1、第 1 页（共 18 页）2016 年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题【2016 天津（理） 】已知集合 A=1，2，3，4，B=y|y=3x2，x A，则 AB=（ ）A1 B4 C1，3 D1 ，4【答案】D【解析】解：把 x=1，2，3，4 分别代入 y=3x2 得：y=1，4，7，10，即 B=1，4，7，10 ，A=1，2，3，4 ，AB=1，4，【2016 天津（理） 】设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=2x+5y 的最小值为（ ）A4 B6 C10 D17【答案】B【解析】解：作出不等式组 表示的可行域，如右图中三角形的区域，作出直线 l0：2x+5y=0 ，图
2、中的虚线，平移直线 l0，可得经过点（3 ，0）时，z=2x+5y 取得最小值 6故选：B【2016 天津（理） 】在ABC 中，若 AB= ，BC=3，C=120，则 AC=（ ）A1 B2 C3 D4【答案】A【解析】解：在ABC 中，若 AB= ，BC=3，C=120，AB2=BC2+AC22ACBCcosC，可得：13=9+AC 2+3AC，第 2 页（共 18 页）解得 AC=1 或 AC=4（舍去） 【2016 天津（理） 】阅读如图的程序图，运行相应的程序，则输出 S 的值为（ ）A2 B4 C6 D8【答案】B【解析】解：第一次判断后：不满足条件，S=24=8，n=2，i4，第
3、二次判断不满足条件 n3：第三次判断满足条件：S6，此时计算 S=86=2，n=3，第四次判断 n3 不满足条件，第五次判断 S6 不满足条件，S=4n=4，第六次判断满足条件 n3，故输出 S=4，【2016 天津（理） 】设a n是首项为正数的等比数列，公比为 q，则“q0”是“ 对任意的正整数 n，a 2n1+a2n0”的（ ）A充要条件 B充分而不必要条件C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：a n是首项为正数的等比数列，公比为 q，若“q 0 ”是“对任意的正整数 n，a 2n1+a2n0”不一定成立，例如：当首项为 2，q= 时，各项为 2，1， ， ，此
4、时 2+（1）=10， +（ ）= 0；而“对任意的正整数 n，a 2n1+a2n0”，前提是“q0”，第 3 页（共 18 页）则“q 0 ”是“对任意的正整数 n，a 2n1+a2n0”的必要而不充分条件，【2016 天津（理） 】已知双曲线 =1（b0） ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A，B，C，D 四点，四边形 ABCD 的面积为2b，则双曲线的方程为（ ）A =1 B =1 C =1 D =1【答案】D【解析】解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为 x2+y2=4，双曲线的两条渐近线方程为 y= x，设 A（x， x） ，则四
5、边形 ABCD 的面积为 2b，2xbx=2b，x=1将 A（1， ）代入 x2+y2=4，可得 1+ =4，b 2=12，双曲线的方程为 =1，【2016 天津（理） 】已知ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D、E 分别是边 AB、BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE=2EF，则 的值为（ ）A B C D【答案】B【解析】解：由 DD、E 分别是边 AB、BC 的中点，DE=2EF，可得=（ + ）（ ）=（ + ）（ ）=（ + ）（ ）= 2 2= 11 = 第 4 页（共 18 页）【2016 天津（理） 】已知函数 f（x）= （a0，且 a1）在R 上单调递
6、减，且关于 x 的方程 |f（x）|=2 x 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是（ ）A （0， B ， C ， D ， ） 【答案】 C【解析】解：y=loga（x+1 ） +在0，+）递减，则 0a1，函数 f（x）在 R 上单调递减，则则：；解得， ；由图象可知，在0，+）上，|f（x）|=2 x 有且仅有一个解，故在（ ，0）上，|f（x）|=2 x 同样有且仅有一个解，当 3a2 即 a 时，联立|x 2+（4a 3）+3a|=2x，则=（4a2） 24（3a 2）=0，解得 a= 或 1（舍去） ，当 13a2 时，由图象可知，符合条件，综上：a 的取值范围为 ， ，第
7、 5 页（共 18 页）二、填空题【2016 天津（理） 】已知 a，bR，i 是虚数单位，若（1+i） （1bi ）=a，则 的值为 【答案】2【解析】解：（1+i ） （1bi）=1+b+（1b）i=a，a，bR ， ，解得： ， =2，【2016 天津（理） 】 （x 2 ） 8 的展开式中 x7 的系数为 （用数字作答）【答案】 -56【解析】解：T r+1= = x163r，令 163r=7，解得 r=3（ x2 ） 8 的展开式中 x7 的系数为 =56【2016 天津（理） 】已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m） ，则该四棱锥的体积为 m 3第
