1、西安工程大学 计算机辅助工程 C A E 讲稿 第 8 章 膜、板、壳结构的有限元法 王益轩编著 2005 年 8 月 93 第8 章 膜、板、壳结构的有限元法 本章的主要目的是介绍膜、板、壳结构有限元分析的基本概念和基础理论。并简要介绍 A N S Y S 结 构分析中的相关单元。主要讨论内容如下： 概述 膜、板、壳结构有限元的基础理论 A N S Y S 结构分析中的板壳单元 A N S Y S 板壳单元浏览 膜、板、壳结构分析时的注意事项 8.1 概述 当一个 3D 实体结构的厚度不大 （相对于长宽尺寸） ， 而且变形是以 弯曲为主时 （亦即 非面内 的变 形） ， 这种结构称为板壳结构
2、， 此时我们可以用板壳单元来 建模 这个问题。 用 板壳单元 （而不用 3D 实体单元 ） 来建模 板壳结构主要的优点就是节省计算时间，并且增加解答精度 。 板壳单元的特 点是弯曲通常主宰其行为， 譬如其应力通常大部份来自于弯曲应力， 就如同梁结构 一 样。事实上，板壳单元和梁结构非常相似，主要的差异在于板壳单元承受双向弯曲，而梁单元只有单 向 的弯曲。 推导板壳单元的过程也和梁单元非常相似。当一片薄板承受弯曲时，原来是平面的一个断面， 弯曲后还是假设维持一个平面，换句话说，剪力变形假设可以忽略的。注意，当你使用实体单元（如 S O L I D 45 ）时，并没有这种 ( 平面维持平面 ) 的
3、假设 。 膜 类 结 构 单 元 仅 承 受 面 内 拉 伸 或 张 力 载 荷 （ 如 织 物 、 鼓 面 等 ） ， 仅 有 平 面 应 力 ， 即 与前面第 7 章介绍的 2D 平面结构单元问题完全相同，这里不再介绍。 0 z x z y z , 板结构单元与壳结构单元的主要区别就是板单元仅产生弯曲变形， 而壳结构单元则能承受面内拉 伸 应力和弯曲应力，也就是板单元与膜单元合并后的单元。 A N S Y S 程序中膜、板、壳单元是同一个单元，即壳单元，通过约束可实现板或膜单元。 8.2 板结构单元基础理论 8.2.1 梁的弯曲变形 当一梁受一弯曲力矩作用时， 如图 8 1 所示， 梁的中
4、性层弯曲变形的挠曲线方程为 f ( x ) , 根据梁变 形 的平面假设，梁上任意点（ x ， y ）的横截面将转动，变形后仍然保持为平面，旋转角等于该点处的挠曲 线的斜率。 即 （ 8 1 ） ( ) ( ) f x f x x 该点沿 x 方向的变形（位移）为 ( 假设梁的深度 t 符合浅梁的规定） ： （ 8 2 ） ( ) f x u y y x 西安工程大学 计算机辅助工程 C A E 讲稿 第 8 章 膜、板、壳结构的有限元法 王益轩编著 2005 年 8 月 94 8.2.2 板的弯曲变形 和 梁 的 变 形 一 样 ， 薄 板 的 变 形 仍 然 按 平 面 假 设 来 推 导
5、 ， 板 的 中 性 层 平 面 弯 曲 变 形 的 挠 曲 面 方 程 为 ， 我们根据板弯曲变形的的受力图 8 2 ， 可推得板弯曲变形时的 Y 截面 （截面法线和 Y 轴一致 ） , w x y 旋转角和 X 截面（截面法线和 X 轴一致 ) 的旋转角分别为（假设为薄板） , , x y ( 8 3) x y w y w x 板上任一点 ( x , y , z ) 在 x 方向和 y 方向的变形分别为 u ,v , ( 8 4) ( , ) ( , ) y x w u x y z z x w v x y z z y 薄板的弯曲变形符合平面应力假设， 根据平面应力问题的几何关系 （应变与位
6、移关系） 式 （ 7 2 ） 可 得板弯曲变形的几何关系为： （ 8 5 ） 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y w u x x x v w z z w y y y u v w y x x y x y O Y X L t 图 8 1 梁受弯曲力矩作用的变形（ a ）西安工程大学 计算机辅助工程 C A E 讲稿 第 8 章 膜、板、壳结构的有限元法 王益轩编著 2005 年 8 月 95 x y M M y u 局 部 放 大 中 性 层 的 挠 曲 线 f ( x ) 图 8 1 梁受弯曲力矩作用的变形 （b ） z y x M M M M （a ） t L x
