1、第五章 排队系统分析 （Queueing Systems Analysis）,第一节 排队的基本概念 第二节 到达与服务的规律 第三节 M/M/1排队模型,第一节 排队的基本概念,一. 排队系统的组成,1. 输入过程,（1）顾客源：分为 无限 (如电话呼唤) 有限 m （如车间里待修理的机器）,（2）到达规律：指到达间隔时间T 的分布分为 定长 D 负指数 M k阶爱尔朗 Ek,2. 排队规则,（1）损失制指顾客到达时若所有服务设施均被占用，则顾客自动离去。,（2）等待制指顾客到达时若所有服务设施均被占用，则留下来等待，直至被服务完离去。等待的服务规则又可分为 先到先服务（FCFS） 后到先服
2、务（LCFS）,（3）混合制分为 系统容量有限制 等待时间有限制,3.服务机构,（2）服务规律：指服务时间 v 的分布分为 定长 D 负指数 M k阶爱尔朗 Ek 一般分布 G,二. 排队模型的表示,用记号（X/Y/Z/A/B/C）表示，其中X：顾客到达时间间隔的分布Y：服务时间的分布Z：服务台个数A：系统容量B：顾客源数量C：服务规则,例1 （M / M / 1 / FCFS）表示：到达间隔为负指数分布，服务时间也为负指数分布，1个服务台，顾客源无限，系统容量也无限，先到先服务。,若只讨论先到先服务的情况，可略去第6项。,三.排队问题的求解,主要是计算描述系统运行状态的指标： 1. 队长和排
3、队长队长：系统中的顾客数；其概率分布称状态概率，记为Pn，表示系统中有n个顾客的概率；队长的平均值记为Ls。,排队长：系统中正在排队等待的顾客数，记其均值为Lq。,2 . 逗留时间和等待时间 逗留时间：一个顾客在系统中的停留时间，记为W，其均值记为Ws。,等待时间：一个顾客在系统中排队等待的时间，记其均值为Wq 。,第二节 到达与服务的规律,一.到达的规律 描述顾客到达规律可从两方面,现实中有许多服务系统，其顾客的到达具有下述特征：（1）无后效性：任一时段的到达数不受前一时段的影响；（2）平稳性：增量与时间起点无关；（3）稀有性：瞬时内只可能有1个顾客到达。,称具有上述特征的输入为泊松流，其在
4、 t 时段内到达n个顾客的概率为,即参数为 的泊松分布。,由概率论知识可知，泊松分布的参数t 即其均值。因此， 的含义是单位时间到达系统的平均顾客数，即到达率。,问题：当顾客按泊松流到达时，其到达的间隔时间T 是服从什么分布呢？,讨论： 的含义？,进一步：负指数分布的密度函数为:参数 即其均值的倒数。因此， 的含义是平均间隔时间， 这与 为单位时间到达系统的平均顾客数的含义一致。,二. 服务的规律,主要讨论服务时间 v 服从负指数分布的情形，参数为 ，即,参数 的含义服务率，即单位时间平均服务完 人。,由于v 的均值为 ，即平均对每位顾客的服务时间 为 ，可得：,第三节 M/M/1 排队模型,
5、一、标准的M/M/1模型（M/M/1/ ）,1.问题的一般提法 设：泊松输入/负指服务/单服务台/系统无限制/顾客源无限制 求：（1）系统状态概率Pn；（2）系统运行指标Ls，Lq，Ws，Wq。,2. 系统状态概率 （1）利用状态转移图列出平衡方程状态转移图是处理稳态M/M/C系统的一种工具，设到达 与服务率分别为 ，则,由此列出平衡方程：,由平衡方程：,可解得状态概率：,记 ，称为服务强度，规定 （为什么？），则,（2）由平衡方程解得状态概率,3. 系统运行指标,（1）Ls与Lq,因为是均值。,（2）Ws与Wq,（3）上述4个指标之间的关系里特公式,例2 某修理店只有一个修理工人，来修理的顾
6、客到达数服从泊松分布，平均每小时4人；修理时间服从负指数分布，平均需6分钟。求：（1）修理店空闲的概率；（2）店内有3个顾客的概率；（3）店内至少有1个顾客的概率；（4）店内顾客的平均数；（5）顾客在店内的平均逗留时间；（6）等待服务的顾客平均数；（7）平均等待修理时间；（8）必须在店 内消耗15分钟以上的概率。,解：,二.系统容量有限的M/M/1模型（M/M/1/ ）,1.与（M/M/1/ ）的区别,2. 状态概率,由此列出平衡方程：,3. 系统运行指标,例3 某修理站只有1个修理工，且站内最多只能停放3台待 修理的机器。设待修理的机器按泊松流到达，平均每小时到 达1台；修理时间服从负指数分
7、布，平均每1.25小时可修理1 台。试求：（1）站内空闲率；（2）顾客损失率；（3）有 效到达率；（4）站内平均队长；（5）机器为修理而需等待 的平均时间。,例4 为开办一个小型汽车冲洗站，必须决定提供等待汽车使用的场地大小。设要冲洗的汽车到达服从泊松分布，平均每4分钟1辆，冲洗的时间服从负指数分布，平均每3分钟洗1辆。试计算当所提供的场地仅能容纳（a）1辆；（b）3辆；（c）5辆（包括正在被冲洗的1辆）时，由于等待场地不足而转向其它冲洗站的汽车的比例。,三.顾客源有限的M/M/1模型（M/M/1/ ）,1.与（M/M/1/ ）的区别,由此列出平衡方程：,n,n-1,. .,n+1,m-1,m
8、,2,1,0,1. 状态概率,2. 系统运行指标,例5 某车间有5台机器，每台机器的连续运转时间服从负指数分布，平均连续运转时间为15分钟。有1个修理工，每次修理时间服从负指数分布，平均每次需12分钟。求（1）修理工空闲的概率；（2）5台机器都出故障的概率；（3）出故障机器的平均台数；（4）等待修理机器的平均台数；（5）每台机器的平均停工时间；（6）每台机器的平均等待修理时间。,求（1）修理工空闲的概率；（2）5台机器都出故障的概率；（3）出故障机器的平均台数；（4）等待修理机器的平均台数；（5）每台机器的平均停工时间；（6）每台机器的平均等待修理时间。,由此可对该排队系统做何分析？,机器停工时间过长，修理工几乎没有空闲时间应当提高服务率或增加修理工，或购置高效机器减少需修理率。,
