1、京翰教育中心 http:/1.试证明：物体的相对论能量 E 与相对论动量 P 的量值之间有如下关系：202cp证明： 2mcpE22021cm2240c04Em22cp 读者可试为之，从 20E入手证明它等于 2cp。2. 在用质子 )(1P轰击固定锂 )(73Li靶的核反应中， （1）计算放出 粒子的反应能。 （2）如果质子能量为 1 兆电子伏特，问在垂直质子束的方向观测到 粒子的能量有多大？有关原子核的质量如下：H1， 1.007825； e42，4.002603 ； Li73，7.015999.解：（1）核反应方程如下：HePLi42173静质量 0M 1 3M 2动 能 0E 1 3E
2、 2由总质量和总能量守恒：2322120 cMcM由反应能 Q 的定义得：2p13p图 51-21京翰教育中心 http:/)()(1032EEQ23210cM5.93106.4)785.59.7( 3（兆电子伏特）其中： 28272 )/92.()106.(1 秒米千 克 cu65.93兆电子伏特=931.5 兆电子伏特（2）设锂靶是静止的，根据动量守恒，可知，反应所产生的两个相同的 粒子（ He4核） ，应沿入射质子的方向对称分开，如图 51-21 所示。由动量守恒定律有321p矢量 321,p合成的三角形，两底角皆为 ，又因 32M，因而有32E已知反应能 Q=17.35 兆电子伏特，且
3、132Q其中 兆电子伏特，可得)(32EE)15.7(=9.175（兆电子伏特）即反应所生成的 粒子其能量为 9.175 兆电子伏特。 粒子飞出方向与入射质子的方向之间的夹角为 ，因此cos21213pP京翰教育中心 http:/由于 MEP2，得：cos22113 EM代入反应能 Q 的定义式：132Ecos23211323 MEM将上式中质量数改为质量比得cos2113211323 AEEAQ其中 1， 4，代入上式：cos221E所以 2143cosQ0825.75.9143.所以 6185由此可知，在垂直于质子束的方向上观察到 He42的能量近似就是 9.175 兆电子伏特。3. 一个
4、处于基态的氢原子与另一个静止的基态氢原子碰撞。问可能发生非弹性碰撞的最小速度为多少？如果速度较大而产生光反射，且在原速度方向和反方向可以观察到光。问这种光的频率与简正频率相差多少？氢原子的质量为1.6710-27kg，电离能京翰教育中心 http:/JeVE180.26.13。解：处于基态的氢原子能量为 2E，第二激发能量为.12E被氢原子吸收的最小能量子为J18341212 06.我们必须求出在碰撞中能量损失为以上数值的最小速度。如果碰撞是完全非弹性的，则碰撞中能量损失最大，碰撞后的速度将是 .2初动能和末动能之差为42)(22mm这个值应等于最小的能量子42E因此sm41026.在非弹性碰
5、撞后，两个原子的速度为s4103.2本题第二间的解答与多普勒效应有联系。对于比光速小很多的速度，相对速度之比给出频率相对变化的极好近似。故有02484 19.109.23:1026. 两束光的频率按此比率稍小于或稍大于简正频率京翰教育中心 http:/4. 如图 11-136 所示，光滑无底圆筒重 W，内放两个重量均为 G 的光滑球，圆筒半径为 R，球半径为 r，且 r 2时因为 n ，所以荧光液体发出的光在容器内壁上不可能发生折射角为ABCDO2i0r1E图 33-105O1i2BACD1n图 33-104京翰教育中心 http:/90的临界折射，因此当 0r时，所看到的壁厚不可能为零了，当
6、 0r时，应考虑的是图 33-105 中 ABCD 这样一种临界情况，其中 AB 光线的入射角为90，BC 光线的折射角为 1r，此时应该有 21sin90r在直角三角形 OBE 中有 OBEr/sin1因为图 33-104 和图 33-105 中的 2角是相同的，所以 0rE，即210/9sinr将 10nRr代入，可得当 2/nRr时，可看到容器壁厚为零。上面的讨论，图 33-104 和图 33-105 中 B 点和 C 点的位置都是任意的。故所得条件对眼的12.（1）用折射率为 2的透明物质做成内半径、外半径分别为 a、b 的空心球，b 远大于 a，内表面涂上能完全吸光的物质。问当一束平
