题库每一类试卷中分三步各选一道题，每一步分别有 30、40、45 种选法根据乘法原理，一共有 304045=54000 种不同的选法，所以一共可以组成 54000 种不同试卷【巩固】 文艺活动小组有 3 名男生，

11、4 名女生，从男、女生中各选 1 人做领唱，有多少种选法？（4 级）【解析】 完成这件事需要两步：一步是从女生中选 1 人，有 4 种选法；另一步是从男生中选 1 人，有 3 种选法因此，由乘法原理，选出 1 男 1 女的方法有 种32还可以用乘法的意义来理解这道题：男生有 3 种选法，每选定 1 个男生，再选 1 个女生，对应着 4 种选法，即 3 个男生，每个男生对应 4 种选女生的方法，因此选出 1 男 1 女共有 种方法342【巩固】 小丸子有许多套服装，帽子的数量为 5 顶、上衣有 10 件，裤子有 8 条，还有皮鞋 6 双，每次出行要从几种服装中各取一个搭配问：共可组成多少种不同的

12、搭配(帽子可以选择戴与不戴)？（4 级）【解析】 小丸子搭配服装分四步第一步选帽子，由于不戴帽子可以看作戴了顶空帽子，所以有 种51选法；第二步选上衣，有 10 种选法；第三步选裤子，有 8 种选法；第四步选皮鞋，有 6 种选法根据乘法原理，四种服装中各取一个搭配一共有 种选法，所以一共可5106280（以组成 2880 种不同搭配【例 6】 要从四年级六个班中评选出学习、体育、卫生先进集体，有多少种不同的评选结果？（4 级）【解析】 第一步选出学习先进集体一共有 6 种方法，第二步选出体育先进集体一共有 6 种方法，第三步选出卫生先进集体一共有 6 种评选方法，根据乘法原理，一共有 种评选方

13、法621【巩固】 从四年级六个班中评选出学习、体育、卫生先进集体，如果要求同一个班级只能得到一个先进集5体，那么一共有多少种评选方法？（4 级）【解析】 第一步选出学习先进集体共有 6 种方法，第二步从剩下班级中选出体育先进集体共有 5 种方法，第三步选出卫生先进集体只剩有 4 种评选方法，根据乘法原理，共有 654=120 种评选方法【例 7】 从全班 20 人中选出 3 名学生排队，一共有多少种排法？（4 级）【解析】 分三步，分别挑选第一人，第二人，第三人，分别有 20，19，18 种挑选法，一共有种排法2019860【例 8】 五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，

14、排成一排表演节目如果贝贝和妮妮不相邻，共有多少种不同的排法？（6 级）【解析】 五位同学的排列方式共有 54321=120（种） 如果将相邻的贝贝和妮妮看作一人，那么四人的排列方式共有 4321=24（种） ；因为贝贝和妮妮可以交换位置，所以贝贝和妮妮相邻的排列方式有 242=48(种)；贝贝和妮妮不相邻的排列方式有 120-48=72（种） 【巩固】 10 个人围成一圈，从中选出三个人，其中恰有两人相邻，共有多少种不同选法？（6 级）【解析】 两人相邻的情况有 10 种，第三个人不能与他们相邻，所以对于每一种来说，只剩 6 个人可选，106=60（种）共有 60 种不同的选法【例 9】 “数

15、学”这个词的英文单词是“MATH” 用红、黄、蓝、绿、紫五种颜色去分别给字母染色，每个字母染的颜色都不一样这些颜色一共可以染出多少种不同搭配方式？（4 级）【解析】 为了完成对单词“MATH”的染色，我们可以按字母次序，把这个染色过程分四步依次完成：第 1 步对字母“M”染色，此时有 种颜色可以选择；5第 2 步对字母“A”染色，由于字母“M”已经用过一种颜色，所以对字母“A”染色只有 4 种颜色可以选择；第 步对字母“T”染色，由于字母“M ”和“A”已经用去了 2 种颜色，所以对字母“T”染色3只剩 种颜色可以选择；第 4 步对字母“H ”，染色，由于字母“M ”、 “A”和“T ”已经用