7、y z M M t L z M M y x （b） （c ） 图 8 2 板受弯曲力矩作用的变形 3 节点 9 自由度三角形板单元 1单元位移模式 在分析板中， 板仅承受弯曲力矩 （即纯弯曲） ， 在受弯曲力矩作用后产生 z 轴方向的位移 w 以及对 x西安工程大学 计算机辅助工程 C A E 讲稿 第 8 章 膜、板、壳结构的有限元法 王益轩编著 2005 年 8 月 96 轴与 y 轴的旋转角 与 ，x 方向和 y 方向的变形 u 和 v 忽略不计，板单元如图 8 3 所示，3 个节点， x y 每个节点具有 3 个自由度，共 9 个自由度，节点分别为 ，因为 9 个位移分量为未知，因而假
8、设的 , , i j k 位移模式中应包含 9 个任意常数，位移模式假设如下： （ 8 6a ） 2 2 3 3 1 2 3 4 5 6 8 9 w a a x a y a x y a x a y a x a y 可求得转角为： （ 8 6b) 2 2 3 4 6 7 9 2 2 2 4 5 7 8 2 ( 2 ) 3 2 ( 2 ) 3 x y w a a x a y a x x y a y y w a a y a x a x y y a x x i j k w i xi y i w k kx kx w j j x j y y z x o 图 8 3 平面 3 节点 9 个自由度的三角形板单
9、元 式（8 6 ）写成矩阵形式： （8 7 ） 1 2 3 2 2 2 2 3 3 4 2 2 5 2 2 6 7 8 9 1 0 0 1 0 2 2 0 3 0 1 0 2 0 ( 2 ) 3 0 x a a a a w x y x y x y x y x y x y x y x x y y a y x x y y x y a a a a w 与前面平面应力问题推导相同， 将 9 个节点位移 和 节点坐标分 别 , , , , , , , , i x i y i j x j y j k x k y k w w w , , i j k 代入式（ 8 7 ）可得 9 个方程，求得 9 个常数 的
10、表达式（省略） ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 , , , , , , , , a a a a a a a a a西安工程大学 计算机辅助工程 C A E 讲稿 第 8 章 膜、板、壳结构的有限元法 王益轩编著 2005 年 8 月 97 代入位移模式（ 8 6 ）就可得如下式： （8 8 ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 i x i y i j x x j y y j k x k y k w w w N N N N N N N N N w w 式中 为三角形板单元的形函数。 1 9 N N 2应变矩阵与位移场的关系 将（ 8 8 ）代回（ 8 5 ）式可得： （8 9 ） 2
11、2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 2 2 i x i y i j x y x j x y y j k x k y k w x w z N N N N N N N N N y w x y 定义应变矩阵为： （8 10 ） 2 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 2 2 x N N N N N N N N N y x y B 节点位移向量为：西安工程大学 计算机辅助工程 C A E 讲稿 第 8 章 膜、板、壳结构的有限元法 王益轩编著 2005 年 8 月 98 （8 1 1 ） i x i y i j e x j y j k x k y k w w w 因而， （ 8
12、 9 ）式可写为： （8 12 ） e z B 3。板的应变能 应变能为： （8 13 ） 2 1 1 1 2 2 2 T T T e T e V V V U dV dV z dV D B D B 式中 为平面应力问题的弹性常数矩阵，由式（ 7 3c ) 确定。 D 4刚度矩阵 利用最小势能法可求出刚度矩阵： （8 14 ） 2 e T e e V U z dV K B D B 由式（8 14 ）可得： （8 15 ） 2 T V z dV K B D B 5单元应力 （8 16 ） e e z D D B S 式中 为应力矩阵， S （8 17 ） S z D B 至于 4 节点 12 自由