7、行光射向此球时被吸收掉的光束横截面积为多大？（注意：被吸收掉的光束的横截面积，指的是原来光束的横截面积，不考虑透明物质的吸收和外表面的反射。 ）图 33-114 所示是经过球心的截面图。（2）如果外半径 b 趋于 a 时，第（1）问中的答案还能成立？为什么？ba图 33-114京翰教育中心 http:/分析：（1）如图 33-115 所示，不被 a球吸收的极限光线是与 a球相切的光线 AB，因此被吸收掉的光束横截面积应该是以 R为半径的一个圆盘，面积为2RS。利用折射定律和相关几何关系式不难求出 R而得解。（2）在 b 趋于 a的过程中，当 b 减小到一定程度时，入射到 b 球面上的所有光线折
8、射后可能都会与 a球面相交，此时如果 b 再度减小，则依据第（1）问计算出的结果就不能成立。解：（1）如图 33-115 所示，CO 为穿过球心的光线，与 CO 相距为 R 的光线在 b 球面折射后折射光线 AB 恰好与 a球相切，则有ibRsn由折射定律 ri所以 s又因为 barin， 2所以 R2aS即被吸收掉的光束横截面积为 。（2）在 b 趋于 达到一定程度时，从第（1）问的结果可知，当 b 减小到 an2时， 2ab，即入射到此空心球上的全部光线都将被吸收掉，此时极限光线的入射角 90i，而 R=b，如图 33-116 所示。如果 b 再减小，则入射到此空心球上的全部光线仍将被吸收
9、掉，此时极限入射光线（即入射角 90i）的折射线并不与ABCDEFORabir图 33-115 abABO90ir图 33-116 abir图 33-117京翰教育中心 http:/内球表面相切，所以被吸收光束截面积为 2a的结论不再成立。被吸收光束截面积此时为 2ab，参见图 33-117 所示。讨论：（1）本题第（1）问可以改为求经过空心球折射后的光束在球右边形成的出射光束的截面积大小是多少的问题。从左边平行入射到空心球的光束只有 AE 区域间的光线经外球面折射后能够从右半球折射出来，如图 33-115 所示。与 a球相切的光线 AB 光 b 球于 D，过 E 点的光线入射角为 90，因折
10、射率为 2，所以该折射光线的折射角为 45，即折射光线刚好交于 b 球于 F 点。设DOF，D 到直线 OF 的距离为 R，且 sin，而出射光束截面积 2S。由几何关系易知 r2，即 )arcsin(rsi2b，所以可求出 S。（2）如果把问题改为空心球的内表面没有涂上吸光物质，而要求进入球内空心部分的光束在球壳外的截面积大小是多少。因为距中心光线 CO 越远的光线，在两球面上的入射角越大，因此抓住经外球面折射后的光线在内球面上的入射角刚好等于光从介质进入空气的临界角这条特殊光线来考虑，如图 33-118 所示。设 角为光由介质射入空气的临界角，在 ABO 中，有 nbar1)si(in，又
11、由 isn，由图可知 iAD。利用以上几个关系式可得aAD，故所求射入球内空心部分的光束在球外的截面积 2aADS点评：从本例的解答中可看出，正确分析和作出边界光线是解决问题的关键。边界光线是随着具体问题的不同而改变的，要注意针对具体问题灵活把握。ABCDOir图 33-118京翰教育中心 http:/13.真空中有一个半径为 R 的均匀透明球，今有两束相距为 2d(dR)对称地（即两光束与球的一条直径平行并且分别与其等距离）射到球上，试就球的折射率 n 的取值范围进行讨论（1）n 取何值时两束光一定在球内相交？（2）n 取何值时两束光一定在球外相交？（3）如果 n、d、R 均已给定，如何判断
12、此时两束光的交点是在球内还是在球外。分析：设当球的折射率为 n0 时，两束光刚好交于球面上，如图 33-123 所示。令光线射入球中时的入射角为 i，折射角为 r，则由图中的几何关系有ir21又由折射定律有irnsi0由上两式解得rcos20又由图中的几何关系可以得到 22cosdRr2212Rddi图 33-123O京翰教育中心 http:/2012Rdn由上式可见，对于某一个确定的比值 ，为使两光线刚好交于球面，球的折射率有一个确定的值 n0 与之对应。这样，我们可以假想，若球的实际折射率n 不等于 n0 时，则两光线进入球内时的情况与前面图示的情况有所不同，即两光线不是交于球面上。当 0