16、去了 3 种颜色，所以对字母“H”染色只有 2 种颜色可以选择由乘法原理，共可以得到 种不同的染色方式543210【小结】下面的这棵枚举树清晰地揭示了利用乘法原理分步计数的过程：一一一一一一一一2一一一一一一一一一3一一一一一一4一一一M一5一一一一一一一一一一一一一一 一一一一一 一 一一一HTAM思考一下，如果不要求“每个字母染的颜色都不一样” ，会有多少种不同的染色方式？每个字母都有种颜色可选，那么染色方式一共有 5555=625 种染色方式【巩固】 “IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这 3 个字母用 3 种不同颜色来写，现有 5 种不同颜色的笔，问共有多少种不同的写法？（4 级）【

17、解析】 第一步写“I ”有 5 种方法，第二步写“M ”有 4 种方法，第三步写“O”有 3 种方法，共有种方法53606【例 10】 “学习改变命运”这六个字要用 6 种不同颜色来写，现只有 6 种不同颜色的笔，问共有多少种不同的写法？（4 级）【解析】 第一步写“学”有 6 种方法，第二步写“习”有 5 种方法，第三步写“改”有 4 种方法，第四步写“变”有 3 种方法，第五步写“命”有 2 种方法，第六步写“运”有 1 种方法，根据乘法原理，一共有 种方法652170【巩固】 有 6 种不同颜色的笔，来写“学习改变命运”这六个字，要求相邻字的颜色不能相同，有多少种不同的方法？（4 级）【

18、解析】 写第一个字有 6 种选择，以后每写一个字，只要保证不与前一个字相同就行了，都有 5 种选择，所以，有 种写法518750【巩固】 用 5 种不同颜色的笔来写“智康教育”这几个字，相邻的字颜色不同，共有多少种写法？（4 级）【解析】 第一个字有 5 种写法，第二个字有 4 种写法，第三个字也是 4 种写法，同理后面的字也是 4 种写法，共有 5444=320 种2、较复杂的乘法原理应用【例 11】 北京到上海之间一共有 6 个站，车站应该准备多少种不同的车票？(往返车票算不同的两种) （6级）【 解 析 】 京沪线上中间六个站连北京上海两站一共有 8 个站，不同的车票上起点站可以有 8

19、种，相同的起点站又可以配 7 种不同的终点站，所以一共要准备 87=56 种不同的车票【巩固】 （难度等级 ）一条线段上除了两个端点还有 6 个点，那么这段线段上可以有多少条线段？（6 级）【解析】 将这条线段看作是京沪线，点是车站，那么，每一条线段都对应两张来回车票，所以线段的总数是562=28 条线段【巩固】 某次大连与庄河路线的火车，一共有 6 个停车点，铁路局要为这条路线准备多少种不同的车票？（6 级）【解析】 不同的车票上起点站可以有 6 种，相同的起点站又可以配 5 种不同的终点站，所以一共要准备种不同的车票530【巩固】 北京到广州之间有 10 个站，其中只有两个站是大站(不包括

20、北京、广州)，从大站出发的车辆可以配卧铺，那么铁路局要准备多少种不同的卧铺车票？（6 级）【解析】 京广线上一共有 12 个站，其中有四个大站，卧铺车的起点可以有四种，不同的起点站都可以配 11个不同的终点站，所以铁路局要准备 411=44 种不同的车票【例 12】 由数字 1、2 可以组成多少个两位数？由数字 1、2 可以组成多少个没有重复数字的两位数？（6 级）【解析】 组 成 两 位 数 要 分 两 步 来 完 成 ： 第 一 步 ， 确 定 十 位 上 的 数 字 ， 有 2 种 方 法 ； 第 二 步 确 定 个 位 上 的 数 字 ，有 2 种 方 法 根 据 乘 法 原 理 ，

21、由 数 字 1、 2 可 以 组 成 22=4 个 两 位 数 ， 即 11， 12， 21， 22组成没有重复数字的两位数要分两步来完成：第一步，确定十位上的数字，有 2 种方法；第二步确定个位上的数字，因为要组成没有重复数字的两位数，因此十位上用的数字个位上不能再用，因此第二步只有 1 种方法，由乘法原理，能组成 21=2 个两位数，即 12，21【巩固】 用数字 0，1，2，3，4 可以组成多少个： 三位数？7 没有重复数字的三位数？（6 级）【解析】 组成三位数可分三步完成第一步，确定百位上的数字，因为百位不能为 0，所以只有 4 种选 也分三步完成第一步，百位上有 4 种选择；第二步