13、度的矩形板单元的有限元公式推导方法和前述完全相同， 只是位移模式中含有 1 2 个任意常数。这里从略，由读者自己推导。 8.3 壳结构单元基础理论 壳单元能承受拉伸应力与弯矩力，也就是膜单元与板单元合并后的单元，以三角形单元为例来说， 单元的应变位移关系式（几何关系）与三角形板单元完全相同，只不过每个节点具有 5 个节点位移（ 三 个平动位移，两个转角） ，即 5 个自由度，单元共有 15 个自由度，假设位移模式中应包含 15 个任意常 数。单元图形如图 8 4 所示。推导过程从略，由读者自己推导。西安工程大学 计算机辅助工程 C A E 讲稿 第 8 章 膜、板、壳结构的有限元法 王益轩编著
14、 2005 年 8 月 99 i j k u i v i w i xi y i u k v k w k kx kx u j v j w j j x j y y z x o 图 8 4 平面 3 节点 15 个自由度的三角形壳单元 8.4 ANSYS 结构分析中的板壳单元 SHELL63 8.4.1 S H E L L 63 单元描述 图 8 5 S H E L L 63 板壳单元 S H E L L 63 称为弹性壳 ， 因为它只支持线性弹性的材料模式； A N S Y S 另有其它 s he l l 单元可以支持 更 广泛的材料模式。S H E L L 63 有 4 个节点（ I , J ,
15、 K , L ） ，每个节点有 6 个自由度： 3 个位移（ U X , U Y , U Z ） 及 3 个转角 （ R O T X , R O T Y , R O T Z ） ， 所以一个单元共有 24 个自由度。 若 K 、 L 两个节点重迭在一起时 ， 它就退化成一个三角形， 如 图 8 5 右图所示。 I J K L 四个节点假设是共平面， 若不共平面则以一最接 近 的平面来修正这四个节点。 注意， 这种修正当然会引进一些误差， 所以对那种曲率很大的板壳结构而 言， 必须使用较细的单元 。 S H E L L 63 的单元坐标系统表示在 图 8 5 中， 原点是在 I 节点上， X 轴
16、和 I J 边可以有一角度差 （ T H E T A ，西安工程大学 计算机辅助工程 C A E 讲稿 第 8 章 膜、板、壳结构的有限元法 王益轩编著 2005 年 8 月 100 可以通过 过 R 命令输入） ， X Y 平面是在 I J K L 四个节点所定义的平面上， Z 轴则由右手规则依 I J K L 顺序决定。 你如果要指定 面力 （ s ur f a c e f or c e ） 时， 你可以参照 6 个面， 其编号如图所示， 作用在第 1、 2 面的力称为 面外力 （ out of pl a ne f or c e ） ， 作用在第 3、 4 、 5、 6 面 （边） 的力称
17、为 面内力 （ i n pl a ne f or c e ） 。 当你指定压力作用在第 1 个面时，力量是从下面往上（ + Z 方向） ，若是压力作用在第 2 个面则是由上面 往下（ Z 方向） 。 注意， S H E L L 63 是解 3D 结构的单元， P L A N E 42 是解 2D 结构的单元。使用 P L A N E 42 等单元时， 不允许有任何的 out of pl a ne 的负载。如果有 out of pl a ne 的负载时，请使用板壳单元 。 8.4.2 S H E L L 63 输入数据 图 8 6 s he l l 63 单元输入数据概括 S H E L L 6
18、3 的输入数据摘要在 图 8 6 中。R e a l c ons t a nt s 看起来好像很复杂，但大部分的情况下你只 需输入第一个数据： T K ( I ) ，板壳的厚度。必要的话，你可以分别输入四个节点的厚度： T K ( I ) 、T K ( J ) 、 T K ( K ) 、 T K ( L ) 。 E F S 读成 e l a s t i c f ounda t i on s t i f f ne s s ； 当板壳结构置放在弹性基础上时， 你可以输入此 弹 性基础的 s t i f f ne s s （ S I 单位是 N / m ） 。 譬如一块混拟土平板结构置放于土壤地面上
