1、1数学 古城外国语学校 陈启威 初三(1)班可化为解直角三角形的问题举例教学设计方案设计思想表述建构主义认为，个体学习者基于自己的经验背景对知识有不同的理解。学习者对知识的接受不仅是对知识的理解，而且是对新知识的分析、检验和批判以及对知识与知识之间的联系和思考。学习是学习者个体主动的建构过程，包括同化和顺应两个过程。教学不能无视学生原有的“认知结构”，要把学生的知识经验作为学习新知识的生长点，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验；要注重学生对知识理解的差异性，有差异才有交流和探索、合作的必要，学生根据已有知识经验理解新知识的差异性是一种宝贵的学习资源。新课程改革提出的要求是：让学生
2、通过交流、合作、讨论的方式，积极探索，改进学习方法，提高学习质量，逐步形成正确地数学价值观。基于对上述基本理念的理解，在本节课的教学设计中，我始终坚持以学生为主体，教师为主导的教学思想。严格遵循学生的认知规律，启发学生根据已有的解直角三角形的相关知识，通过必要的探索、交流、合作，能构造辅助线，将含有特殊角的非直角三角形的问题转化成解直角三角形的问题进行求解，从而不断提高学生在原有知识和经验的基础上自我建构、自我生成的能力。在重视课本例题的基础上，我还对题目进行了适当地延伸，这样可使例题的作用更加突出，学生更容易掌握本节课的重点内容。同时，在整个教学设计中，我还非常关注学生的参与意识，通过设置一
3、系列问题来活跃学生的思维，注重引导学生从数学的角度去思考问题。在课堂上，能尽量留给学生更多的空间，更多的展示自己的机会，让每位学生在充满激情的、和谐的课堂氛围中，在老师和同学的鼓励与欣赏中，认识自我，体验成功的乐趣，从而树立了学好数学的信心。学习分析教材分析本节教材安排在北京市九年义务教育初级中学教科书（实验）几何第三册（上）第六章解直角三角形的第二大节解直角三角形的第三小节可化为解直角三角形的问题举例，是本章的倒数第二节内容。是在学习了解直角三角形的相关知识及应用的基础上，进一步探索并解决含特殊角的非直角三角形问题，而这些问题在实际生活中的应用也非常广泛。可以为将来解决圆的综合计算或几何综合
4、计算题打好基础，也可以为高中解斜三角形中的边角计算问题作好铺垫。因此，本节内容起到了一个承上启下的作用。本节课的教学重点是通过添加辅助线构造直角三角形。学生特征 本班学生基础比较差,学习习惯不太好，但仍有学好数学的兴趣和愿望,思维上比较活跃。2学习目标1.会将等腰三角形、一般三角形（含特殊角）中的边角计算问题通过作垂线转化为解直角三角形问题去解决；2.会将实际问题抽象为含特殊角的一般三角形问题,进而转化为解直角三角形问题去解决；学习目标3.学会设元,用含元的代数式表示其它线段；并能寻找等量关系列方程求解；4.通过将一般三角形的问题化归为解直角三角形问题的探究,体会转化思想和方程思想的运用理念，
5、提高学生的归纳表达能力；5.通过变式题的训练，提高学生的解题能力，学生能够从中体会到学数学、用数学的乐趣。学习方式 自主探索、合作交流教学分析教学方法 启发式、活动参与式3教学流程教学过程教学环节 教师活动 学生活动 活动目标一、 引入二、新课例 1 为了测定河对岸两点A、C 间的距离（已知 AC 很长，无法直接测量），由此，勘测人员想出了这样一条妙引入话题与学生一同分与学生一同分析解本题的关析解本题的关回忆解直角三角形的依据思考作垂线的目的是将等腰三角形的问题巩固已学知识，为新知识作铺垫创设问题情境，以学生感兴趣话题引入求等腰三角形底边长的实例探究 提出研究问题构造直角三角形后发现一个可解另
6、一个不可解思考解题方案构造直角三角形后发现两个均不可解后引入适当未知数将实际问题转化为数学问题，将数学问题转化为含有特殊角的一般三角形问题并讨论如何求解小结布置作业评价学生的解题方案教师监控指导4计：在岸边选定 2 公里长的基线 CB，并测得，ACB=30 0，ABC=1200，最后成功地得到了答案.问：他是如何求出 AC 的长？ D CBA例 2 已知:如图, ABC 中 ,AC=4,AB=6,A=60 0,求 BC 的长.DCA B分析 添加完高线 CD 后, ACD 被分成两个直角三角形,一个可解,另一个不可解.而所求的 BC 边恰好在不可解的 RtBCD 中,因此,需要借助于可解的 R