22、确定十位，除了百位上已使用的数字不能用，其他四个数字都可以，所以有 4 种方法；第三步确定个位，除了百位和十位上已使用过的数字，还有 3 种选择根据乘法原理，可以组成 个没有重复数字的三位数38【巩固】 由 3、6、9 这 3 个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 由 3、6、9 这 3 个数字可以组成多少个三位数？（6 级）【解析】 分三步完成：第一步排百位上的数，有 3 种方法；第二步排十位上的数，有 2 种方法；第三步，排个位上的数，有 1 种方法，由乘法原理，3、6、9 这 3 个数字可以组成 个没有重复数316字的三位数分三步完成，即分别排百位、十位、个位上的数字，每步有 3

23、种方法，由乘法原理，由 3、6、9这 3 个数字一共可以组成 个三位数27【例 13】 有五张卡，分别写有数字 1、2、4、5、8现从中取出 3 张卡片，并排放在一起，组成一个三位数，问：可以组成多少个不同的偶数？（6 级）【解析】 分三步取出卡片首先因为组成的三位数是偶数，个位数字只能是偶数，所以先选取最右边的也就是个位数位置上的卡片，有 2、4、8 三种不同的选择；第二步在其余的 4 张卡片中任取一张，放在最左边的位置上，也就是百位数的位置上，有 4 种不同的选法；最后从剩下的 3 张卡片中选取一张，放在中间十位数的位置上，有 3 种不同的选择根据乘法原理，可以组成 343=36 个不同的

24、三位偶数【例 14】 有 5 张卡，分别写有数字 2，3，4，5，6如果允许 6 可以作 9 用，那么从中任意取出 3 张卡片，并排放在一起问 可以组成多少个不同的三位数？ 可以组成多少个不同的三位偶数？（6 级）【解析】 先考虑 6 只能当 6 的情况最后总的个数只要在这个基础上乘以 2 就可以了，分三步取出卡片: 第一步确定百位，有 5 种选择；第二步确定十位，除了百位上已使用的数字不能用，其他 4 个数字都可以，所以有 4 种方法；第三步确定个位，除了百位和十位上已使用过的数字，还有 3 种选择根据乘法原理，考虑 6 可以当作 9，可以组成 （个）不同的三位数54310 先考虑 6 只能

25、当 6 的情况，分三步取出卡片首先因为组成的三位数是偶数，个位数字只能是偶数，所以先选取最右边的也就是个位数位置上的卡片，有 2、4、6 三种不同的选择；第二步在其余的 4 张卡片中任取一张，放在十位数的位置上，有 4 种不同的选法；最后从剩下的 3 张卡片中选取一张，放在百位数的位置上，有 3 种不同的选择根据乘法原理，6 只是 6 时，可以组成（个）不同的三位偶数这时候算所求的三位偶数并不是简单乘以 2 就可以的，因为36如果个位是 6 的话变成 9 就不再是偶数，多乘的还需要减去，个位是 6 一共有 （个）不同41的三位偶数，所以，可以组成 （个）不同的三位偶数210【例 15】 用 1

26、、2、3 这三个数字可以组成多少个不同的三位数？如果按从小到大的顺序排列，213 是第几个数？（6 级）【解析】 排百位、十位、个位依次有 3 种、2 种、1 种方法,故一共有 321=6(种)方法,即可以组成 6 个不同三位数.它们依次为 123,132,213,231,312,321故 213 是第 3 个数【巩固】 有一些四位数，它们由 4 个互不相同且不为零的数字组成，并且这 4 个数字和等于 12.将所有这样的四位数从小到大依次排列，第 35 个为 （6 级）【解析】 4 个互不相同且不为 0 的数字之和等于 12，只有两种可能：1+2+3+6 或者 1+2+4+5根据乘法原理，每种

