1、第 8 章 阻抗和导纳,第三篇 动态电路的相量分析法,第 9 章 正弦稳态功率和能量,第10章 频率响应 多频正弦稳态电路,第11章 耦合电感和理想变压器,第12章 拉普拉斯变换在电路分析中的应用,第八章 阻抗和导纳,8-1 变换方法的概念,8-4 相量的线性性质和基尔霍夫定律的相量形式,8-6 VCR相量形式的统一 阻抗和导纳的引入,8-7 正弦电路与电阻电路的类比 相量模型的引入,8-5 三种基本电路元件VCR的相量形式,8-8 正弦稳态混联电路的分析,8-10 相量模型的等效,8-11 有效值 有效值相量,8-12 两类特殊问题 相量图法,8-2 复数,8-3 振幅相量和有效值相量,8-
2、9 相量模型的网孔分析和节点分析,正弦交流电路是指含有正弦电源 (激励) 而且 电路各部分所产生的电压和电流 (稳态响应) 均按 正弦规律变化的电路。,正弦交流电路 (稳态电路) 的基本概念,在生产和生活中普遍应用正弦交流电，特别 是三相电路应用更为广泛。,本章和下一章将介绍正弦稳态电路的一些基 本概念、基本理论和基本分析方法。,交流电路具有用直流电路的概念无法理解和 分析的物理现象，因此在学习时注意建立交流的 概念，以免引起错误。,正弦电压与电流,直流电路在稳定状态下电流、电压的大 小和方向是不随时间变化的，如图所示。,t,I U,0,正弦电压和电流是按正弦规律周期性 变化的，其波形如图所示
3、。,正半周,负半周,电路图上所标的方向是指它们的参考 方向，即代表正半周的方向。,负半周时，由于电压（或电流）为负 值，所以其实际方向与参考方向相反。,+,一、周期电压和电流 按周期变化，即经过相等的时间重复出现的电压和电流。,u(t)=Umcos t,u(t)=Umsin( t + /2),Um 振幅 角频率,i (t) = Imcos ( t +),二、正弦电压和电流 随时间按正弦（余弦）规律变化的电压和电流。,正弦量的三要素,1. 频率与周期,T,周期 T ：正弦量变化一周所需要的时间；,角频率 :,例我国和大多数国家的电力标准频率是50Hz，试求其周期和角频率。,解, = 2f = 2
4、 3.14 50 = 314 rad /s,Im,t,i,0,频率 f ：正弦量每秒内变化的次数；,Im,交流电每交变一个周期便变化了2 弧度，即 T = 2,2. 幅值与有效值,t,Im,i,0,Im,同理可得,当电流为正弦量时,瞬时值 是交流电任一时刻的值。 用小写字母表示如: i, u, e分别表示电流、电压电动势的瞬时值。,最大值是交流电的幅值。 用大写字母加下标表示, 如: Im, Um, Em,有效值 交流电流通过一个电阻时在一个 周期内消耗的电能, 与某直流电流在同一 电阻、相同时间内消耗的电能相等, 这一直流电流的数值定义为交流电的有效值，用大写字母表示, 如: I、U、E。,
5、i (t) = Imcos( t +i),Ri2dt = RI2T,(t+)称为正弦量的相位角或相位。它反映出正弦量 变化的进程。,3. 初相位,对于正弦量而言，所取计时起点不同，其初始值 (t=0时的 值) 就不同，到达某一特定值（如0值）所需的时间也就不同。,例如:,t = 0 时的相位角 称为初相位角或初相位。,若所取计时起点不同，则正弦量初相位不同。,i (t) = Imcos t,i (t) = Imcos (t +),t = 0时， i (0) = Im,i (0) = Imcos,4. 相位差,i2 超前i1,i2 滞后i1,t,i1,0, t,i1,0, t,i1,0, t,i
6、1,0, t,i1,0,i1与i2反相,i1与i2同相,i1与i2正交,在一个交流电路中，通常各支路电流(电压)的 频率相同，而相位常不相同。,8.1 变换方法的概念,正弦电量（时间函数）,正弦量运算,所求正弦量,变换,相量 （复数）,相量结果,反变换,相量运算 (复数运算),正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素, 它们除了用三角 函数式和正弦波形表示外，还可用相量来表示同频率的正弦量。,正弦量的相量表示法就是用复数来表示正弦量。,相量法是一种用来表示和计算同频率正弦量的数学工具， 应用相量法可以使正弦量的计算变得很简单。,例如：已知两个支路电流i1= I1mcos(t +i1)i2= I2m