19、时， 则此地面对于这 个 平板而言可以视为弹性基础。 T H E T A 是刚才提到过，定义单元坐标系统 X 轴的角度。 R M I 读成 r a t i o of m om e nt of i ne r t i a （ 转 动 惯 量比 ） ， 是 单 位 断 面 的 转 动 惯 量 与 T K ( I ) 3 / 12 的 比 ， 大 部 分 的 时 候 采 用 默 认 值 （1.0 ） 即可， 可是对于非矩形断面或非均匀的复合材料 （譬如三明治板） 时， 你可以 通 过这个比值去 修 订。C T O P , C B O T 这是指中性轴（ ne ut r a l a xi s ）到板壳上
20、表面及到下表面的矩离，默认值是 T K ( I ) / 2 。最 后一个 r e a l c ons t a nt 是 A D M S U A ，读成 a ddi t i ona l m a s s pe r uni t a r e a ，如果板壳上面有附加的质量（但是 没有结构功能） ，可以在这里输入。注意， A D M S U A 只有动力分析或计算惯性力时会用到 。 K e y O pt i ons K E Y O P T ( 1) 是用来修改劲度（ s t i f f ne s s ）的计算方式，当 K E Y O P T ( 1) = 1 时，忽略所 有弯曲变形， 只考虑 i n p
21、l a ne 的变形， 所以又称为 薄膜 （ m e m br a ne ） 单元。 相反的， 当 K E Y O P T ( 1) = 2 时，则忽略所有 i n pl a ne 变形，只考虑弯曲变形。预设的 K E Y O P T ( 1) = 0 则两者都计算在内 。 E l e m e nt N a m e S H E L L 63 N ode s I , J , K , L D e gr e e s of F r e e dom U X , U Y , U Z , R O T X , R O T Y , R O T Z R e a l C ons t a nt s T K ( I )
22、 , T K ( J ) , T K ( K ) , T K ( L ) , E F S , T H E T A , R M I , C T O P , C B O T , A D M S U A ， e t c . M a t e r i a l P r ope r t i e s E X , N U X Y , G X Y , A L P X , D E N S , D A M P , e t c . S ur f a c e L oa ds P r e s s ur e f a c e 1, f a c e 2, f a c e 3, f a c e 4, f a c e 5, f a
23、c e 6 B ody L oa ds T e m pe r a t ur e T ( 1) , T ( 2) , T ( 3) , T ( 4) , T ( 5) , T ( 6) , T ( 7) , T ( 8) S pe c i a l F e a t ur e s S t r e s s s t i f f e ni ng, L a r ge de f l e c t i on, e t c . K E Y O P T ( 1) 0 B e ndi ng a nd m e m br a ne s t i f f ne s s 1 M e m br a ne s t i f f ne
24、s s onl y 2 B e ndi ng s t i f f ne s s onl y K E Y O P T ( 3) K e y f or i nc l us i on of e xt r a di s pl a c e m e nt s ha pe s K E Y O P T ( 5) K e y f or e l e m e nt s ol ut i on e t c .西安工程大学 计算机辅助工程 C A E 讲稿 第 8 章 膜、板、壳结构的有限元法 王益轩编著 2005 年 8 月 101 8.4.3 S H E L L 63 输出数据 （略） 8.5 ANSYS 板壳单元浏览(略） 8.6 膜、板、壳结构分析时的注意事项 节点载荷向量的求解、整体分析方法和单元组装与前面平面应力问题完全相同这里从略。 分析时应注意： 对那种曲率很大的板壳结构而言，必须使用较细的单元 。 注意， S H E L L 63 是解 3D 结构的单元， P L A N E 42 是解 2D 结构的单元。使用 P L A N E 42 等单元时， 不允许有任何的 out of pl a ne 的负载。如果有 out of pl a ne 的负载时，请使用板壳单元 。 注意膜、板、壳单元的区别。
