1、1二次求导法解高考导数题胡贵平（甘肃省白银市第一中学 ，甘肃 白银 730900）导数是研究函数性质的一种重要工具，用导函数判断原函数的单调性，如果导函数大于零，则原函数为增，导函数小于零，则原函数为减.而当导数与 0 的大小确定不了时，对导函数或导函数中的一部分再构造，继续求导，也就是二次求导，不失为一种妙法，下面我们结合高考题来看看二次求导数题中的应用. （2017 年高考课标卷（文）（21） ）设函数 .2()1)exfx（I）讨论 的单调性；()fx(II)当 时， ，求 的取值范围.01ax解：（I）略.(II)当 时， 等价于 .x()f2(1)xaxe若 ，显然成立， .=0aR
2、若 时， ，设 ，x2(1)xe2()xg，2232()(1(1)()xxx xeeeg令 ， ，所以 在321)xhe32()(4)0xh()h内是减函数，易知 ，所以当 时， ，即 ，所(0,)x(0=0,(x0gx以 在 上单调递减，所以g(,)2202 200 0(1)(1(1)limli (1)xx xx eee e ），所以 ，2()=xa综上所述， a的取值范围是 .1+， （2016 年高考课标卷（文）（20） ） 已知函数 ()1ln(1)fxxa.（I）当 4时，求曲线 ()yfx在 ,处的切线方程；2(II)若当 1,x时， ()0fx ，求 a的取值范围.解：（I）略.
3、(II)当 (1,)x时， ()0fx等价于 ，设 ，(1)lnx(1)lnxg，22 2ln1lnl()(1)g x令2()lhxx， ，所以 在lln)0hx()hx1,内是增函数，易知 ，所以当 ,时， ，即 ，所以(1)=0(hg在 ,x上单调递增，所以()g，所以11 11ln()ln()l ()limi ()lnln2xx xxx 2a，即 的取值范围是 .,23 （2010 年高考安徽卷（理）（17） ）设 为实数，函数 .a2,xfeaR（）求 的单调区间与极值；fx（）求证：当 且 时， .aln21x0xe21a解：（I）略.（）设 ， 则 ，2xgea2xge继续对 求导
4、得 ，当 变化时 ， 变化如下表 xg0,ln2lln2,gx减 极小值 增由上表可知 ，ln2xg而 ，由 知 ln2l l2ln21geaaaln21，所以 ，即 在区间 上为增函数.00xgx0,3于是有 ，而 ，(0)gx0210gea故 ，即当 且 时， .aln1xx24（2008 年高考湖南卷（理）（21） ）已知函数 .22()ln1)xf(I) 求函数 的单调区间；()fx（）若不等式 对任意的 都成立（其中 是自然对数的底数）.求 的1naeN*nea最大值.解：（I）函数 的定义域是 ，()fx(,).2 22ln11ln()()xxf设 ，则 .2()lgx()l(1)gx令 ，则 .2n1hx2()1hx当 时， ，从而 在 上为增函数，0x()0(,0)当 时， ，从而 在 上为减函数.(),所以 h(x)在 处取得极大值，而 ，所以 ，函数 在h()0)gx()gx上为减函数.1,于是当 时， ，当 时， .0x()0gx0x()x所以当 时， 在 上为增函数.,f()f1,)当 时， 在 上为减函数.x(),fx()故函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .,0(0,)（）略.