8、6 页（共 18 页）【答案】 2【解析】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，棱锥的底面是底为 2，高为 1 的平行四边形，故底面面积 S=21=2m2，棱锥的高 h=3m，故体积 V= =2m3，【2016 天津（理） 】如图，AB 是圆的直径，弦 CD 与 AB 相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段 CE 的长为 【答案】【解析】解：如图，过 D 作 DHAB 于 H，BE=2AE=2，BD=ED，BH=HE=1，则 AH=2，BH=1，DH2=AHBH=2，则 DH= ，在 RtDHE 中，则 ，由相交弦定理可得：CE DE=AEEB， 故答案为：
9、 第 7 页（共 18 页）【2016 天津（理） 】已知 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间（，0）上单调递增，若实数 a 满足 f（2 |a1|）f（ ） ，则 a 的取值范围是 【答案】 （ ， ）【解析】解：f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间（ ，0）上单调递增，f（ x）在区间（0，+ ）上单调递减，则 f（2 |a1|）f（ ） ，等价为 f（2 |a1|）f（ ） ，即 2 |a1| ，则|a 1| ，即 a ，【2016 天津（理） 】设抛物线 （t 为参数，p0）的焦点为 F，准线为 l，过抛物线上一点 A 作 l 的垂线，垂足为 B，设 C（ p，0） ，
10、AF 与 BC 相交于点 E若|CF|=2|AF|，且ACE 的面积为 3 ，则 p 的值为 【答案】 【解析】解：抛物线 （t 为参数，p0）的普通方程为：y 2=2px 焦点为F（ ，0） ，如图：过抛物线上一点 A 作 l 的垂线，垂足为 B，设 C（ p，0） ，AF 与 BC相交于点 E|CF|=2|AF|，|CF|=3p，|AB|=|AF|= p，A（p， ） ，ACE 的面积为 3 ， ，可得 =SACE即： =3 ，解得 p= 第 8 页（共 18 页）三、计算题【2016 天津（理） 】已知函数 f（x）=4tanxsin（ x）cos（x ） （1）求 f（x）的定义域与最
11、小正周期；（2）讨论 f（x）在区间 ， 上的单调性【解析】解：（1）f（x） =4tanxsin（ x）cos （x ） xk+ ，即函数的定义域为x|xk+ ，k Z，则 f（x）=4tanxcosx（ cosx+ sinx）=2sinx（ cosx+ sinx）=sinxcosx+ sin2x= sin2x+ （ 1cos2x）= sin2x cos2x=sin（2x ）则函数的周期 T= ；（2）由 2k 2x 2k+ ，k Z，得 k xk+ ，kZ，即函数的增区间为k ，k+ ，k Z，当 k=0 时，增区间为 ， ，k Z，x ， ，此时 x ， ，由 2k+ 2x 2k+ ，k
12、 Z，第 9 页（共 18 页）得 k+ xk+ ，kZ，即函数的减区间为k+ ，k + ，kZ，当 k=1 时，减区间为 ， ，kZ，x ， ，此时 x ， ，即在区间 ， 上，函数的减区间为 ， ，增区间为 ， 【2016 天津（理） 】某小组共 10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3 的人数分别为 3，3，4，现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会（1）设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4”，求事件 A 发生的概率；（2）设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 X 的分布列和数学期望【解析】解：（1
13、）从 10 人中选出 2 人的选法共有 =45 种，事件 A：参加次数的和为 4，情况有： 1 人参加 1 次，另 1 人参加 3 次， 2 人都参加2 次；共有 + =15 种，事件 A 发生概率： P= = （）X 的可能取值为 0，1 ，2P（X=0）= =P（X=1）= = ，P（X=2）= = ，X 的分布列为：X 0 1 2第 10 页（共 18 页）PEX=0 +1 +2 =1【2016 天津（理） 】如图，正方形 ABCD 的中心为 O，四边形 OBEF 为矩形，平面OBEF平面 ABCD，点 G 为 AB 的中点，AB=BE=2（1）求证：EG 平面 ADF；（2）求二面角
14、OEFC 的正弦值；（3）设 H 为线段 AF 上的点，且 AH= HF，求直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值【解析】 （1）证明：取 AD 的中点 I，连接 FI，矩形 OBEF，EFOB，EF=OB，G， I 是中点，GIBD，GI= BDO 是正方形 ABCD 的中心，OB= BDEFGI，EF=GI，四边形 EFIG 是平行四边形，EGFI，EG平面 ADF，FI平面 ADF，EG平面 ADF；（2）解：建立如图所示的坐标系 Oxyz，则 B（0， ，0） ，C（ ，0，0） ，E（0， ，2） ，F（0，0，2） ，设平面 CEF 的法向量为 =（ x，y，z） ，则 ，取