27、情况可组成 4321=24 个不同的四位数，一共可组成 48 个不同的四位数要求从小到大排列的第 35 个数，即求从大到小排列的第 14 个数我们从千位最大的数开始往下数：千位最大可8以取 6，而千位是 6 的数共有 32=6 个；接下来是 5，千位为 5 的数也有 6 个所以第 13 个数应为 4521，第 14 个是 4512，答案为 4512【例 16】 将 1332，332，32，2 这四个数的 10 个数码一个一个的划掉，要求先划位数最多的数的最小数码，共有多少种不同的划法？（8 级）【解析】 从小到大一步一步的分步划，遇到出现岔路的情况分类考虑从位数最多的 1332 开始：划掉 1

28、332 中的 1，剩下 332，332，32，2 四个数；划掉位数最多的 332 中的 2，有 2 种不同的顺序，划掉后剩下 33，33，32，2 四个数；划掉 32 中的 2，剩下 33，33，3，2；两个 33 中，各划掉一个 3，有 42=8 种划掉的顺序，之后剩下 3，3，3，2 四个数；划掉 2 后，剩下 3，3，3，有 32=6 种划掉的顺序根据乘法原理，共有不同的划法：286=96 种【巩固】 一个三位数，如果它的每一位数字都不小于另一个三位数对应数位上的数字，就称它“吃掉”另一个三位数，例如：532 吃掉 311，123 吃掉 123，但 726 与 267 相互都不被吃掉问：

29、能吃掉 678的三位数共有多少个？（6 级）【解析】 即 求 百 位 数 不 小 于 6， 十 位 数 不 小 于 7， 个 位 不 小 于 8 的 自 然 数 百 位 数 不 小 于 6， 有 4 种 ； 十 位 数不 小 于 7， 有 3 种 ； 个 位 不 小 于 8， 有 2 种 由 乘 法 原 理 ， 能 吃 掉 678 的 三 位 数 共 有 种 32【例 17】 如果一个四位数与一个三位数的和是 ，并且四位数和三位数是由 个不同的数字组成的，那19么，这样的四位数最多能有多少个？（8 级）【 解析 】 四位数的千位数字是 由于这个四位数与三位数的相同位数上的数字之和小于 ，所以这

30、个四位1 19数与三位数的相同位数上的数字之和均等于 这两个数的其他数字均不能为 8四位数的百位数字 可在 、 、 、 、 、 、 中选择(不能是 9)，有 7 种选择，这时三位数a0234567的百位数字是 ；四位数的十位数字 可在剩下的 个数字中选择，三位数的十位数字9b是 四位数的个位数字 可在剩下的 个数字中选择，三位数的个位数字是 因此，根据bc c乘法原理，这样的四位数有 个76=18【例 18】 用 19 可以组成_个不含重复数字的三位数：如果再要求这三个数字中任何两个的差不能是1，那么可以组成_个满足要求的三位数？（8 级）【解析】 1) 987=504 个2）504-（6+5

31、+5+5+5+5+5+6）6-76=210 个；（减去有 2 个数字差是 1 的情况，括号里 8 个数分别表示这 2 个数是12，23，34，45，56，67，78，89 的情况，6 是对 3 个数字全排列，76 是三个数连续的123、234、345、456、567、789 这 7 种情况） 【例 19】 电子表用 表示 点 分，用 表示 点 分，那么 点到 点之间电子表中出现无重1:35350:5210复数字的时刻有_次 （8 级）【 解析 】 根据题意，在 2 点到 10 点之间，表示小时数的二位数字前一位只能为 0，后一位可以为 29；表示分钟数的二位数字前一位可以为 05，后一位可以为

32、 09，再考虑到无重复数字，当时间为 2点多、3 点多、4 点多或 5 点多时，每一种情况下，表示分钟数的两位数字中前一位有 种64选择，后一位数字有 种选择，此时有 种可能，比如 时， 可以为103747282:ab1，3，4，5， 就剩下 种可以选择所以这几种情况下共有 种b 841类似分析可知，当时间为 6 点多、7 点多、8 点多、9 点多时，每种情况下都有 种，共有573种所以共 种25【例 20】 (2008 年西城实验考题)在 1，2，3，7，8 的任意排列中，使得相邻两数互质的排列方式共9有_ 种 （8 级）【 解析 】 这 8 个数之间如果有公因子，那么无非是 2 或 38