7、cos(t +i2) 若求： i1+ i2,有向线段可 用复数表示,8.2 复数,设A1 = a1+ jb1 = r1 1,复数运算,A2 = a2+ jb2 = r2 2,则 A1 A2 = (a1a2) + j (b1b2),A1 A2 = r1 r2 (1+2),代数式,极坐标式,或指数式,cos +j sin = e j,由欧拉公式：,A= a + jb= r (cos +jsin)= r e j= r , 代数式, 三角式, 指数式, 极坐标式,a = r cos,b = r sin,辐角,模,a,A,0,b,r,8-3 振幅相量和有效值相量,由欧拉恒等式， ej = cos + j
8、sin,令 = t+,Imej(t+) = Imcos( t+) + jImsin( t+),设 i (t) = Imcos ( t +),Re Imej(t+) = Imcos( t+) = i(t),Im Imej(t+) = Imsin( t+),Re (ej ) = cos,Im (ej ) = sin,Imej(t+) = Imcos (t +) + jImsin (t +),设 i(t) = Imcos(t +),i(t) = Imcos(t +) = ReImej(t+)=ReImej ejt,由欧拉恒等式 ej = cos + jsin,式中,称为正弦电流 i(t)的振幅相量或
9、幅值相量,称为正弦电流 i(t) 的有效值相量,8-3 振幅相量和有效值相量,+1,+j,0,t1+ ,Im,t,i,0,t1,A,t2,A,i = Imsin(t+),i,t,t1,有向线段长度是Im，t = 0时，与横轴的夹角是，以角速度逆时针方向旋转，它在实轴上的投影，即为正弦电流的瞬时值i= Imcos(t+),t = t1时， i(t1) = Imcos(t1+),i = Imcos(t+),0,t2,由以上分析可知，一个复数由模和辐角两个特征量确定。 而正弦量具有幅值、初相位角和频率三个要素。但在分析线 性电路时，电路中各部分电压和电流都是与电源同频率的正 弦量，因此，频率是已知的
10、，可不必考虑。故一个正弦量可 以由幅值和初相位两个特征量来确定。,比较复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。复数的模即 为正弦量的幅值(或有效值)，复数的辐角即为正弦量的初相位。,为与一般复数相区别，把表示正弦量的复数称为 相量， 用在大写字母上打一 “ ” 的符号表示。,8-3 振幅相量和有效值相量,= Ia + j Ib = Icos +jIsin = Iej = I,= Iam + j Ibm = Imcos + jImsin = Imej = Im,相量是表示正弦交流电的复数，正弦交流 电是时间的函数，所以二者之间并不相等。,正弦量用旋转有向线段表示用复函数表示。 同频率正弦量可以用复数
11、来表示，称之为相量。 用大写字母上打“”表示。,i = Imcos( t +),最大值 相量,有效值 相量,0,相 量 图,例：已知某正弦电压 Um = 311V，f = 50Hz，u = 30, 试写出此电压的瞬时值表达式、最大值相量和有效值 相量，画出相量图，求出 t = 0.01s时电压的瞬时值。,解：,瞬时值 u = 311cos (100t + 30) V,u (0.01) = 311cos (100 0.01 + 30 ),= 269.3V,有效值相量,最大值相量,有效值,电压的瞬时值,相量是表示正弦交流电的复数，正弦交流电是 时间的函数，二者之间并不相等。,按照正弦量的大小和相位
12、关系画出的若干个相量的图形，称为相量图。,结 论,只有正弦量才能用相量表示；,只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上；,相 量 图,i1,i2,例 若 i1= I1mcos(t +i1)i2= I2mcos(t +i2)， 已知: i1= 30，i2= 65，I1m= 2I2m试: 画出相量图。,i3(t)= 7cos(314t + 60) A,写出相量，绘相量图,= 7cos(314t 120) A,例:,i3(t) = 7cos(314t+ 60),解：,8-4 相量的线性性质和基尔霍夫定律的相量形式,1. 相量的线性性质,表示若干个同频率正弦量(可带有实系数)线性组合 的相量等于表示各个