15、=（ ，0，1）OC平面 OEF，平面 OEF 的法向量为 =（1，0，0） ，第 11 页（共 18 页）|cos ， |=二面角 OEFC 的正弦值为 = ；（3）解：AH= HF， = =（ ，0， ） 设 H（a，b，c） ，则 =（a+ ，b，c）=（ ，0， ） a= ，b=0，c= ， =（ ， ， ） ，直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值=|cos ， |= = 【2016 天津（理） 】已知a n是各项均为正数的等差数列，公差为 d，对任意的 nN+，b n是 an 和 an+1 的等比中项（1）设 cn=b b ，nN +，求证：数列c n是等差数列；（2）设 a1
16、=d，T n= （1） kbk2，nN *，求证： 【解析】证明：（1）a n是各项均为正数的等差数列，公差为 d，对任意的 nN+，b n是 an 和 an+1 的等比中项cn=b b =an+1an+2anan+1=2dan+1，cn+1cn=2d（a n+2an+1）=2d 2 为定值；数列 cn是等差数列；（2）T n= （1） kbk2=c1+c3+c2n1=nc1+ 4d2=nc1+2n（n1）d 2，nN *，由已知 c1=b22b12=a2a3a1a2=2da2=2d（a 1+d）=4d 2，第 12 页（共 18 页）将 c1=4d2，代入得 Tn=n（n+1）d 2， =
17、= （1 + ）= （1 ） 即不等式 成立【2016 天津（理） 】设椭圆 + =1（a ）的右焦点为 F，右顶点为 A已知 += ，其中 O 为原点，e 为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B（B 不在 x 轴上） ，垂直于 l 的直线与 l 交于点 M，与 y 轴于点 H，若 BFHF，且MOA MAO，求直线 l 的斜率的取值范围【解析】解：（1）由 + = ，得 ，即 ，aa2（a 23）=3a（a 23） ，解得 a=2椭圆方程为 ；（2）由已知设直线 l 的方程为 y=k（x 2） ， （k0） ，设 B（x 1，y 1） ，M（x 0，
18、k（ x02） ） ，MOAMAO，x01，再设 H（0，y H） ，联立 ，得（3+4k 2）x 216k2x+16k212=0=（16k 2） 24（3+4k 2） （16k 212）=1440由根与系数的关系得 ，第 13 页（共 18 页） ， ，MH 所在直线方程为 ，令 x=0，得 ，BFHF， ，即 1x1+y1yH= ，整理得： ，即 8k23 或 【2016 天津（理） 】设函数 f（x）= （x 1） 3axb，xR ，其中 a，bR （1）求 f（x）的单调区间；（2）若 f（x）存在极值点 x0，且 f（x 1）=f（x 0） ，其中 x1x0，求证：x 1+2x0=3
19、；（3）设 a0，函数 g（x）=|f （x）|，求证：g（x）在区间 0，2上的最大值不小于 【解析】解：（1）函数 f（ x）= （x 1） 3axb 的导数为f（x）=3（x1） 2a，当 a0 时，f （x） 0，f（x）在 R 上递增；当 a0 时，当 x1+ 或 x1 时，f （x）0，当 1 x1+ ，f（x）0，可得 f（x）的增区间为（，1 ） ， （1+ ，+） ，减区间为（1 ，1+ ） ；（2）证明：f （ x0）=0，可得 3（x 01） 2=a，第 14 页（共 18 页）由 f（x 0）= （x 01） 33x0（x 01） 2b=（x 01） 2（2x 01）b
20、 ，f（3 2x0）=（2 2x0） 33（3 2x0） （x 01） 2b=（x 01） 2（88x 09+6x0）b=（x 01） 2（2x 01）b，即为 f（3 2x0）=f（x 0）=f（x 1） ，即有 32x0=x1，即为 x1+2x0=3；（3）证明：要证 g（x）在区间0，2 上的最大值不小于 ，即证在0，2上存在 x1，x 2，使得 g（x1） g（x 2） 当 a3 时，f（x）在0，2 递减， f（2）=12a b，f （0）= 1b，f（0） f（2）=2a24 ，递减，成立；当 0a3 时，f （1 ）= （ ） 3a（1 ） b= a+a b= ab，f（1+ ）
21、= （ ） 3a（1+ ）b= aa b= ab，f（2）=12ab， f（0）= 1b，f（2） f（0）=2 2a，若 0a 时，f （2） f（0） =22a 成立；若 a 时，f（1 ）f（1+ ）= 成立综上可得，g（x）在区间0， 2上的最大值不小于 2016 年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题第 15 页（共 18 页）1 【2016 天津（理） 】已知集合 A=1，2，3，4，B=y|y=3x2，x A，则 AB=（ ）A1 B4 C1，3 D1 ，42 【2016 天津（理） 】设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=2x+5y 的最小值为（ ）A4 B6 C10