33、个数中的 4 个偶数一定不能相邻，对于这类多个元素不相邻的排列问题，考虑使用“插入法” ，即首先忽略偶数的存在，对奇数进行排列，然后将偶数插入，但在偶数插入时，还要考虑 3 和 6 相邻的情况奇数的排列一共有 种，对任意一种排列 4 个数形成 5 个空位，将 6 插入，可以有符合条件的!243 个位置可以插，再在剩下的四个位置中插入 2、4、8，一共有 种，所以一共有432种24178【例 21】 在右图的每个区域内涂上 、 、 、 四种颜色之一，使得每个圆里面恰有四种颜色，则一共ABCD有_种不同的染色方法 （8 级）765432 1【 解析 】 因为每个圆内 个区域上染的颜色都不相同，所以

34、一个圆内的 个区域一共有 种染色4 4432方法如右图所示，当一个圆内的 、 、 、 四个区域的颜色染定后，由于 号区域的颜色不能12346与 、 、 三个区域的颜色相同，所以只能与 号区域的颜色相同，同理 号区域只能与 号区域23 15的颜色相同， 号区域只能与 号区域的颜色相同，所以当 、 、 、 四个区域的颜色染定后，7 23其他区域的颜色也就相应的只有一种染法，所以一共有 种不同的染法【例 22】 如图，地图上有 A，B ，C，D 四个国家，现用五种颜色给地图染色，要使相邻国家的颜色不相同，有多少种不同染色方法? （6 级）DCBA【解析】 为了按要求给地图上的这四个国家染色，我们可以

35、分四步来完成染色的工作：第一步：给 染色，有 种颜色可选A5第二步：给 染色，由于 不能与 同色，所以 有 种颜色可选BA4第三步：给 染色，由于 不能与 、 同色，所以 有 种颜色可选CBC3第四步：给 染色，由于 不能与 、 同色，但可以与 同色，所以 有 种颜色可选DAD3根据分步计数的乘法原理，用 种颜色给地图染色共有 种不同的染色方法55180【巩固】 如图，一张地图上有五个国家 ， ， ， ， ，现在要求用四种不同的颜色区分不同国家，ADE要求相邻的国家不能使用同一种颜色，不同的国家可以使用同种颜色，那么这幅地图有多少着色方法？（6 级）EDCBA【解析】 第一步，给 国上色，可以

36、任选颜色，有四种选择；A第二步，给 国上色， 国不能使用 国的颜色，有三种选择；BA第三步，给 国上色， 国与 ， 两国相邻，所以不能使用 ， 国的颜色，只有两种选择；CBAB10第四步，给 国上色， 国与 ， 两国相邻，因此也只有两种选择；DBC第五步，给 国上色， 国与 ， 两国相邻，有两种选择ED共有 种着色方法43296【例 23】 如图：将一张纸作如下操作，一、用横线将纸划为相等的两块，二、用竖线将下边的区块划为相等的两块，三、用横线将最右下方的区块分为相等的两块，四、用竖线将最右下方的区块划为相等的两块，如此进行 8 步操作，问：如果用四种颜色对这一图形进行染色，要求相邻区块颜色不

37、同，应该有多少种不同的染色方法？（6 级）【解析】 对这张纸的操作一共进行了 8 次，每次操作都增加了一个区块，所以 8 次操作后一共有 9 个区块，我们对这张纸，进行染色就需要 9 个步骤，从最大的区块从大到小开始染色，每个步骤地染色方法有：4、3、2、2、2，所以一共有： 种43221536【巩固】 用三种颜色去涂如图所示的三块区域，要求相邻的区域涂不同的颜色，那么共有几种不同的涂法？（6 级）【解析】 涂三块毫无疑问是分成三步第一步，涂 A 部分，那么就有三种颜色的选择；第二步，涂 B 部分，由于要求相邻的区域涂不同的颜色，A和 B 相邻，当 A 确定了一种颜色后，B 只有两种颜色可选择