7、tACD 中的相关元素 AD、CD 来求解。问:此题还有其它添加辅助线的方法吗?均能求出 BC 的边长吗?DCA B键是什么键是什么引导学生分析添加完垂线后如何求 BC 的长引导学生总结正确添加辅助线的关键是没有将特殊角分开转化成直角三角形的问题理解欲求 BC 需先求 CD、BD一名学生板书，其他学生在笔记本上写出完整的解题过程分析另外的两种添加辅助线的方法能否求出 BC 的长，由此得出构造后的直角三角形中要保留特殊角的结论的，并且容易回答的问题为开端，让学生在各自熟悉的场景中轻松、愉快地回答老师提出的问题后，带着成功的喜悦进入新课的学习。让学生体会到非直角三角形的相关元素如何求解提示学生还有
8、其它添加垂线的方法,鼓励学生大胆添加辅助线通过几种辅助线的添加，重点让学生体会出一般保留了特殊角才能正确求出相关元素5DCA B结论:作高时,要保留特殊角,不能将特殊角分开。问题:类比例 1 和例 2,它们在解题上的共同点是什么?例 3 已知:如图, ABC 中,B=30 0,C=45 0,BC=2求 ABC 的面积 .D CBA分析 添加完高线 AD 后,虽然也构造了包含特殊角在内的两个直角三角形,但是它们均不可解。我们不妨引入一个适当的未知数 x，其它的线段用含 X 的代数式表示，建立起已知和未知间的等量关系，利用方程的思想求解。问题：例 2 和例 3 在解题上的共同点是什么？不同点是什么
9、？相同点：均是通过作垂线，将含有特殊角的非直角三角形问题转化成直角三角形问题。不同点：例 2 是转化后的直角三角形一个可解，另一个不可解。所求元素需要借助可解直角三角形的相关元素求解。例 3 是转化后的两个直角三角形均不可解，引导学生进行总结师生共同分析，如何列方程求解引导学生类比相同点和不同点总结出通过作垂线，将非直角三角形问题转化成直角三角形问题，并且转化后的直角三角形中包含了特殊角将图形中除 AD外的线段用含X 的代数式表示，并且找到题中的等量关系，列出方程可独立思考，也可相互讨论其异同点让学生体会出若想求出非直角三角形的相关元素，必须先构造直角三角形引入方程的思想解题，有效地将形数结合
10、起来通过类比，进一步理解转化后如何求相关元素6需要选择适当的未知数，利用方程的思想求解。例 4 已知:如图,河旁有一座小山，从山顶 A 处测得河对岸点 C 的俯角为 300，测得岸边点 D 的俯角为 450，又知河宽 CD 为 50 米.现需从山顶 A 到河对岸点 C 拉一条笔直的缆绳 AC,求缆绳 AC 的长(答案可代根号). 问题:根据题意,哪位同学能把图形补充完整，并找出300、45 0的俯角.KAEDC BKAEDCF G分析 此题的数学模型为含特殊角的一般三角形问题。因此，也需要做垂线，转化成直角三角形的问题求解。结论：可以向内构造直角三角形，也可以向外构造直角三角形。三、小结1通过
11、本节课的学习，你能总结出解非直角三角形的一般步骤吗？ （1）作垂线，将非直角三角形的问题转化成直角三角形问题。（2）转化后的两个直角三角形均可解，选择最简便的方法求解；若一个可解，一个不可解，借助可解三角形中引导学生分析题意，将实际问题转化成含有特殊角的一般三角形问题引导学生总结画出 300、45 0的俯角可以独立思考，也可相互讨论思考并进行总结培养学生能将实际问题抽象出几何图形的能力察漏补缺7的相关元素进行求解；若两个均不可解，需引入适当的未知数，列方程求解。2注意作垂线时，要保留特殊角，不能将特殊角分开。3数学思想方法主要学习了转化思想和方程思想。四、作业已知：如图,ABC 中，AB=2，BC=3,且方程x2-4cosBx+4cosB-1=0 有两个相等的实数根,求ABC 的面积.D CBA
