1、三角恒等变换的常见技巧注：有*的内容选看！一、教学内容：三角恒等变换的常见技巧二、学习目标1、掌握引入辅助角的技巧；2、掌握常见的拆、拼角技巧；3、掌握公式的变用、逆用技巧；4、掌握三角对等式、齐次式的处理技巧；5、掌握弦切互化、异名化同名、异次化同次、异角化同角等变形技巧三、知识要点1、三角恒等变换中的“统一”思想：三角恒等变换的主要目的是异名化同名、异次化同次、异角化同角、异构化同构，即化异为同，也就是将待证式左右两边统一为一个形式，或将条件中的角、函数式表达为问题中的角或函数式，达到以已知表达未知的目的。基本切入点是统一角，往往从统一角入手便能全面达到化异为同的目的。2、统一思想的应用引
2、入辅助角：对 xbaycossin型函数式的性质的研究，我们常常引入辅助角 。即化 abxy tn),i(csi 2，然后将该式与基本三角函数 xAn进行比照研究。 “位置相同，地位平等”是处理原则。3、统一思想的应用拆、拼角，如22 ，等等；4、统一思想的应用弦切互化，如利用万能公式，把正余弦化为正切等等；对关于正余弦函数的齐次式的处理也属于“弦化切”技巧；5、统一思想的应用公式变、逆用，主要做法是将三角函数式或其一部分整理成公式的一部分，然后利用公式的这一部分与另一部分的等量关系代入*6、代换思想的应用关于正余弦对等式的处理，常以 21txcosin,txcosin代入，把函数式化为关于
3、t 的函数式进行研究；另外，三角代换也是处理函数最值、值域等问题的重要技巧。四、考点解析与典型例题考点一 引入辅助角研究三角函数的性质例 1. 设 f（x）=asin +bcos x（ 0,ba）的周期为 且最大值 f（ 12）=4；1）求 、a、b 的值；2）若 、 为 f（x）=0 的两个根（ 、 终边不共线） ， 求 tan（ +）的值。【解】1） axf tn),si()(2，则 32ba3abtn21)2sin(4ba 4ba)1(f)x(f,)x(f2 2ma周 期 为由上可知：)2si(4xf，令 260)( kxkxf 因为 、 终边不共线，故 3)tan(213k考点二 拆、
4、拼角例 2. 已知 cos（ 91)2，sin（ 2 ）= ，且,20,2求.2cos【分析】观察已知角和所求角，可作出)()(的配凑角变换，然后利用余弦的差角公式求角。【解】 .27539451)2()cos(2s,351)c(,94()2sin( .2,40222 9o,考点三 化弦为切例 3. 当04x时，函数2cos()inxfx的最小值是（ ） （A） 4 （B）12（C） 2 （D ）14【解析】注意到函数的表达式的分子与分母是关于 six与 co的齐二次式，所以，分子与分母同时除以 2cosx转化为关于 tanx的函数进行求解因为04x，所以1xtan0，所以 2211() 4t
5、antanfxx 故选（A ） 考点四 巧用公式例 4. 求 28ta17n28ta7t 的值。【解】原式= 28tan17)(45)1(an)【说明】对于两个角的正切的三角函数的和与积的形式的求值问题，通常利用 tant)t(的变形式 ).tan1)(tanttan考点五 “1”的拆变例 5. 已知t24，求 21sincos的值【分析】由已知易求得 ta的值，而所求三角函数式中的分母所涉及的函数是正、余弦函数且各式都为二次式，而分子是常数 1，可将 1 化为 22incos，再利用同角三角函数基本关系将所求式转化为正切函数进行求解【解】由1tntan24a，得ta3，于是原式22sicos
6、1t【说明】对于题中所给三角式中的常数（如：23， ， ，等） ，比照特殊角的三角函数值，将它们化为相应的三角函数，如xxcottan4tcossin1等，参与其它三角函数的运算，在解题中往往起着十分奇妙的作用考点六 三角代换*例 6. 已知正数12,ba，求 minba。【解】 23cosin2si3 cos)(in2sicocosi,i1 222 x xxxa【说明】本题解题方法十分丰富，以下方法仅供参考：法一：232)1()( abbaba；法二：设 x代入条件式，解出 x然后利用数形结合或函数最值求解方法或利用求导方法或利用不等式知识求解；法三：由条件式解出 2ba代入 2ba，下同法
7、二。五、数学思想方法三角函数式恒等变形是三角函数最重要的学习内容，无论是研究三角函数式的性质，或是三角函数式的化简、求值和证明，都需要对三角函数式进行恒等变形，方法和技巧十分丰富，其中也蕴含着数形结合、化归、函数与方程、换元、等量代换、图形变换等诸多思想方法，学习中要注意对典型题型和典型方法进行总结整理，加强对数学思想方法的培养和训练，以及对数学思维品质的培养和训练。【模拟试题】一、选择题1、函数 y=cos4x sin4x 的最小正周期是 A、 2B、 C、2 D、4 2、对任意的锐角 ，下列不等关系中正确的是 A. sin（+ ）sin+sin B. sin（+）cos+cosC. cos
8、（+）sinsin D. cos（+）coscos3、已知 （ 2， ） ，sin = 53，则 tan（ 4）等于 A. 71B. 7 C. 71D. 74、 0cos2in= A. 1B. 2C. 2 D. 325、已知 tan，则 sinicosA. 43B. 54C. 34D. 456、若cos2in，则 cosin的值为 A. 72B. 1C. 12D. 72*7、已知 ABC中，ct5， 则 cosAA. 13B. 13 C. 13 D. 13二、填空题8、tan10 tan20 （tan10 tan20 ）的值为 9、函数 2cosinyx的最小值是_ .三、解答题10、化简： 50sin1c)310(ta11、已知 ,2(sinm求证：).1(tan1)tan(m*12、已知： Rba、 ，且 1b，求证： 252b。13、设函数2()si)cos468xxf（）求 的最小正周期 （）若函数 ()ygx与 ()f的图像关于直线 1x对称，求当40,3x时()ygx的最大值