38、了；第三步，涂 C 部分， C 和 A、B 都相邻，A 和 B 确定了两种不相同的颜色，那么 C 只有一种颜色可选择了然后再根据乘法原理【例 24】 （难度等级 ）如图，有一张地图上有五个国家，现在要用四种颜色对这一幅地图进行染色，使相邻的国家所染的颜色不同，不相邻的国家的颜色可以相同那么一共可以有多少种染色方法？【解析】 这一道题实际上就是例题，因为两幅图各个字母所代表的国家的相邻国家是相同的，如果将本题中的地图边界进行直角化就会转化为原题，所以对这幅地图染色同样一共有 种方43296法【讨论】如果染色步骤为 ,那么应该该如何解答？-CABDE答案：也是 种方法43296如果染色步骤为 那么

39、应该如何解答？答案：染色的前两步一共有 43 种方法，但染第三步时需要分类讨论，如果 与 颜色相同，那么 有 2 种染法， 也有 2 种方法，如果 与ABED染不同的颜色，那么 有 2 种染法那么 只有一种染法， 有 2 种染法，所以一共应该有A种方法，(教师应该向学生说明第三个步骤用到了分类讨论和加法原理，43(12)96加法原理在下一讲中将会讲授)，染色步骤选择的经验方法：每一步骤所染的区块应该尽量和之前所染的区块相邻【巩固】 某沿海城市管辖 7 个县，这 7 个县的位置如右图现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给右图染色，11要求任意相邻的两个县染不同颜色，共有多少种不同的染色方法? （8 级

40、）【解析】 为了便于分析，把地图上的 7 个县分别编号为 、 、 、 、 、 、 (如左下图)ABCDEFG GFDCBAE为了便于观察，在保持相邻关系不变的情况下可以把左图改画成右图那么，为了完成地图染色这件工作需要多少步呢?由于有 7 个区域，我们不妨按 、 、 、 、 、 、 的顺序，用红、黑、绿、蓝、紫五种颜ABCEF色依次分 7 步来完成染色任务第 1 步：先染区域 ，有 5 种颜色可供选择；第 2 步：再染区域 ，由于 不能与 同色，所以区域 的染色方式有 4 种；BB第 3 步：染区域 ，由于 不能与 、 同色，所以区域 的染色方式有 3 种；CC第 4 步：染区域 ，由于 不能

41、与 、 同色，所以区域 的染色方式有 3 种；DCAD第 5 步：染区域 ，由于 不能与 、 同色，所以区域 的染色方式有 3 种；EDE第 6 步：染区域 ，由于 不能与 、 同色，所以区域 的染色方式有 3 种；FEF第 7 步：染区域 ，由于 不能与 、 同色，所以区域 的染色方式有 3 种GG根据分步计数的乘法原理，共有 种不同的染色方法5434860【例 25】 右图中共有 16 个方格，要把 A，B ，C，D 四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子问：共有多少种不同的放法？（6 级）【解析】 由于四个棋子要一个一个地放入方格内，故可看成是分四步完成这件事第一步放棋子

42、 ， 可以A放在 16 个方格中的任意一个中，故有 16 种不同的放法；第二步放棋子 ，由于 已放定，那么放B的那一行和一列中的其他方格内也不能放 ，故还剩下 9 个方格可以放 ， 有 9 种放法；第AB三步放 ，再去掉 所在的行和列的方格，还剩下四个方格可以放 ， 有 4 种放法；最后一步CB C放 ，再去掉 所在的行和列的方格，只剩下一个方格可以放 ， 有 1 种放法由乘法原理，D D共有 种不同的放法1694576【巩固】 在下图的方格内放入五枚棋子，要求每行、每列都只能有一枚棋子，共有多少种放法？（6 级）12【解析】 要放五枚棋子，肯定需要分五步完成观察到图中的表格正好是五列的，刚好

43、在每列放一个棋子于是，我们不妨按第 列、第 列、第 列、第 列、第 列的顺序依次摆放棋子12345第一步：在第 1 列填入一个棋子因为第 1 列只有两个格，所以有 2 种放法第二步：在第 2 列填入一个棋子因为第 2 列共有三个格，可是刚刚放在第一列的那个棋子占了其中的一行，所以有 3-1=2 种放法第三步：在第 列填入一个棋子因为第 列共有四个格，可是被放在第一列、第二列的那两个棋3子各占了一行，所以有 4-2=2 种放法第四步：在第 列填入一个棋子同理推得有 5-3=2 种放法第五步：在第 列填入一个棋子同理推得有 5-4=1 种放法5根据乘法原理，往方格内放入 枚棋子，每行每列只有一枚棋

