1、1一道导数压轴题突破的过程1 问题缘起最近复习函数与导数,笔者给学生做了一道大市调研试卷的压轴题,效果不是特别理想,很多学生做对第一问,第二问就无从下手或半途而废了。在解导数综合题时,方法是否得当,常常是问题能否顺利解决的关键所在。在解题时学生一般从条件出发,观察试验,向前推进,但经常是阻碍重重,失去方向,只能望题兴叹。如何进行有效的引导,教会学生突破导数的压轴题呢?笔者在教学中发现,应在方法的突破和细节的处理上下功夫。以下笔者摘录教学片段和大家共同探讨。例题 (2009 年南京市高考模拟试题)已知定义在实数集 上的偶函数 的最小值为 ,且当 时, ( 为常数).R)(xf30xaexfx3)
2、((1)求函数 的解析式;)(xf(2)求最大的整数 ,使得存在实数 ,对任意的 ,都有 .)1mt,1mxextf)(本题难度接近高考,考查的是函数与导数中的典型方法和基本技能,第一问较简单,第二问和不等式结合且字母较多,再加上“存在”和“任意”的表述,难度较大。如何突破,教学过程如下。2 教学片段2.1 经历了思维的困境,对方法进行反思教师出示问题,请同学快速做答,因为第一问较容易,学生很快完成,但第二问明显卡壳,推进缓慢,教师巡视。师:(十五分钟后)大部分同学都有了自己的想法,但能成功解决的并不多,现在请大家谈谈自己的想法和做法。生 1:第一问我很快得出结果,过程如下:(1)因为 是增函
3、数,所以当 时, 也是增函数.xey0x)(xf又因为 是偶函数,所以 ,又 最小值是 ,故 .)(f af3)(min )(f30,3a当 时,因为 ,所以 .0x0xxefx)(综上知, ,3)(efx师:很好,即使是压轴题,第一问我们都应该能很好地解决的。那第二问呢?生 1:第二问我尝试特殊化,将端点代入 得到一些不等关系,过程如下: etf3)1((2)因为 时,有 ,故 .,mxextf3)(当 时, , , , ;0tet31t1t0t当 时,同理可得, ;从而 .122同样地,由 及 ,得 .tf)(mte由 的存在性知,上述关于 的不等式在区间 上必有解.t t0,2到这里我就
4、不知道怎么解决了。师:巡视过程中我发现很多同学用这种方法,都是取两个端点代入,但大部分同学都和生 1 一样无法继续突破,那么就用这种方法,如何有效突破难点呢?请大家继续思考!2.2 解法突破的过程2.2.1 导数开路,零点帮忙,巧渡难关过了十分钟,有同学举手。生 2:我也是用生 1 的方法,得到关于 的不等式 在区间 上必有解.tmte0,2因为 在区间 上的最小值为 ,所以 ,即 te0,2e23令 ,则 ,由 ,得 .),)(3xxg 3)(xg)(xg当 时, , 是减函数;当 时, , 是增函数;2(g0 )(xg故 的最小值是)(x02)33e又 , ,而1(2eg)4() )5()
5、23eg由此可见,方程 在区间 上有唯一解 ,)x,40m且当 时, ;当 时, .02m(g0x)(x即在 时满足不等式的最大实数解是 .),x而当 时, ,,10t )(3)2(12xexfx在 时,因为 ,所以 ; 2,x112xxe0f在 时, .(0m 0)(3)()(3)( 223 xgexexf综上所述, 的最大整数值是 .4师:很好!生 2 构造函数,然后利用导数求最值,结合零点定理逐步缩小并确定 的值。这种突破m的方法在函数与导数的综合题中经常用到,希望同学们能熟练掌握!2.2.2 先猜后证,正反结合,旗开得胜生 3:我感觉整数 的值不会太大,所以我通过特殊值先猜出 的值为
6、4,再进行证明,非常高兴我成功了!过程如下:满足条件的最大整数 为 .m4先证 符合题意,4m取 当 时,因为 ,所以 ;,2t,1x exexf xx 3,3)2(2 exf3)2(当 时, ,( ()(3)( 2etf令 ,则 , 由 ,得 .xeg3)3gx0)xg当 时, , 是减函数;当 时, , 是增函数;20)( )(40)(xg)(3故 的最大值是 和 中的较大者.)(xg)2(g4因为 , ,故 ,012e0)4()3e0)(xg即当 时, .4,(x(xtf再证 时不符合题意,因为不等式 对 成立,所以必有 ,5mextf3)(10,2t因为 ,所以 ,05)5(31)(
7、244 etf t ef15)(这说明 时 不成立.xxtf)综上所述, 的最大整数值是 .师:生 3 的成功告诉我们不是每道题都是顺题而解,有时我们可以先猜后证,这样我们相当于先得到结果,这样就占据了主动,目标就十分明确,更加有信心完全解决问题。对于一些较难问题,这种突破方法屡见不鲜,应加以足够的重视!2.2.3 恒等变形,变量分离,出奇制胜生 4:我通过变形转化为非常基本的问题,更加简捷易懂。由(1)得到 ,我0,3)(xef想这不就是绝对值函数吗,得到 xef3)(代入 得到 ,extf3)(tx由题 对 恒成立,即tx,1mxtxln1所以 , tlnln1 l令 , ,所以 ;xg)
8、( 0)( g 2)1()(maxg令 , , ,xhl1 hhxlnin要使 存在,只要 ,即 t mln23l令 ,则 ,所以 在 上为单调减函数,3ln)(mk 0)(k)(k),1且 .25ln(,14l)(,03 所以满足条件的最大整数 的值为 4师:十分精彩!生 4 的做法简捷明了,既避免了分类讨论,又将这一较难问题转化成十分基本的问题。关注细节的变化,威力往往是巨大的,难点的突破显得那么自然,那么通俗易懂,这是我们突破难点的非常高的境界。3 教后反思:面对具体问题,特别是压轴题,学生本身潜意识就有一点恐惧的心理,教师要灵活选择教学方式,舍得在课堂上花时间让学生暴露自己的思维过程,
9、分析其思维受阻原因及对策,发现不足,扬长避短。较难问题往往不止一种解法,高考试卷的压轴题经常有十种左右的解法,每一种解法都是一个思维的结果,然而教师往往忽视思维形成的过程,学生只能作为教师解题的观察者和欣赏者,并没有切4身的体会,思维能力没有得到真正的提高。教师应引导学生进行解题后的反思,不仅能有效地帮助学生巩固知识、技能,而且对提高学生思维品质有特殊功效。反思的内容主要有:(1)解题涉及的知识方法有哪些?它们之间有何联系?解题过程能否简化?解题方法能否优化?哪些步骤上容易发生错误?原因何在?如何防止?(2)解题时用了哪些思维方法?解法是如何分析而来的?解法是否具有普遍意义?有何规律?(3)解决问题的关键何在?如何进行突破?是否还有其他不同的解法?在找到多种解法的前提下,哪种方法最优?最合理?其中的道理是什么?(4)在解题过程中最初遇到哪些困难?后来又是如何解决的?相信通过这样的思考,学生的能力一定会得到很大的提高。