13、时，两光线将比图示情况偏折得更厉害（图中角 r 将更小） ，两光线的交点必在球内；当 0n时，两光线将比图示情况偏折得少一些（图中的角 r 将大一些） ，两光线的交点必在球外。若以 Rd作为一个变量来讨论上述问题，由于 10Rd，故由此确定的 n0 的范围是 20n。解：（1）当 时，对于任何 Rd来说，都有 0n，即不管球的半径和两光线间的距离如何，两光线都必定在球内相交。（2）当 2n时，对于任何 Rd来说，都有 0n，即不管球的半径和两光线间的距离如何，两光线都必定在球外相交。（3）对于任意给定的 n、R 和 d，则只需比较 n 与 n0201dn的大小即可确定两光线的交点是在球内还是在
14、球外：当 0时，两光线的交点在球内；当 n时，两光线的交点在球面上；当 0时，两光线的交点在球外；京翰教育中心 http:/14一点电荷+q 和半径为 a 的接地导体的球心相距为 h，求空间的电势分布。分析：此处是电荷与导体上的感应电荷共同作用的情况，此处导体是一导体球，而非平板。我们自然地猜想，球上的感应电荷可否用像电荷等效替代？若可以，该电荷应在何处？解：在导体球面上，电力线与球面正交，从电力线会聚的趋势（如图 41-85（a ） ）来看，感应电荷与 -电荷 q相当。据对称性，q应在 z 轴上，设其距球心 h。如图 41-85（b） 。点电荷+q 与像电荷 q在 P 点的电势为 cos2c
15、os222 hrrqahrkU由球面上 U=0，即 r=a 处。U=0 ，有cos2cos22haqrahq上式含有参量 q与 ，因而问题化成能否找到两个参量 q和 h，使上式对于任意的 都能满足。两边平方cos2cos222 ahqaqhaqaq 要使此式对任意 都成立，必须222haqhaq hq2q图 41-85（a）京翰教育中心 http:/得出 q和 hha2qha q其中第一组解像电荷在球内，其对球外空间作用与感应电荷相同。第二组解像电荷就在 q 处，其对球内空间作用与感应电荷相同（第二组解并非其他书上所说的毫无意义，这一结果有很好的应用。虽然它看起来显而易见） 。球外空间电势为
16、cos2cos222 hraqrhqKU球内空间电势为零。讨论：若导体球绝缘，并且原来不带电，则当导体球放在点电荷 q 的电场中时，球将感应等量的正负电荷，球外空间的电场由点电荷 q 及球面上的感应正负电荷共同产生。这时感应电荷的贡献，除了负电荷根据上面的讨论可由球内 Z 轴上的象 q代替外，还应有一个感应正电荷的像 ，为了保持球面等势，这个像的位置位于球心。那么rqKU0对于球面上任意一点rqO0rhqPZ图 41-85（b）京翰教育中心 http:/而 ar0，所以常 数hqKaU从上式可以看出球面的电势相当于单独的一个点电荷 q 在球心的电势。实际上，由于球表面带电总量为零，这一点是显而
17、易见的。如果 q 移到无限远，即 h，同时增大 q，使在球心处的电场20/hkE保持有限。这时，像电荷 的 ha2无限趋近球心，但3qa保持有限，因而像电荷 q和 在球心形成一个电偶极子，其偶极矩为03034EakhqP。无限远的一个带无限多电量的点电荷在导体附近产生的电场 0E可看作是均匀的。因此一个绝缘的金属球在匀强电场 0中受到感应后，它的感应电荷在球外空间的作用相当于一个处在球心，电偶极矩为 03EKa的偶极子。15电荷 q 均匀分布在半球面 ACB 上，球面的半径为 R，CD 为通过半球顶点 C 与球心 O 的轴线，如图 41-91。P、Q 为 CD 轴线上在 O 点两侧，离 O 点距离相等的两点，已知 P 点的电势为 Up，试求 Q 点的电势 UQ。分析：本题关键是将其转化为空间对称情形，而后用电势叠加原理求解。解：设想一匀匀带电、带电量也是 q 的右半球，与题中所给的左半球组成一个完整的均匀带电球面，由对称性可知，右半球在 P 点的电势 pU等于左半球在 Q 点的电势，即京翰教育中心 http:/0Up (1)所以 pQp (2)而 pU正是两个半球同时存在时 P 点的电势。因为均匀带电球壳内部各处电势都相等，其值等于 Rqk2，k 为静电力恒量，所以得Up(3)由(2)、(3)两式得 pQRqk2