44、子，共有 种放法5 216【例 26】 用 3 种颜色把一个 的方格表染色，要求相同行和相同列的 3 个格所染的颜色互不相同，一共3有 种不同的染色法 （6 级）【 解析 】 根据题意可知，染完后这个 的方格表每一行和每一列都恰有 3 个颜色用 3 种颜色染第一行，有 种染法；染完第一行后再染第一列剩下的 2 个方格，有 2 种染法；3P当第一行和第一列都染好后，再根据每一行和每一列都恰有 3 个颜色对剩下的方格进行染色，可知其余的方格都只有唯一一种染法所以，根据乘法原理，共有 种不同的染法26【例 27】 下图是一个中国象棋盘，如果双方准备各放一个棋子，要求它们不在同一行，也不在同一列，那么

45、总共有多少种不同的放置方法？（6 级）一一一一【解析】 第一个棋子有 90 种放法，第二个棋子有 72 种放法，根据乘法原理，共有 （种）不9072648同的放置方法13【巩固】 国际象棋棋盘是 88 的方格网，下棋的双方各有 16 个棋子位于 16 个区格中，国际象棋中的“车”同中国象棋中的“车”一样都可以将位于同一条横行或竖行的对方棋子吃掉，如果棋局进行到某一时刻，下棋的双方都只剩下一个“车” ，那么这两个“车”位置有多少种情况？（8 级）【解析】 对于如果只有一只“车”的情况，它可以有 64 种摆放位置，如果在棋盘中再加入一个“车” ，那么它不能在原来那个“车”的同行或同列出现，他只能出

46、现在其他七行七列，所以它只有 77=49 中摆放，所以这两个“车”的摆放位置有 6449=3136 种方法【例 28】 奥运吉祥物中的 个“福娃”取“北京欢迎您”的谐音：贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮如果5在盒子中从左向右放 个不同的“福娃” ，那么，有 种不同的放法 【第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛（6 级）【解析】 可得 （种） 543210【例 29】 一台晚会上有 6 个演唱节目和 4 个舞蹈节目问： 如果 4 个舞蹈节目要排在一起，有多少种不同的安排顺序? 如果要求每两个舞蹈节目之间至少安排一个演唱节目，一共有多少种不同的安排顺序?【仁华试题】 （6 级）【解析】 将 4 个舞蹈节

47、目视为 1 个节目，七个节目一起排列一共有 个，但舞蹈765321504节目还有 种排列所以一共有 种325042190优先安排将 6 个演唱节目顺序，一共有 种方法，然后将 4 个舞蹈节目按顺序63安插到 6 个演唱节目前后不同位置，包括首尾一共有 个位置可供 4 个舞蹈节目安插，共有个安插方式，所以一共有 种排列方式75480786【例 30】 四对夫妇围一圆桌吃饭，要求每对夫妇两人都要相邻，那么一共有多少安排座位的方法？(如果某种排法可以通过旋转得到另一种排法，那么这两种排法算作同一种) （6 级）【解析】 方法一：事实上如果没有括号中的条件，那么所得的答案是原题答案的八分之一，因为符合

48、原题的所有不同排法都通过旋转可以得到 8 种各不相同的安排方法所以可以先求出改掉括号中条件的题目答案对于改编后的题，显然所有的安排方法分为两大类，如右图所示，每个椭圆中是一对，对于其中的一类，例如右图，第一步，确定 1 号位的人选：8 种，那么 2 号位只能是他(她)的妻子(丈夫)；第二步确定 3 号位的人选：6 种，那么 4 号位只能是坐 3 号位的妻子或丈夫，如此，对于右图可以有 种排法，同理左图也有 384 种排法，一共是 768 种排法那么对842于有括号中条件的题目一共有 种排法796所以用 的小长方形形覆盖 的方格网，共有 13 种不同的盖法11 2345678876 5 4321方法二：由于括号中的条件让人很为难，对于一种新的排法，还要将它旋转，看它是否和之前的排法是否相同，当然也可以将所有排法都转到一个特殊的角度，以判断这些排法是否有相同的，所以可以定义一个特殊角度：先将四对夫妇编号，然后规定对于每一种排法 1 号夫妇面南坐是它的特