1、1一次函数公式函数的基本概念：一般地，在某一变化过程中，有两个变量 X 和 Y，如果给定一个 X 值，有唯一确定的 Y 值与之对应，那么我们称 X 是 Y 的函数自变量 x 和因变量 y 有如下关系： y=kx+b （k0，b 为任意实数） 则此时称 y 是 x 的一次函数。 特别的，当 b=0 时，y 是 x 的正比例函数。 即：y=kx （k0） 定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；若与实际相反。 1.y 的变化值与对应的 x 的变化值成正比例，比值为 k 即：y=kx+b（k0) （k0,b 取任何实数） 2.当 x=0 时，b 为函数在 y 轴上的截距。 3.k 为一
2、次函数 y=kx+b 的斜率,k=tg 角 1(角 1 为一次函数图象与 x 轴正方向夹角) 一次函数图像的做法：1作法与图形：通过如下 3 个步骤 （1）列表一般取两个点,根据两点确定一条直线； （2）描点； 2（3）连线，可以作出一次函数的图像一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道 2 点，并连成直线即可。（通常找函数图像与 x 轴和 y 轴的交点） 2性质：（1）在一次函数上的任意一点 P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k0)。（2）一次函数与 y 轴交点的坐标总是（0，b)，与 x 轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。 3函数不是数，它是指某一变量过程中两个变
3、量之间的关系。 4k，b 与函数图像所在象限： y=kx 时 当 k0 时，直线必通过一、三象限，y 随 x 的增大而增大； 当 k0 时，直线必通过二、四象限，y 随 x 的增大而减小。 当 b0 时，直线必通过一、二象限； 当 b=0 时，直线必通过原点,经过一、三象限 当 b0 时，直线必通过三、四象限。 y=kx+b 时： 当 k0,b0, 这时此函数的图象经过一，二，三象限。 当 k0,b0, 这时此函数的图象经过一，二，四象限。 特别地，当 b=0 时，直线通过原点 O（0，0）表示的是正比例函数的图像。 3这时，当 k0 时，直线只通过一、三象限；当 k0 时，直线只通过二、四象
4、限。 4、特殊位置关系 当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中 K 值（即一次项系数）相等 当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中 K 值互为负倒数（即两个 K 值的乘积为-1） 确定一次函数的表达式 已知点 A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点 A、B 的一次函数的表达式。 （1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为 y=kx+b。 （2）因为在一次函数上的任意一点 P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出 2 个方程：y 1=kx1+b 和 y 2=kx2+b （3）解这个二元一次方程，得到 k，b 的值。 （4）最后得到一次函数的表达式。 1.求函数图像
5、的 k 值：（y1-y2)/(x1-x2) 2.求与 x 轴平行线段的中点：|x1-x2|/2 3.求与 y 轴平行线段的中点：|y1-y2|/2 4.求任意线段的长：(x 1-x2)2+(y1-y2)2 （注：根号下（x 1-x2)与（y 1-y2)的平方和） 45.求两一次函数式图像交点坐标：解两函数式 两个一次函数 y 1=k1x+b1 y2=k2x+b2 令 y1=y2 得 k1x+b1=k2x+b2 将解得的 x=x0值代回 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 两式任一式 得到 y=y0 则(x 0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2交点坐标 6.求任意 2
6、点所连线段的中点坐标：（x 1+x2）/2，（y 1+y2）/2 7.求任意 2 点的连线的一次函数解析式：（X-x 1）/(x 1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2)(其中分母为 0，则分子为 0) k b + + 在一、二、三象限 + - 在一、三、四象限 - + 在一、二、四象限 - - 在二、三、四象限 8.若两条直线 y1=k1x+b1y 2=k2x+b2，那么 k1=k2，b 1b 2 9.如两条直线 y1=k1x+b1y 2=k2x+b2那么 k1k2=-1 一次函数的应用 一次函数 y=kx+b 的性质是：（1）当 k0 时，y 随 x 的增大而增大；（2）当 k0 时，y
7、随 x 的增大而增大；（2）当 ky2，则 x1 与 x2 的大小关系是（ ）A. x1x2 B. x10，且 y1y2。根据一次函数的性质“当 k0 时，y 随 x 的增大而增大”，得 x1x2。故选 A。三、判断函数图象的位置例 3. 一次函数 y=kx+b 满足 kb0，且 y 随 x 的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限解：由 kb0，知 k、b 同号。因为 y 随 x 的增大而减小，所以 k0。所以 b0。故一次函数 y=kx+b 的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。故选 A . 典型例题:例 1. 一个弹簧，不
8、挂物体时长 12cm,挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例.如果挂上 3kg 物体后，弹簧总长是 13.5cm，求弹簧总长是 y(cm)与所挂物体质量 x(kg)之间的函数关系式.如果弹簧最大总长为 23cm，求自变量 x 的取值范围.7分析：此题由物理的定性问题转化为数学的定量问题，同时也是实际问题，其核心是弹簧的总长是空载长度与负载后伸长的长度之和，而自变量的取值范围则可由最大总长最大伸长最大质量及实际的思路来处理.解：由题意设所求函数为 y=kx+12则 13.5=3k+12，得 k=0.5所求函数解析式为 y=0.5x+12由 23=0.5x+12 得：x=22自变量 x 的取值范围是 0x22
