1、1几种典“形”的边界磁场问题山东省费县第一中学 （273400） 孙广阔带电粒子在有界磁场中的运动问题，是学生学习的难点，也是历年来高考考查的重点，综合性较强，解决这类问题既要用到物理中的洛仑兹力、圆周运动的知识，又要用数学中的几何知识，体现着数理有机结合的思想。下面以有界磁场的形状为依据，对此类问题进行归类解析，以探究其求解规律。一、带电粒子在单边界磁场中的运动例题 1：如图 1 所示，直线 MN 上方有磁感应强度为 B的匀强磁场，磁场方向垂直直面向外。正、负电子同时从同一点 O 以与 MN 成 30角的同样速度 v 沿纸面射入磁场（电子质量为 m，电荷为 e） ，它们从磁场中射出时相距多远
2、？射出的时间差是多少？解析：正、负电子垂直进入磁场后做匀速圆周运动，向心力由洛仑兹力提供。由 和 可知，它qBvRmT2们运动的半径和周期是相同的，只是偏转方向相反。先确定圆心，画出半径、轨迹如图。利用几何关系和对称性可得：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形，所以两个射出点相距 2R，经历的时间相差 2T/3。即射出点相距 ，时间差为 。Bemvs2Bemt4二、带电粒子在双边界磁场中的运动例题 2：如图 2 所示，一束电子(电量为 e)以速度 v 垂直射入磁感强度为 B，宽度为 d的匀强磁场中，穿过磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是 30，则：（1）电子的质量是 ，穿过磁场的时间是 。
3、（2）要使电子能从磁场的右边界射出，电子的速度 v 必须满足什么条件？解析：（1）电子在磁场中运动，只受洛仑兹力f 作用，故其轨迹是圆弧的一部分，又因为 fv，故圆心在电子穿入和穿出磁场时受到洛仑兹力指向的交点上，如图 2 中的 O 点，OB 为半径。由几何知识知，粒子运动的轨道半径 r=d/sin30=2d 。 又由 r=mv/Be 可 得 m=2dBe/v 圆弧 AB 所对的圆心角是 30，所以粒子穿过磁场的时间 t=T/12，即 t=d/3v。（2）电子进入磁场的速度越小，其运动的轨道半径越小，粒子可能从磁场的左边界射出。当电子刚好M NBOv图 1BABdvV300O图 2B/2从右边
4、界射出时，速度与右边界相切，轨迹如图中圆弧 AB/所示。此时电子的轨道半径r=d=mv/Be，即 v=Bed/m。所以，电子的速度 vBed/m 时，电子能从磁场的右边界射出。三、带电粒子在矩形边界磁场中的运动例题 3：长为 L 的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图 3 所示，磁感强度为 B，板间距离也为 L，极板不带电，现有质量为 m，电量为 q 的带正电粒子(不计重力) ，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度 v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是：A使粒子的速度 v5BqL/4m；C使粒子的速度 vBqL/m；D使粒子速度 BqL/4m5BqL/4m 时，粒子能从右
5、边穿出。当粒子擦着上极板从左边缘穿出时，圆心在 O点，有：r2L/4 ，又由 r2mv 2/Bq=L/4 得 v2BqL/4m 所以，当 v2BqL/4m 时，粒子能从左边穿出。综上可得正确答案是 A、B。四、带电粒子在圆形边界磁场中的运动例题 4：在以坐标原点 O 为圆心、半径为 r 的圆形区域内，存在磁感应强度大小为 B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图 4 所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x 轴的交点 A 处以速度 v 沿 x 方向射入磁场，它恰好从磁场边界与 y 轴的交点 C 处沿 y 方向飞出。（1）请判断该带电粒子带何种电荷，并求出其比荷 ；mq（2）若磁场的方向和所在空
6、间范围不变，而磁感应强度的大小变为 ，该粒子仍从 A 处以相同的速度射入磁场，B但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了 角，求磁场感应强度 多大？此次60B粒子在磁场中运动所用时间 t 是多少？解析：当粒子对着圆形有界磁场的圆心射入磁场时，根据几何关系可知，粒子出射方xyOBAC图 4llr1Ov+qv图 3O/3向的反向延长线也必过有界磁场的圆心。粒子的运动轨迹如图 5 所示。（1）由左手定则判断，该粒子一定带负电。根据带电粒子的运动轨迹可知，粒子的运动半径也为 r。根据牛顿运动定律 得：vmqB2qBv所以其比荷 r（2）要使粒子飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了角，由几何关系可
7、得粒子的运动半径为 60 rrR360tan同理，根据 得Bqmv3粒子在该磁场中运动的时间 vrBqmTt3261五、带电粒子在有界组合磁场中的运动例题 5：如图 6 所示，在一个圆形区域内，两个方向相反都垂直于纸面内的匀强磁场分布在以直径 A2A4 为边界的两个半圆形区域、中，A 2A4 与 A1A3 的夹角为60一质量为 m，带电量为+q 的粒子以某一速度从区的边缘点 A1 成 30角的地方射入磁场，随后该粒子以垂直于 A2A4 方向经过圆心 O 进入区，最后再从 A4 处射出磁场 已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为t，求区和区中磁感应强度的大小(忽略粒子重力) 解析：设粒子的入射速
8、度为 v ,已知粒子带正电，故它在磁场中先顺时针作圆周运动，再逆时针作圆周运动，最后从 A4 点射出。用 B1、B 2、R 1、R 2、T 1、T 2 分别表示在磁场区和区中的磁感应强度、轨道半径和周期，则：12vmq2RB设圆形区域的半径为 r，如图 7 所示。已知带电粒子过圆心且垂直 A1A2 进入区磁场。连接 A1A2、A 1OA2 为等边三角形，A 2 为带电粒子在 区磁场中运动的圆心，其轨道半径 R1=A1A2=OA2=r 图 6图 7图 54带电粒子在区磁场中运动的圆心为 A4 的中点，即 r21R联立可得： 12B又因 11qmvRT 22B圆心角A 1A2O=60，带电粒子在区
9、磁场中运动的时间为 16tT在区磁场中运动的时间为 21tT带电粒子从射入到射出磁场所用的总时间 t=t1+t2联立可得： ；qtm65B1qt35综上分析可知，带电粒子垂直进入匀强磁场后，仅在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动。当在有“形”边界磁场中运动时，轨迹为圆周的一部分。解决此类问题的三个关键环节是：（1）用好物理规律：即牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是圆周运动的周期公式、半径公式及特点。（2）画清运动轨迹：即确定轨迹圆的圆心、半径，注意可能的多种情况，找出需要的临界情景、临界条件，蕴含的几何关系。（3）找出数理联系：即轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系。偏转角与圆心角、运动时间相联系，运动时间又与周期相联系。
