1、数学科学学院 陈建华,线性代数,1.5 习题课,行列式计算方法小结,利用行列式的定义 化三角形法 拆行(列)法 按某一行(列)或某k行(列)展开 数学归纳法 递推法 加边法(升阶法) 利用已知行列式的结论,例1.计算n阶行列式,分析 0 较多,用行列式定义或展开定理.,解(一)由行列式定义,(二)按第一列展开此行列式, 得,?,！,化上三角形,例2.计算（1）,方法一,9,化上三角形,9,展开降阶,方法二,3,=(2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3)=12,范德蒙行列式,(2),(3),=160,观察：每行元素之和都等于10,解：,例3.证明,证明:,法一: 左,右,法二
2、: 左,右,解:,D,每行元素之和相同，2n列加至首列,例4.计算,注:本题首行乘以(-1)加至2至n行可得箭形行列式,例5 计算行列式,分析每行元素之和相同,2至末列加至首列.此后无法通过2至末行减首行化上三角形,可首列提取公因子后利用第一列的元素1化下三角形行列式.,解：,例6 计算,解:,分析首行乘以(1)加至2至n行可得箭形行列式,例7. 解方程,解法(一)末列(-ai)加至第i列(i=1,2,n)得上三角形.(二)末行(-1)加至1至n行, 再由行列式定义或按末列展开.(三)末行起,每行减其上行,再由行列式定义或按末列展开.(四)方程为一元n次方程,最多有n个实根,而当x =a1,a
3、2,an时,方程左边行列式两行相同,值为0,方程成立,故为根.,1.2例解方程,例8 计算(P23),特点:“0”多,方法: 降阶找递推公式,0,0,0,0,解：法(一) 按第1行展开, 再,递推公式:,adD2(n-1)bcD2(n-1),(adbc)D2(n-1),D2n,(adbc)D2(n-1),(adbc)2D2(n-2),(adbc)n-1D2,(adbc)n,按末行展开，有：,法(二)按中间两行展开拉普拉斯定理,重复此步骤.,法(三)d0,用定义；d0, 化下三角形行列式.,(adbc)D2(n-1),(adbc)2D2(n-2),(adbc)n-1D2,(adbc)n,例9,解
4、:按首行(列)展开,变形为:,后一行列式再按首列(行)展开得,Dn-2,、消去Dn-1得,时,按另一种方式变形为:,时,例10 计算(P26),(一) 2至n列加至首列,再2至n行减首行得上三角形行列式 (二) 2至n行减首行得箭形行列式 (三) 加边(升阶)法,解：,箭形行列式,例11,主对角线上元素去掉1,则各行分别有公因子x1, x2,xn, 提取公因子后各行元素都是x1, x2, xn,故考虑“加边法”,第2行减去第1行的x1倍,第3行减去第1行的x2倍,第n+1行减去第1行的xn倍.,箭形行列式,(1) mnab,例12 设,则,(一)按前n行展开得,(二)B的第一行逐行向上交换经n
5、次至C的首行, B的原第二行逐行向上交换经n次至C的第二行,直至B位于C的左上角, 得,(92 考研 数四 ),1-a+a2-a3+a4-a5,(96考研数五 ),(一) 25列加至首列, 按首列展开, 得同型四阶行列式再24列加至首列, 按首列展开, 三阶行列式对角线法则展开易得.,(二) 从末列起, 每列加至前列, 所得行列式从首列起, 每列(-a)加至后列, 即得下三角形行列式.,例13,(1)n1(n1),(97考研数四 ),ab 型行列式,例14,(99考研数二),24列减首列，再2列加至4列：,根的个数为（ ）,(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4,B,例15 方程,28
6、,(01考研数四 ),若题为“代数余子式之和”,则为0，因为第2行全为2;本题“余子式之和”可直接计算,因为含0较多. 若0不多，技巧：,，第四行各元素余子式之和的值为,M41+M42+M43+M44,A41+A42A43+A44,例16 设,(96考研数一、二 ),前例! 用定义. 可按2、3两行展开.,四阶行列式 的值等于（ ）,D,(A) a1a2a3a4b1b2b3b4,(B) a1a2a3a4+b1b2b3b4,(D) (a2a3b2b3)(a1a4b1b4),(C) (a1a2b1b2)(a3a4b3b4),例17,作业: P32-33 习题1.4 1, 2, 3,备用题1. 计算
7、行列式,分析 n+2阶的三对角行列式.其非0元特点!,化下三角形：第1列(-a)倍加到第2列,新的第2列的-(a+b)倍加到第3列,新的第3列-(a+2b)倍加到第4列,直至将新的第n+1列-(a+nb)倍加到第n+2列。,解:第1列(-a)倍加到第2列,新的第2列-(a+b)倍加到第3列,新的第3列-(a+2b)倍加到第4列,直至新第n1列-(a+nb)倍加到第n2列,得:,a(a+b)(a+2b)a+(n+1)b,备用题2 计算行列式,解(一),分析第1列加到第2列,新的第2列加到第3列,直至新的第n列加到第n1列,解(二),另一思路：尽管每行元素之和不全相同，但若将第2至末列加至首列，则
8、首列除末元素外全为0，按首列展开得下三角形行列式。,方法索引-数学归纳法,数学归纳法是数学上证明与自然数有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题。在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。数学归纳法有两种基本形式： 第一数学归纳法：一般地，证明某个与自然数有关的命题 ，如果满足下面两个条件，就对一切自然数成立： （1）命题 成立； （2）假设当 时命题成立，蕴含 时命题也成立。 第二数学归纳法：对于某个与自然数有关的命题， （1）验证 时 成立； （2）假设 时 成立，并推出 成立。 综合（1）（2）对一切自然数 ，命题 都成立。 除此以外还有倒推归纳法（反向归纳法），螺旋式归纳法，跷跷板归纳法等。（参见华罗庚数学归纳法科学出版社2002）,线性代数是一种语言，必须用学习外语的方法每天学习这种语言David . C . Lay,