13、正弦量的相量的同一线性组合。,如设两个正弦量分别为：,i1(t) = Im1cos(t+1),设 k1和k2为两个实数，则正弦量 i(t) = k1 i1(t) + k2 i2(t) 可用相量表示。,i2(t) = Im2cos(t+2),例 若已知 i1=I1mcos(t +1)=100cos(t +45) A，i2=I2mcos(t +2) = 60cos(t 30) A，试求 i = i1+ i2。,解,于是得 i2=129cos( t + 18.33)A,正弦电量的运算可按下列步骤进行,例 若已知 i1= I1mcos( t + i1)、 i2= I2 mcos( t + i2)，用相
14、量图求解 i1 + i2。,i = Imcos( t +i),解：（1）用相量图法求解,i1,i2,i,（2）用复数式求解,2. 相量的微分性质,这一性质包含两个内容：,8-4 相量的线性性质和基尔霍夫定律的相量形式,i1 = I1mcos ( t +1),i2 = I2mcos ( t +2),i3 = I3mcos ( t +3),由KCL，对结点Ai1 + i2 i3 = 0,结点A的电流 相量表达式为,基尔霍夫定律 相量形式 KCL,注意,KVL, Im 0 ，即,I1m + I2m I3m 0, i = 0, u = 0,8-4 相量的线性性质和基尔霍夫定律的相量形式, I 0 ，
15、即,电路分析是确定电路中电压与电流关系及能量的转换问题。,8.6.1 电阻元件的交流电路,本节从电阻、电容、电感两端电压与电流一般关系式入手， 介绍在正弦交流电路中这些理想元件的电压与电流之间的关系， 为分析交流电路奠定基础。第九章再讨论功率和能量转换问题。,电压与电流的关系,在电阻元件的交流电路中，电压、电流参考方向如图所示。,根据欧姆定律,设,则,式中,或,可见，R 等于电压与电流最大值或有效值之比。,8-5 三种基本电路元件VCR的相量形式,i (t) = Imcos (t +),u(t) = RImcos (t +) = Umcos (t +),电压与电流同频率、同相位；,电压与电流的
16、关系,电压与电流大小关系,电压与电流相量表达式,相量图,8.6.1 电阻元件的交流电路,i (t) = Imcos (t+),u(t) = RImcos (t+) = Umcos (t+),设,XL,感抗,电压与电流的关系,由,，有,感抗与频率f 和L成正比。因此， 电感线圈对高频电流的阻碍作用很大，而对直流可视为短路。,8.6.2 电感元件的交流电路,设在电感元件的交流电路中，电压、电流取关联参考方向。,XL与 f 的关系,i = Imcost,u = LImsint = Umcos(t + 90),单位：,（1）u 和 i 的频率相同；,（2）u 在相位上超前于 i 90 ；,（3）u 和
17、 i 的最大值和有效值之间的关系为：Um = XLIm U =XLI,用相量法可以把电感的电压和电流的以上三方面关系的(2)和(3)统一用相量表示：,即: jI = I e j90 = Ie je j90 = Ie j(+90),由上面的分析可知电感的电压和电流的关系为,电压与电流的关系,电压超前电流90；,相量图,电压与电流大小关系,8.6.2 电感元件的交流电路,i = Imcost,u = Umcos(t + 90),波形图, t,0,Um = XLIm,解：,XL2 = 2 f2L = 3140 ,= 0.318 60A,=,= 0.00318 60A,XL1= 2 f1L= 31.4
18、 ,30,60,= 3.18 60 mA,容抗,设,电压与电流的关系,得,由,8.6.3 电容元件的交流电路,XC与 f 的关系,设在电容元件的交流电路中，电压、电流取关联参考方向。,式中,容抗与频率 f，电容C 成反比。 因此，电容元件对高频电流所呈现 的容抗很小，而对直流所呈现的容 抗趋于无穷大，故可视为开路。,u = Umcost,i = CUmsint = Imcos(t + 90),单位：,（1）u 和 i 的频率相同；,（2）i 在相位上超前于 u 90；,（3）u 和 i 的最大值或有效值之间的关系为：Um = XCIm U = XC I,用相量法可以把电容的电压 和电流的上面三
