1、图形的初步认识,铜陵市八中 夏潮江,图 形 的 初 步 认 识,二、直线 射线 线段三、角的度量四、角的比较与运算,一、多姿多彩的图形,一、多姿多彩的图形,1、平面图形,正方形,棱形,圆形,椭圆,长方形,等腰三角形,梯形,六边形,直角三角形,生活中的平面图形,2.立体图形,圆柱,正方体,棱台,生活中的立体图形,3.立体图形的分类常见的立体图形,柱体,锥体,球体,圆柱,棱柱,圆锥,棱锥,球体(sphere) 半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。球面所围成的几何体叫做球体，简称球。半圆的圆心叫做球心。连结球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径。连结球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直
2、径。,圆柱(circular cylinder)圆柱是由一个矩形绕它的一条边旋转得到的。如图 矩形ABCD绕直线AB旋转一周得到的图形是一个圆柱。旋转轴AB叫圆柱的轴圆柱侧面上平行于轴的线段是圆柱的母线。圆柱的母线长都相等。并且都等于圆柱的高。,棱柱(prism)有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱(prism)。两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面。,圆锥(circular cone)圆锥可以看作是由一个直角三角形旋转得到的如图，把RtABC绕直线AC旋转一周得到的图形是圆锥。旋转轴AC叫做圆锥的轴，A
3、点叫圆锥的顶点，线段BC旋转所形成的面叫做圆柱的底面，线段BC叫做圆柱底面的半径。,棱锥(pyramid)有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。这个多边形叫做棱锥的底面，其余各个面叫做棱锥的侧面。,4.立体图形的三视图同一个立体图形从不同的方向看它会得到不同的平面图形。一般包括:,从正面看,(正视图),从左面看,(左视图),从上面看,(俯视图),画常见立体图形的三视图(看课件),5.立体图形的展开图一些简单的立体图形的展开图、侧面展开图(看课件)6.点、线、面、体点动成线,线动成面,面动成体(几何体)。,线,直线,曲线,面,平的面,曲的面,几何体,
4、平的面: 正方体、长方体、棱柱、棱锥,曲的面: 球体,平的面+曲的面: 圆柱、圆锥,7.,7.多面体,立体图形的面如果都是平的面，像这样的立体图形，又称为多面体(polyhedron)。如：四棱锥, 四棱柱。,8.欧拉公式多面体的顶点数(V)+多面体的面数(F),_,多面体的棱数= 2,一七七年的这一天，欧拉诞生在瑞士名城巴塞尔一个殷实的家庭，父亲保罗欧拉是基督教加尔文派的教长，喜爱数学，是欧拉的启蒙老师。 欧拉幼年早慧，父亲保罗希望欧拉学习神学、继承父业。一七二年秋把欧拉送进瑞士最古老的大学巴塞尔大学，学习神学、医学、东方语言。欧拉的聪慧与勤奋，赢得了该校数学教授约翰伯努利的赏识，并亲自单独
5、面授数学。从此欧拉和约翰伯努利的两个儿子数学家尼古拓伯努利和丹尼尔伯努利结成密友。欧拉十六岁在该校毕业，获得硕士学位。,(杰出的数学家-欧拉),在伯努利家族的影响下，欧拉决心以数学为业。十八岁开始发表论文，十九岁发表了论船桅的文章，获巴黎科学院奖金。此后，他几乎连年获奖，奖金成了他的固定收入。欧拉二十六岁时就担任俄国彼得堡科学院教授。一七三三至一七四一年，在沙皇政府统治下，欧拉的生活和工作条件非常艰苦。常一手抱着孩子，一手写作。但他的工作和研究却取得了惊人的成就，不仅发表了大量精湛的论文，而且为俄国政府解决了许多科学问题。一七三五年，年仅二十八岁的欧拉，因积劳成疾而右眼失明。一七四一年应普鲁士
6、国王腓特烈大帝的邀请，欧拉出任柏林物理、数学所所长，同时负责给普鲁士国王的侄女讲授数学、天文、物理、宗教等课程。在此期间，向柏林和彼得堡科学院递交了数百篇论文，被腓特烈大帝誉为“最伟大的数学家”。,一七六六年，在沙皇女王叶卡琳娜二世的再三聘请和敦促下，欧拉重返彼得堡，不料左眼视力日趋衰弱，同年双目失明。一七七一年彼得堡一场大火，殃及欧拉的住宅，使全部藏书和论文资料化为灰烬。天灾人祸没有压倒年已六十四岁的科学巨匠。此后，欧拉用口述的办法，由他儿子数学家阿欧拉记录，继续进行著术。直到逝世，整整在黑暗中奋斗了十七年之久，又发表了多部专著和近四百篇论文。欧拉不仅是一位杰出的数学家，而且是理论联系实际的
7、典范。他立足于实践，在社会与科学实践需要的推动下，从事数学研究，同时又用数学理论促进了多门自然科学的发展。为人类做出了不可估量的贡献。,二、直线、 射线、 线段,1.直线、射线、线段的区别和联系(1,)射线、线段都是直线的一部分,它们之间又有紧密的联系;在直线上取一点,可以将该直线分成两条射线,取两点可以得到一条线段和四条射线;把射线反向延长或者把线段两方延长就可以得到直线。(2.) 列表比较,有关概念,点、线段、射线、直线* 线和线相交的地方是点(point)。* 点通常表示一个物体的位置。例如，在交通图上用点来表示城市的位置。* 直线上两个点和它们之间的部分叫做线段(line segmen