22、 D173 【2016 天津（理） 】在ABC 中，若 AB= ，BC=3，C=120，则 AC=（ ）A1 B2 C3 D44 【2016 天津（理） 】阅读如图的程序图，运行相应的程序，则输出 S 的值为（ ）A2 B4 C6 D85 【2016 天津（理） 】设a n是首项为正数的等比数列，公比为 q，则“q0”是“ 对任意的正整数 n，a 2n1+a2n0”的（ ）A充要条件 B充分而不必要条件C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件6 【2016 天津（理） 】已知双曲线 =1（b0） ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A，B，C，D 四点，四
23、边形 ABCD 的面积为2b，则双曲线的方程为（ ）A =1 B =1 C =1 D =1第 16 页（共 18 页）7 【2016 天津（理） 】已知ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D、E 分别是边 AB、BC的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE=2EF，则 的值为（ ）A B C D8 【2016 天津（理） 】已知函数 f（x）= （a0，且 a1）在 R 上单调递减，且关于 x 的方程 |f（x）|=2 x 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是（ ）A （0， B ， C ， D ， ） 二、填空题9 【2016 天津（理） 】已知 a，bR，i 是虚数单位
24、，若（1+i） （1bi ）=a，则 的值为 10 【2016 天津（理） 】 （x 2 ） 8 的展开式中 x7 的系数为 （用数字作答）11 【2016 天津（理） 】已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m） ，则该四棱锥的体积为m 312 【2016 天津（理） 】如图，AB 是圆的直径，弦 CD 与 AB 相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段 CE 的长为 第 17 页（共 18 页）13 【2016 天津（理） 】已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间（，0）上单调递增，若实数 a 满足 f（2 |a1|）f（ ） ，则 a 的取值
25、范围是 14 【2016 天津（理） 】设抛物线 （t 为参数，p0）的焦点为 F，准线为 l，过抛物线上一点 A 作 l 的垂线，垂足为 B，设 C（ p，0） ，AF 与 BC 相交于点 E若|CF|=2|AF|，且ACE 的面积为 3 ，则 p 的值为 三、计算题15 【2016 天津（理） 】已知函数 f（x）=4tanxsin（ x） cos（x ） （1）求 f（x）的定义域与最小正周期；（2）讨论 f（x）在区间 ， 上的单调性16 【2016 天津（理） 】某小组共 10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为 1，2，3 的人数分别为 3，3，4，现从这 10 人中
26、随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会（1）设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4”，求事件 A 发生的概率；（2）设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 X 的分布列和数学期望17 【2016 天津（理） 】如图，正方形 ABCD 的中心为 O，四边形 OBEF 为矩形，平面OBEF平面 ABCD，点 G 为 AB 的中点，AB=BE=2（1）求证：EG 平面 ADF；（2）求二面角 OEFC 的正弦值；（3）设 H 为线段 AF 上的点，且 AH= HF，求直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值18 【2016 天津（理） 】已知a n是各项
27、均为正数的等差数列，公差为 d，对任意的nN+，b n 是 an 和 an+1 的等比中项（1）设 cn=b b ，nN +，求证：数列c n是等差数列；第 18 页（共 18 页）（2）设 a1=d，T n= （1） kbk2，nN *，求证： 19 【2016 天津（理） 】设椭圆 + =1（a ）的右焦点为 F，右顶点为 A已知+ = ，其中 O 为原点，e 为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B（B 不在 x 轴上） ，垂直于 l 的直线与 l 交于点 M，与 y 轴于点 H，若 BFHF，且MOA MAO，求直线 l 的斜率的取值范围20 【2016 天津（理） 】设函数 f（x）= （x 1） 3axb，xR，其中 a，bR （1）求 f（x）的单调区间；（2）若 f（x）存在极值点 x0，且 f（x 1）=f（x 0） ，其中 x1x0，求证：x 1+2x0=3；（3）设 a0，函数 g（x）=|f （x）|，求证：g（x）在区间 0，2上的最大值不小于