19、方面的关系的 (2) 和 (3) 统一用相量式表示：,由上面的分析可知电容的电压和电流的关系为,波形图,t,0,电流超前电压90,相量图,电压与电流大小关系,电压与电流的关系,8.6.3 电容元件的交流电路,u = Umcost,i = CUmcos(t + 90),Um = XCIm,例：下图中电容C = 23.5F，接在电源电压U= 220V、频率为50Hz、初相为零的交流电源上。 求：电流 i，该电容的额定电压最少应为多少伏？,额定电压 311V。,解: 容抗,i = Imcos(t + 90),= 2.3 cos(314t + 90),1. 纯电阻元件交流电路,u = iR,电压与电流
20、同频率、同相位,电压与电流大小关系 U=R I 或 Um= RIm,电压超前电流90,电压与电流大小关系 U = I XL，XL= L,2. 纯电感元件交流电路,电流超前电压90,电压与电流大小关系 U = IXC，XC = 1/ C,3. 纯电容元件交流电路,小结：单一参数的交流电路,(一) 纯电阻元件交流电路,电压与电流相量表达式,电压与电流相量表达式,(二) 纯电感元件交流电路,(三) 纯电容元件交流电路,电压与电流相量表达式,欧姆定律的相量形式,称为复数阻抗，简称阻抗，单位：,称为复数导纳，简称导纳，单位：S,8-6 VCR相量形式的统一 阻抗和导纳的引入,u = iR,相量模型：电压
21、、电流用相量表示，电路参数用复数阻抗表示。,8-7 正弦电路与电阻电路的类比 相量模型的引入,和计算复杂直流电路一样，正弦稳态混联电路 也可应用支路电流法、网孔分析法、节点分析法、 叠加原理和戴维南定理等方法来分析与计算。所不 同的是电压、电流应以相量表示，电阻、电感和电 容及其组成的电路应以复数阻抗或复数导纳来表示。 即正弦稳态混联电路用其相量模型表示。,8-8 正弦稳态混联电路的分析,基尔霍夫定律的相量形式,欧姆定律的相量形式,根据KVL可列出,1. 电阻、电感与电容元件串联的交流电路,如用相量表示电压与电流关系， 可把电路模型改画为相量模型。,电路的阻抗，用 Z 表示。,Z,KVL相量表
22、示式为,电压电流关系,Z=,R+j(XL-XC),XL-XC = X,阻抗模,阻抗角,复数阻抗,电压电流关系,jXL,R, jXC,+,+,+,+,电抗,阻抗三角形,阻抗模,阻抗角,Z =,=,=, = u i,当XLXC 时, X 0， 0，电路中电压超前电流,电路呈电感性；,当XLXC 时, X 0， 0，则电压滞后电流，电路呈电容性；,当 XL = XC , X = 0， = 0，则电流与电压同相，电路呈电阻性。,电压电流关系, 的大小和正负由 电路参数决定。, 为正时电路中电压电流相量图,阻抗 三角形,电压有效值之间关系,电压 三角形,两个三角形相似,解： 1. 感抗,XL= L=31
23、4127 10-3 = 40 ,复阻抗模,复阻抗模,= 50 ,解：1.,XL= 40 ,XC = 80 ,2. 电压相量,=22045 V,=,=,=,=,4.498 A,I = 4.4 A,i = 4.4 cos(314 t + 98 )A,电流有效值,瞬时值,求：1. 感抗、容抗及复阻抗的模；2. 电流的有效值和 瞬时值表达式；3 .各元件两端电压瞬时值表达式。,解：1.,XL= 40 ,XC = 80 ,2.,= 22045 V,电压相量,=,=,=,=,4.498 A,求：1. 感抗、容抗及复阻抗的模；2. 电流的有效值和 瞬时值表达式；3 .各元件两端电压瞬时值表达式。, = 45