8、t)，这两个点叫做线段的端点。 在日常生活中，一根拉紧的绳子、一根竹竿、人行横道线都给我们以线段的形象。* 把线段向一方无限延伸所形成的图形叫做射线（ray）。 * 把线段向两方无限延伸所形成的图形叫做直线（straight line）。,(2)线段的中点把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点(middle point)。,2.线段的大小和比较(1)线段的长短比较,度量法,叠合法,AB=BC=,AC,AC=2AB=2BC,例如:点B是线段AC的中点,. . .,A,B,C,则有:,(3)线段的三等分点把一条线段分成三条相等线段的两个点，叫做这条线段的三等分点。,. . . .,A
9、B C D,AB=BC=CD=,AD,AD=3AB=3BC=3CD,(4)画一条线段等于已知线段,注意耶,用尺规作图法,(5)两点的距离与线段的区别两点的距离是指连接两点间的线段的长度,是一个数量;而线段本身是图形.,(6)线段的和、差a.线段的和,A B C,. . .,AC=AB+BC,b.线段的差,M N P,. . .,MN=MP-NP,NP=MP-MN,三、角的度量,1.角的描述式定义 角(angle)是由两条有公共端点的射线组成的图形。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。如图：AOB，1,2.角的旋转定义,角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。射线的端点叫
10、做角的顶点，起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。如图：ABC,射线旋转时经过的平面部分是角的内部，其余部分是角的外部。,射线绕着它的端点旋转到角的终边和始边成一直线，这时所成的角叫做平角(straight angle)。,例如：射线OA绕点O旋转，当终止位置OC和起始位置OA成一直线时，所成的角叫做平角，如图COA是平角。,射线绕着它的端点旋转到角的终边和始边再次重合，这时所成的角叫做周角(perigon)。,例如：射线OA绕点O旋转，当终止位置OC回到起始位置OA时，所成的角叫做周角。如图：,3.角的三种表示方法,A,.,O,.,B,.,1,4.角的符号用“,”,表示,一
11、定要分清,小于号是“,”,5.角的分类,角,锐角:,直角:,钝角:,平角:,周角:,大于0度而小于90度的角,6.平角与直线 、 周角与射线,等于90度的角,大于90度而小于180度的角,等于180度的角,等于360度的角,(1)平角的两边构成一条直线;直线上任取一点作为角的顶点便可以得到一个平角。,(2)将射线绕着其端点旋转360度便可以得到一个周角。,7.角的表示方法,(1)弧度制,(2)密位制,(3)角度制,- 以度、分、秒为单位的角的度量制叫角度制。,1周角=360 1平角=180,1= 60 1=60,1=(,) ,1,1=(,) ,8.角的计算(1)加法,常用的一种,483925+
12、 673143,(2)减法,90-781924,(3)乘法,解:原式=(48+ 67)+(39+ 31)+(25+43),= 1157068,=115718,=116118,解:原式=8960 -781924,= 895960 -781924,=(89 -78)+(59- 19)+(60 - 24),=11+40+36,=114036,2117165,(4)除法,172523(精确到秒),解:原式= 21 5+ 175+165,= 105+85 +80,= 105+86 + 20,=106+26 + 20,=10626 20,解:原式=1723+523,=57+1 3+523,= 57+(1
13、+52) 3,= 57+ 533,= 57+ 17+23,= 57+ 17+ 1203,= 57+ 17+ 40,=57 17 40,9.角的换算,例(!):用度、分、秒表示42.34,解: 42.34=42+0.34,= 42+ 0.3460,= 42+ 20.4,= 42+ 20+0.4,= 42+ 20+0.460,= 42+ 20+24,= 422024,例(2):用度表示562512,解: 562512= 56+ 25+ 12 (,) ,=56+25+0.2,= 56+25.2,= 56+25.2(,) ,=56+0.42,= 56.42,10.,学海拾贝,钟表上时针、分针、秒针的转
14、速 -钟表被等分成12大格(每一大格其圆心角为30);每一大格又被等分成5小格(每一小格其圆心角为6)。 (1)时针: 一小时转30,即一分钟转0.5。(2)分针:一小时转360 ,即一分钟转6。(3)秒针:一分钟转360 ,即一秒钟转6,一小时转21600。,11.用尺规作图法画一个角等于已知角,尺规作图法:只借助直尺(无刻度)和圆规作图的方法,例:作一个角等于AOB(如右图),A,O,B,.,.,.,高斯被誉为“数学王子”的德国大数学家、物理学家和天文学家,牢记历史人物,高斯的祖父是农民，父亲除了从事园艺的工作外，也当过各色各样的杂工，如护堤员、建筑工等等。父亲由于贫穷，本身没有受过什么教
15、育。 母亲在34岁时才结婚，35岁生下了高斯。母亲是一名石匠的女儿，有一个很聪明的弟弟，其弟弟手巧心灵，是当地出名的织绸能手。高斯的这位舅舅，对小高斯很照顾，有机会就教育高斯，把他所知道的一些知识传授给高斯。而父亲可以说是一名“大老粗”，认为只有力气能挣钱，学问这种捞什子对穷人是没有用的。 高斯在晚年喜欢对自己的小孙儿讲述自己小时候的故事。他说他在还不会讲话的时候，就已经学会计算了。 他还不到三岁的时候，有一天他观看父亲在计算受他管辖的工人们的周薪。父亲在喃喃的计数，最后长叹的一声表示总算把钱算出来。,父亲念出钱数，准备写下时。身边传来微小的声音：“爸爸！算错了。钱应该是这样” 父亲惊异地再算
16、一次，果然小高斯讲的数是正确的。奇特的地方是没有人教过高斯怎么样计算，而小高斯平日靠观察，在大人不知不觉时，他自己学会了计算。 另外一个著名的故事亦可以说明高斯很小的时候就有很快的计算能力。当他还在小学读书时，有一天，算术老师要求全班同学算出以下的算式：1+2+3+4+98+99+100？ 在老师把问题讲完不久，高斯就在他的小石板上端端正正地写下答案5050，而其他孩子算到头昏脑胀，还是算不出来。最后只有高斯的答案是正确无误。 高斯在11岁的时候就发现了二项式定理。当他还是一个小学生时就对无穷的问题注意了。,15岁的高斯进入一间著名的学院（程度相当于高中和大学之间）。在那里他学习了古代和现代语
17、言，同时也开始对高等数学作研究。 他专心阅读牛顿、欧拉、拉格朗日这些欧洲著名数学家的作品。他对牛顿的工作特别钦佩，并很快地掌握了牛顿的微积分理论。 高斯的计算能力是惊人的，在没有计算机的帮助，他有时需要算到小数点后20多位数。而后来人们发现他的计算很少有错误。 18岁的高斯就用代数方法解决了2000多年来的几何难题，找到正17边形的直尺与圆规的作法。他是那么的兴奋，因此决定一生研究数学。据说，他还表示希望死后在他的墓碑上能刻上一个正17边形，以纪念他少年时最重要的数学发现。,四、角的比较与运算,1.角的比较,(1) 角的大小与角的度数的大小是一致的,(2) 角的大小比较,与线段的长短比较方法一
18、样,角的大小比较也有两种方法:,度量法和叠合法。,2.角的和与差,(1)角的和,A,.,O .,.,B,C,.,AOC+COB=,AOB,(2)角的差,M,O,N,P,.,.,.,.,MON-MOP=,PON,MON-PON=,MOP,即:两个角的和或差,其结果仍然是一个角。,(3)应用,利用一副三角板可以画小于平角的角( 11 )个,分别是:,15、30、45、 60、 75、90、105、 120、 135、 150、165。,3.角的平分线,从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线(angular bisector)。,如下图:OC是AOB的平分
19、线，则有 AOC=BOC=,AOB,AOB=2 AOC= 2BOC,类似地,还有角的三等分线等。,课外活动,通过折纸作角的平分线,4.余角和补角,(1)概念,如果两个角的和等于90(直角)，就说这两个角互为余角(complementary angle)。如3=35,4=55,那么3和4互为余角。,如果两个角的和等于180(平角)，就说这两个角互为补角(supplementary angle)。如下图1+2=180，则1和2互为补角,(2)性质,同角或等角的余角相等 ;,同角或等角的补角相等。,(3)表达式,若已知一个角为,则它的余角为:,90- ,它的补角为:,180- ,5.方位角,四面八方
20、：一般地我们规定，面向地图时“上北下南，左西右东”；而“正东”和“正北”的角平分线方向记为“东北” 方向；把“正东”和“正南”的角平分线方向记为“东南”方向；同理分别规定出“西北” 、“西南”方向。,(1)方位角的表示,-通常先写北或南,再写偏东还是偏西,。例如:“北偏东,35”;“南偏西60”等。,(2)方位角的应用,经常用于航空、航海、测绘中,领航员常用地图和罗盘进行方位角的测定。,你会做了吗,在下图中,射线OA、射线OB、射线OC、射线OD分别表示什么方向?,北,O,南,西,东,A,B,C,D,60,60,50,30,射线OA表示:,射线OB表示:,射线OC表示:,射线OD表示:,北偏东30,北偏西60,南偏东40,南偏西60,再见,