24、 98 = 53, 容性电路,XC = 8 ,例2: 电路如图, 已知 R= 3 , 电源电压u = 17 cos314 t V,j XL = j 4 。求：1. 容抗为何值 (设容抗不等于零) ？ 开关S闭合前后, 电流的有效值不变, 其值等于多少？ 2. 当S打开时, 容抗为何值使电流 I最大, 其值为多少？,I = 2.4A, XL XC = XL,Y = G + j (BC BL),R、L、C并联 电路的导纳：,U,Y=,（1）导纳,2. R、L、C 并联电路,C,R,L,i,u,+,iR,iL,iC,8-8 正弦稳态混联电路的分析,设 u = Umcos t,相量图,jL,IL,IC
25、,R,IR,-,（2）相量图,2. R、L、C 并联电路,+,（2） 相量图,电流三角形,例：已知IL= 5A, IC= 2A, IR= 4A, 求：电流的有效值 I。,2. R、L、C 并联电路,3. 混联交流电路,设 u = Umcos t,相 量 图,u,iRL,uR,uL,C,L,+,+,+,R,jL,R,+,+,+,8-8 正弦稳态混联电路的分析,j4,Z1,3,2,1090 A,1,-j7,Z2,I1,解：,由KCL,和计算复杂直流电路一样，复杂交流电路也可以用 网孔电流法、节点分析法、叠加原理和戴维南定理等方 法来分析和计算。所不同的是电量以相量 U、I 表示，元件 R、L、C
26、应以阻抗或导纳 表示，即相量模型。,电阻(直流)电路和正弦稳态电路的对应关系为,电阻电路： U I US IS R,8-9 相量模型的网孔分析和节点分析,例1：试列出图示电路的网孔方程组。,网孔方程组,辅助方程,解：,3,j2,j,j3,2,1,2,5I,10/30,例2： 试列出图示电路的节点方程组。,节点方程组, 辅助方程,解：,1,2,3,4,10 /30,3,j2,j,j3,2,一、 无源单口网络的等效,2. 正弦稳态电路,Zab(j) = R()+ jX(),Yab(j) = G() + jB(),8-10 相量模型的等效,1. 电阻电路,Z1,Z2,Z = Z1+ Z2,若Z1=
27、R1+ jX1,Z2 = R2+ jX2,则Z = R1 + jX1 + R2+jX2= (R1+ R2) + j(X1 + X2),一般,1. 阻抗的串联,U U1 + U2,+,阻抗的串联与并联,2. 阻抗的并联,等效电路,一般,I I1 + I2,Z= R + jX,两种等效电路的关系,Y = G + jB,Z = R + jX,Y = G + jB,阻抗与导纳互为倒数。,正弦稳态电路,Zab(j) = R() + jX(),Yab(j) = G() + jB(),二、含源单口网络的等效,1. 恒定激励含源电阻网络,2. 正弦稳态含源单口网络,戴维南 等效电路,诺顿 等效电路,诺顿 等效
28、电路,戴维南 等效电路,UOC,R0,ISC,R0,例1：图示电路中 i(t) = cos(3t + 45) A，求：u(t)。,解：(1)作出相量模型,a,b,i(t),u(t),2,3,1,H,6,5,H,3,1,F,解：,(1) 作相量模型：,(2) 求U,例1：图示电路中 i(t) = cos(3t + 45) A，求：u(t)。,例2：求电路的 Z0，(设 = 2 rad/s),Z0 = 6.210.2,R = 6.1,C = 0. 455F,= 6.1 j1.1 ,解:,Z1 = 5 + j6 ,Z2 = j1 ,解：Z1 = R(R jXC ),= 6.325-18.4 ,= 6
29、 j2,= 0.47245 V,= 0.33390 V,例1：求电流表A0 和电压表V0 的读数。,8-12 两类特殊问题 相量图法,解：,例2：求电流表A0 和电压表V0 的读数。,解：,例3: 图示电路中, 电压表读数为220V, 电流表读数为I1 = 10A, I2 = 14.14A, R1 = 12 , R2 = XL, 电源电压u 与电流 i 同相。求：总电流 I、R2、XL、XC。,U1 =1210 =120V,U2 = 220 120 = 100V,R2 = XL= 5 ,10,14.14,10,120,100,I = 10A,解：,1. 相量法的解题步骤,2. 相量图法的解题步骤,（适用于特殊角）,小结：正弦稳态电路的分析方法,第八章 习题,要求：做每一题时：1. 画电路图；2. 写清分析过程。,8-3，8-6，8-9，8-11(3) (6)， 8-13，8-15，8-18 (只列方程)， 8-25，8-28，8-37，*8-26,P55,
